2023-2024学年河北省石家庄市部分学校高二上学期期中数学试题(含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年河北省石家庄市部分学校高二上学期期中数学试题(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 218.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-01 08:32:57 | ||
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文档简介
2023-2024学年河北省石家庄市部分学校高二上学期期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若点到直线：的距离为，则( )
A. B. C. D.
2.过两点和的直线的斜率为
( )
A. B. C. D.
3.两个不重合的平面，，平面的法向量为，是平面内的三角形且，，则
( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面，平面相交但不垂直 D. 以上均有可能
4.如图，在四面体中，，，点在上，且，为中点，则等于
．( )
A. B.
C. D.
5.设点，，若直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是
( )
A. 或 B. 或 C. D.
6.已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
7.设，分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别是，，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，若，则椭圆的离心率是
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 点在直线上 B. 直线的一个方向向量为
C. 直线在轴上的截距为 D. 直线的倾斜角为
10.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若向量与向量分别构成空间向量的一组基底，则
B. 若非零向量满足，，则有
C. 若是空间向量的一组基底，且，则四点共面
D. 若向量，，是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
11.已知曲线的方程为，给出下列四个结论中正确的是
( )
A. 曲线为一个圆
B. 曲线上存在点，使得到点的距离为
C. 直线为常数，无论为何值，直线与曲线恒有两个交点
D. 曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点，关于原点对称，点异于，两点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是
( )
A. 的周长为
B. 椭圆的离心为
C. 的最大值为
D. 若直线，的斜率都存在，则
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.与向量方向相同的单位向量是______．
14.已知直线被圆截得的弦长为，则的值为___________．
15.如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的最小值为______．
16.已知双曲线，为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点，使得的中点满足，则双曲线的离心率的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知圆经过点，，且圆与轴相切．
求圆的一般方程；
设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
18.本小题分
如图，直四棱柱中，底面是菱形，，设，若，
求的长；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线：：与有相同的渐近线，且经过点．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值．
20.本小题分
已知椭圆两焦点坐标分别为，一个顶点为．
求椭圆的标准方程；
是否存在斜率为的直线，使直线与椭圆交于不同的两点，，满足若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足．
求动点的轨迹方程；
若直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程，并判断直线与动点的轨迹方程所表示的曲线的位置关系．
22.本小题分
已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点．
求椭圆的标准方程；
点，在上，且，证明：直线过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据点到直线的距离求解．
解：由点到直线距离公式知， ，
解得 ，
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据斜率公式计算得解．
解：由斜率公式可知 ，
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】由平面的法向量与平面 的法向量的关系，判断两个平面的位置关系．
解：设平面 的法向量为 ，
则 ，设 ，则 ， ，即 ，
由 ，得平面 平面 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量定理及其应用属于较易题．
根据空间向量定理利用向量加法和减法的运算得出答案．
【解答】
解：，，，点在上，且，为的中点，
，
故选B
5.【答案】
【解析】【分析】依题可得直线过点 ，求出 ，结合图象观察即可．
解：如图所示：依题意直线过点 ，
， ，
要想直线过点 且与线段相交，
则 或 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】易得点 在圆 上，故切线只有一条，且与直线 垂直，根据 的值，可求出切线的斜率，继而求得倾斜角．
解：因为 在圆上，则切线只有一条，
圆心为 ，所以 ，
所以过的切线的斜率为 ，
设切线的倾斜角为 ，则 ，
由于 ，故 ，
即 ，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．属于基础题．
先由双曲线的方程求出，再由，求出，，由此能求出的面积．
【解答】解：由题意知：，
，，，
，
设，则，
由双曲线的性质知，解得．
，，
，，
的面积．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的对称性及定义，求得 的长度根据 为直角三角形，利用勾股定理得到 的关系，进而求出离心率．
解：由椭圆的对称性，得 设 ，则 ．
由椭圆的定义，知 ，即 ，
解得 ，故 ， ．
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，则 ，故 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】由直线解析式，可判断点是否在直线上，直线在轴上的截距，以及直线的倾斜角，根据直线得方向向量与法向量的概念可以判断选项．
解：对于选项，把 代入到 得 ，所以点 不在直线上，A错误；
对于选项，因为直线： ，即为： ，直线的斜率为，
所以 为直线的一个方向向量，B正确；
对于选项，当 时， ，所以直线在轴上的截距为 ，C错误；
对于选项，因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为 ，D正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量的基本定理逐一判断即可．
解：对于，因为 可以和任意不属于 所在平面的非零向量构成空间向量的一组基底，
所以若向量 与向量 分别构成空间向量的一组基底，则 与 的位置关系不确定，A错误；
对于，当非零向量 满足 ， 时， 与 不一定平行，也可能垂直，B错误；
对于，若 是空间向量的一组基底，且 ，
则 ，
即 ，所以 四点共面，C正确；
对于，若向量 ， ， 是空间向量的一组基底，
则对空间中的任何一个向量 存在唯一的实数组 ，使得 ，
于是 ，所以 也是空间向量的一组基底，D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】将方程配方易知曲线为一个圆，所以A正确对于选项B，可先求圆上任意一点到 的距离的最值，即为圆心到 的距离加减半径，可知不在此范围内，所以不正确对于选项C，先求出直线经过的定点 ，容易判断点在圆内，因此无论为何值，直线与曲线恒有两个交点，所以C正确对于选项D，根据题意，点符合椭圆定义，可得椭圆方程，再判断椭圆与圆有交点，则D正确．
解：对于选项A，由 ，得 ，曲线为一个圆，所以A正确；
对于选项B，点 在圆 的外部，因为 到圆心 的距离 ，半径为，所以圆上的点到 的距离的范围为 ，而 ，所以不正确；
对于选项C，直线 为常数，则 ，则直线过定点 ，且点在圆 内，所以无论为何值，直线与曲线恒有两个交点，所以C正确；
对于选项D，假设存在这样的点，使得到点与点 的距离之和为，则在以点 与点 为焦点，实轴长为的椭圆上，即在椭圆 上，联立椭圆与圆的方程 ，解得 ，故曲线上存在点 ，使得到点 与点 的距离之和为，所以D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆定义判断，直接计算离心率判断，根据椭圆的几何性质判断，利用作差法求 判断．
解：由椭圆方程 可知， ，
所以 ，
由椭圆定义知， 的周长等于 ，故A错误；
椭圆的离心率 ，故B正确；
由椭圆的几何性质可知， 的最大值为 ，故C正确；
设 ， ，则 ，所以 ，
由点在椭圆上可得 ，两式相减可得 ，
化简可得 ，即 ，故D正确．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】由与 方向相同的单位向量是 可计算求得结果．
解： ， ，
即与向量 方向相同的单位向量是 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】根据垂径定理，结合点到直线的距离公式求解即可
解：由题意，圆 ，故圆心 ，半径 ，故圆心到直线 的距离为 ，故 ，即 ，解得 ，即
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】以 为坐标原点，分别以 ， ， 为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求出 的坐标，可得其数量积，结合二次函数的性质可得答案．
解：以 为坐标原点，分别以 ， ， 为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ， ，点为线段 上一点，
则 ， ，
可设 ， ，
则
，
当 时， 的最小值为 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】根据 ，且双曲线上的点到焦点的最小距离为 ，得到 ，进而求得离心率的范围．
解：因为 分别为 的中点，所以 ．
又双曲线上的点到焦点的最小距离为 ，
所以 ，解得 ，
因此双曲线的离心率的取值范围是 ．
故答案为： ．
17.【答案】解：设圆的方程为，，
因为圆过点，，又跟轴相切，
圆必在轴右侧，且跟轴的切点为，
圆心的纵坐标为．
，解得
圆的方程为，化简得．
解：设因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，即，
所以的轨迹方程为．
【解析】设圆的方程为，依题意可得圆心在轴右侧，且跟轴的切点为，即可得到圆心的纵坐标为，再将点的坐标代入方程，即可得到方程组，解得即可；
设则，再由点是圆上的动点，代入圆的方程，即可得解．
18.【答案】解：解： ，
则
．
．
四边形为菱形， ．
以为坐标原点， ， 正方向为，轴的正方向，过点且平行于 的直线为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得 ， ， ，
， ．
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得 ， ， ．
平面 轴，平面 的一个法向量
设平面 与平面 所成角为 ，
，
二面角 为锐二面角，二面角 的余弦值为 ．
【解析】【分析】由 ，应用 ，结合数量积运算即可．
建立空间直角坐标系．应用空间向量求解二面角的余弦值．
19.【答案】解：由题意，设双曲线的方程为 ，又因为双曲线过点 ， ，所以双曲线的方程为：
由 得
设 ，则 ， ，所以
则 中点坐标为 ，代入圆
得 ，所以 ．
【解析】【分析】
根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点 计算；联立直线与双曲线的方程，得关于 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出 的中点坐标，代入圆的方程计算．
20.【答案】解：因为椭圆 两焦点坐标分别为 ，
所以设椭圆 的方程为 ， ，
因为一个顶点为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
假设存在直线 符合题意．
与椭圆方程联立，得： ，消去得： ，
设 ，
则有 ，
所以 ，
所以的中点的坐标 ，
因为 ，所以是线的垂直平分线，所以
根据斜率之积为 ，可得 即 ，将其代入 ，
并整理得： ，解得： 且 ，
故存在满足条件的直线，其斜率的取值范围 ．
【解析】【分析】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
设直线方程，设交点坐标为 ；
联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 或 的一元二次方程，必要时计算 ；
列出韦达定理；
将所求问题或题中的关系转化为 、 或 、 的形式；
代入韦达定理求解．
根据题意可假设椭圆 的方程为 ，继而得到 ， ，再利用 即可求得答案；
假设存在直线 符合题意将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根和系数的关系，利用中点的坐标即可求得斜率的取值范围，从而解决问题．
21.【答案】解：设 ，由题意得 又 ，，
所以 ，整理得 ．
故动点的轨迹方程为 ．
显然圆 的圆心坐标为，半径为 ，
当直线的斜率不存在时，不符合题意．
设直线的方程为 ，即
因为点到直线的距离为，所以 ，解得 ，
所以直线的方程为 ，即 ，
所以圆心到直线的距离为 ，
因为 ，所以直线与曲线相交．
【解析】【分析】设点坐标，直接代入 ，整理可得动点的轨迹方程．
设出直线的方程，由点到直线的距离为，可计算得直线的方程，再根据问所得曲线为圆，由圆心到直线的距离可判断两者位置关系．
22.【答案】解：设椭圆的方程为 ，
由题意得 解得
椭圆的标准方程为 ．
证明：设点 ，
，
整理可得 ，
当直线的斜率存在时，设 ，
联立 得 ，
由 得 ，
则 ．
， ，
代入式化简可得 ，
即 ， 或 ，
则直线方程为 或 ，
直线过定点 或 ，又 和点重合，故舍去．
当直线的斜率不存在时，则 ， ，
此时 ，即 ，
又 ，解得 或舍去，
此时直线的方程为 ，过点 ．
综上所述，直线过定点 ．
【解析】【分析】定点问题必须是运动变化中的直线或曲线在运动变化中表现出的不变性质，解题的关键是“使用参数表达直线系方程”，解题的目标是“该直线系方程对任意参数均成立”，即可得出定点坐标．
在直线系过定点问题中，经常使用双参数直线系方程 ，此时解题的关键是“根据已知确定 的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程”．
待定系数法，设出椭圆方程后，根据椭圆的离心率为 ，且过点 ，列出方程组，解出即可；
根据 ，则 ，转化为坐标之间的关系式，设出直线 的方程后，与椭圆方程联立消元，利用韦达定理得到结果，代入已得关系式，即可证明．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若点到直线：的距离为，则( )
A. B. C. D.
2.过两点和的直线的斜率为
( )
A. B. C. D.
3.两个不重合的平面，，平面的法向量为，是平面内的三角形且，，则
( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面，平面相交但不垂直 D. 以上均有可能
4.如图，在四面体中，，，点在上，且，为中点，则等于
．( )
A. B.
C. D.
5.设点，，若直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是
( )
A. 或 B. 或 C. D.
6.已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
7.设，分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别是，，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，若，则椭圆的离心率是
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 点在直线上 B. 直线的一个方向向量为
C. 直线在轴上的截距为 D. 直线的倾斜角为
10.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若向量与向量分别构成空间向量的一组基底，则
B. 若非零向量满足，，则有
C. 若是空间向量的一组基底，且，则四点共面
D. 若向量，，是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
11.已知曲线的方程为，给出下列四个结论中正确的是
( )
A. 曲线为一个圆
B. 曲线上存在点，使得到点的距离为
C. 直线为常数，无论为何值，直线与曲线恒有两个交点
D. 曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点，关于原点对称，点异于，两点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是
( )
A. 的周长为
B. 椭圆的离心为
C. 的最大值为
D. 若直线，的斜率都存在，则
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.与向量方向相同的单位向量是______．
14.已知直线被圆截得的弦长为，则的值为___________．
15.如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的最小值为______．
16.已知双曲线，为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点，使得的中点满足，则双曲线的离心率的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知圆经过点，，且圆与轴相切．
求圆的一般方程；
设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．
18.本小题分
如图，直四棱柱中，底面是菱形，，设，若，
求的长；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线：：与有相同的渐近线，且经过点．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值．
20.本小题分
已知椭圆两焦点坐标分别为，一个顶点为．
求椭圆的标准方程；
是否存在斜率为的直线，使直线与椭圆交于不同的两点，，满足若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足．
求动点的轨迹方程；
若直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程，并判断直线与动点的轨迹方程所表示的曲线的位置关系．
22.本小题分
已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点．
求椭圆的标准方程；
点，在上，且，证明：直线过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据点到直线的距离求解．
解：由点到直线距离公式知， ，
解得 ，
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据斜率公式计算得解．
解：由斜率公式可知 ，
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】由平面的法向量与平面 的法向量的关系，判断两个平面的位置关系．
解：设平面 的法向量为 ，
则 ，设 ，则 ， ，即 ，
由 ，得平面 平面 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量定理及其应用属于较易题．
根据空间向量定理利用向量加法和减法的运算得出答案．
【解答】
解：，，，点在上，且，为的中点，
，
故选B
5.【答案】
【解析】【分析】依题可得直线过点 ，求出 ，结合图象观察即可．
解：如图所示：依题意直线过点 ，
， ，
要想直线过点 且与线段相交，
则 或 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】易得点 在圆 上，故切线只有一条，且与直线 垂直，根据 的值，可求出切线的斜率，继而求得倾斜角．
解：因为 在圆上，则切线只有一条，
圆心为 ，所以 ，
所以过的切线的斜率为 ，
设切线的倾斜角为 ，则 ，
由于 ，故 ，
即 ，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．属于基础题．
先由双曲线的方程求出，再由，求出，，由此能求出的面积．
【解答】解：由题意知：，
，，，
，
设，则，
由双曲线的性质知，解得．
，，
，，
的面积．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的对称性及定义，求得 的长度根据 为直角三角形，利用勾股定理得到 的关系，进而求出离心率．
解：由椭圆的对称性，得 设 ，则 ．
由椭圆的定义，知 ，即 ，
解得 ，故 ， ．
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，则 ，故 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】由直线解析式，可判断点是否在直线上，直线在轴上的截距，以及直线的倾斜角，根据直线得方向向量与法向量的概念可以判断选项．
解：对于选项，把 代入到 得 ，所以点 不在直线上，A错误；
对于选项，因为直线： ，即为： ，直线的斜率为，
所以 为直线的一个方向向量，B正确；
对于选项，当 时， ，所以直线在轴上的截距为 ，C错误；
对于选项，因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为 ，D正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量的基本定理逐一判断即可．
解：对于，因为 可以和任意不属于 所在平面的非零向量构成空间向量的一组基底，
所以若向量 与向量 分别构成空间向量的一组基底，则 与 的位置关系不确定，A错误；
对于，当非零向量 满足 ， 时， 与 不一定平行，也可能垂直，B错误；
对于，若 是空间向量的一组基底，且 ，
则 ，
即 ，所以 四点共面，C正确；
对于，若向量 ， ， 是空间向量的一组基底，
则对空间中的任何一个向量 存在唯一的实数组 ，使得 ，
于是 ，所以 也是空间向量的一组基底，D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】将方程配方易知曲线为一个圆，所以A正确对于选项B，可先求圆上任意一点到 的距离的最值，即为圆心到 的距离加减半径，可知不在此范围内，所以不正确对于选项C，先求出直线经过的定点 ，容易判断点在圆内，因此无论为何值，直线与曲线恒有两个交点，所以C正确对于选项D，根据题意，点符合椭圆定义，可得椭圆方程，再判断椭圆与圆有交点，则D正确．
解：对于选项A，由 ，得 ，曲线为一个圆，所以A正确；
对于选项B，点 在圆 的外部，因为 到圆心 的距离 ，半径为，所以圆上的点到 的距离的范围为 ，而 ，所以不正确；
对于选项C，直线 为常数，则 ，则直线过定点 ，且点在圆 内，所以无论为何值，直线与曲线恒有两个交点，所以C正确；
对于选项D，假设存在这样的点，使得到点与点 的距离之和为，则在以点 与点 为焦点，实轴长为的椭圆上，即在椭圆 上，联立椭圆与圆的方程 ，解得 ，故曲线上存在点 ，使得到点 与点 的距离之和为，所以D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆定义判断，直接计算离心率判断，根据椭圆的几何性质判断，利用作差法求 判断．
解：由椭圆方程 可知， ，
所以 ，
由椭圆定义知， 的周长等于 ，故A错误；
椭圆的离心率 ，故B正确；
由椭圆的几何性质可知， 的最大值为 ，故C正确；
设 ， ，则 ，所以 ，
由点在椭圆上可得 ，两式相减可得 ，
化简可得 ，即 ，故D正确．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】由与 方向相同的单位向量是 可计算求得结果．
解： ， ，
即与向量 方向相同的单位向量是 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】根据垂径定理，结合点到直线的距离公式求解即可
解：由题意，圆 ，故圆心 ，半径 ，故圆心到直线 的距离为 ，故 ，即 ，解得 ，即
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】以 为坐标原点，分别以 ， ， 为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求出 的坐标，可得其数量积，结合二次函数的性质可得答案．
解：以 为坐标原点，分别以 ， ， 为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ， ，点为线段 上一点，
则 ， ，
可设 ， ，
则
，
当 时， 的最小值为 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】根据 ，且双曲线上的点到焦点的最小距离为 ，得到 ，进而求得离心率的范围．
解：因为 分别为 的中点，所以 ．
又双曲线上的点到焦点的最小距离为 ，
所以 ，解得 ，
因此双曲线的离心率的取值范围是 ．
故答案为： ．
17.【答案】解：设圆的方程为，，
因为圆过点，，又跟轴相切，
圆必在轴右侧，且跟轴的切点为，
圆心的纵坐标为．
，解得
圆的方程为，化简得．
解：设因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，即，
所以的轨迹方程为．
【解析】设圆的方程为，依题意可得圆心在轴右侧，且跟轴的切点为，即可得到圆心的纵坐标为，再将点的坐标代入方程，即可得到方程组，解得即可；
设则，再由点是圆上的动点，代入圆的方程，即可得解．
18.【答案】解：解： ，
则
．
．
四边形为菱形， ．
以为坐标原点， ， 正方向为，轴的正方向，过点且平行于 的直线为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得 ， ， ，
， ．
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得 ， ， ．
平面 轴，平面 的一个法向量
设平面 与平面 所成角为 ，
，
二面角 为锐二面角，二面角 的余弦值为 ．
【解析】【分析】由 ，应用 ，结合数量积运算即可．
建立空间直角坐标系．应用空间向量求解二面角的余弦值．
19.【答案】解：由题意，设双曲线的方程为 ，又因为双曲线过点 ， ，所以双曲线的方程为：
由 得
设 ，则 ， ，所以
则 中点坐标为 ，代入圆
得 ，所以 ．
【解析】【分析】
根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点 计算；联立直线与双曲线的方程，得关于 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出 的中点坐标，代入圆的方程计算．
20.【答案】解：因为椭圆 两焦点坐标分别为 ，
所以设椭圆 的方程为 ， ，
因为一个顶点为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
假设存在直线 符合题意．
与椭圆方程联立，得： ，消去得： ，
设 ，
则有 ，
所以 ，
所以的中点的坐标 ，
因为 ，所以是线的垂直平分线，所以
根据斜率之积为 ，可得 即 ，将其代入 ，
并整理得： ，解得： 且 ，
故存在满足条件的直线，其斜率的取值范围 ．
【解析】【分析】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
设直线方程，设交点坐标为 ；
联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 或 的一元二次方程，必要时计算 ；
列出韦达定理；
将所求问题或题中的关系转化为 、 或 、 的形式；
代入韦达定理求解．
根据题意可假设椭圆 的方程为 ，继而得到 ， ，再利用 即可求得答案；
假设存在直线 符合题意将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根和系数的关系，利用中点的坐标即可求得斜率的取值范围，从而解决问题．
21.【答案】解：设 ，由题意得 又 ，，
所以 ，整理得 ．
故动点的轨迹方程为 ．
显然圆 的圆心坐标为，半径为 ，
当直线的斜率不存在时，不符合题意．
设直线的方程为 ，即
因为点到直线的距离为，所以 ，解得 ，
所以直线的方程为 ，即 ，
所以圆心到直线的距离为 ，
因为 ，所以直线与曲线相交．
【解析】【分析】设点坐标，直接代入 ，整理可得动点的轨迹方程．
设出直线的方程，由点到直线的距离为，可计算得直线的方程，再根据问所得曲线为圆，由圆心到直线的距离可判断两者位置关系．
22.【答案】解：设椭圆的方程为 ，
由题意得 解得
椭圆的标准方程为 ．
证明：设点 ，
，
整理可得 ，
当直线的斜率存在时，设 ，
联立 得 ，
由 得 ，
则 ．
， ，
代入式化简可得 ，
即 ， 或 ，
则直线方程为 或 ，
直线过定点 或 ，又 和点重合，故舍去．
当直线的斜率不存在时，则 ， ，
此时 ，即 ，
又 ，解得 或舍去，
此时直线的方程为 ，过点 ．
综上所述，直线过定点 ．
【解析】【分析】定点问题必须是运动变化中的直线或曲线在运动变化中表现出的不变性质，解题的关键是“使用参数表达直线系方程”，解题的目标是“该直线系方程对任意参数均成立”，即可得出定点坐标．
在直线系过定点问题中，经常使用双参数直线系方程 ，此时解题的关键是“根据已知确定 的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程”．
待定系数法，设出椭圆方程后，根据椭圆的离心率为 ，且过点 ，列出方程组，解出即可；
根据 ，则 ，转化为坐标之间的关系式，设出直线 的方程后，与椭圆方程联立消元，利用韦达定理得到结果，代入已得关系式，即可证明．
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