2023-2024学年山东省泰安市高二上学期11月期中考试数学联考试题(含解析）

2023-2024学年山东省泰安市高二上学期11月期中考试数学联考试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知圆的一般方程为，则其圆心坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知直线：和：平行，则实数( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是
( )
A. B.
C. D.
4.已知向量，，，若向量，，共面，则实数等于( )
A. B. C. D.
5.已知，两点到直线：的距离相等，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.如图，在长方体中，，，点是棱的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.若圆和圆的交点为，，则下列结论正确的是( )
A. 公共弦所在直线的方程为
B. 线段的垂直平分线的方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为
8.已知曲线，则的最大值，最小值分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.给出下列命题，其中是真命题的是( )
A. 若是直线的方向向量，是直线的方向向量，则与垂直
B. 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则
C. 若，分别为平面，的法向量，则
D. 若存在实数，，使，则，，，共面
10.下列说法错误的是( )
A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率
B. 直线与直线的距离为
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
D. 经过且在轴，轴上截距相等的直线方程为
11.已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是
( )
A. 若反射光线平分圆的周长，则反射光线所在直线的方程为
B. 圆关于直线对称的圆的方程为
C. 若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则
D. 若反射光线与圆交于，两点，则的面积的最大值为
12.已知正方体的棱长为，为侧面上的动点，为侧面上的动点，则下列结论正确的是
( )
A. 若，则的轨迹长度为
B. 若，则到直线的距离的最小值为
C. 若，则，且直线平面
D. 若，则与平面所成角正弦的最小值为
三、填空题（本大题共1小题，共20分）
13.已知，，且，则 ．
经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程 ．
已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为 ．
已知为坐标原点，，均在直线上，，动点满足，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.本小题分
已知空间三点，，．
若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标
求点到直线的距离．
15.本小题分
已知三个顶点分别为，，．
求的面积
过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，，分别在侧棱和上，且，．
若，求
求直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被轴截得的弦长为．
求圆的方程
已知直线过点，圆上恰有三个点到直线的距离等于，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在矩形中，，，为线段中点，现将沿折起，使得点到点位置，且．
求证：平面平面
已知点是线段上的动点不与点，重合，若使平面与平面的夹角为，试确定点的位置．
19.本小题分
如图，已知圆，动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
求证：直线过定点
若两条切线，与轴分别交于，两点，求的面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程与标准方程的转化，考查由标准方程确定圆心，属基础题．
将圆的一般方程化为标准方程即得．
【解答】
解：圆转化为，其圆心坐标为，
则圆的圆心坐标是．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题．
由题意利用两条直线平行的条件，求得的值．
【解答】
解当时两直线不平行
当时，令得，
当时两直线重合
经检验，当时两直线平行．
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的加法，三角形法则，属基础题题．
利用空间向量的三角形法则，，结合平行六面体的性质分析解答．
【解答】
解：由题意，
．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查共面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
设，列出方程组，能求出实数的值．
【解答】
解：因为，，三向量共面，所以存在，，使得，
即，所以
即，解得
所以．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离公式，考查方程思想，属于基础题．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】
解：，两点到直线：的距离相等，
，解得或．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点到平面的距离和空间直角坐标系，属于基础题．
以为坐标原点，，分别为轴，输、轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解．
【解答】
解：如图，
以为坐标原点，，分别为轴，输、轴正方向建立空间直角坐标系，
则从而．
设平面的法向量为，
则，即，得
令，则，
所以点到平面的距离为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两圆相交弦有关的综合问题，属于中档题．
根据题意，逐项进行判断即可．
【解答】、
解：由圆和圆，
两圆方程相减得：公共弦所在直线方程为，故A错误；
由选项A可得：直线的中垂线的斜率，
又中垂线过圆的圆心，
所以线段中垂线方程为，故B错误；
可得圆心到直线的距离，
所以，故C错误；
由选项C得：圆心到直线的距离，
则到直线距离的最大值为，故D正确．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查点到圆上点的最值问题，考查两点间距离公式，属于中档题．
由题意转化曲线方程，可知曲线表示以为圆心，为半径的圆的右半圆，作图，数形结合分析，可知表示点到点的距离，将问题转化为点到圆上点的最值问题，即可求解．
【解答】解：方程，
则，
即，
又方程等价于，
即为，
则曲线表示以为圆心，为半径的圆的右半圆，
如下图所示，
则表示点到点的距离，
设点为点，设圆心为，设半圆的上侧顶点为
则由图可知，
易得，
，
则，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用平面的法向量判断线线关系、线面关系、面面关系，考查空间向量共面定理的应用，属于中档题．
根据判断；根据判断；根据判断；根据空间向量共面定理判断．
【解答】解：对于，，，
，
，直线与垂直，故A正确；
对于，，，
，
，
或，故B错误；
对于，，，
， 不垂直，所以与不垂直，故C错误；
对于，根据空间向量共面定理可知，D正确．
故选AD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率，判断直线方程的求法、对称知识以及直线的截距的应用，属于中档题．
由题意对四个选项逐一判断即可．
【解答】解：当直线的倾斜角为时，直线不存在斜率，
所以所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，故A错误；
直线与直线的距离为，故B错误；
直线在两坐标轴上的截距分别为：，，
与坐标轴围成的三角形的面积是：，
故C正确；
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，
所以不正确；
故选ABD
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，与圆有关的最值问题等知识，属于较难题．
求出给出的圆的圆心和半径，利用入射光线，反射光线的性质，对称性，根据题意对每个选项逐项分析即可．
【解答】
解：对于，圆 的标准方程为 ，即圆 的圆心坐标为，半径为，
反射光线平分圆 的周长，则入射光线一定经过圆 关于 轴的对称圆的圆心，即入射光线经过点，所以入射光线的斜率为，所在直线方程为，整理得： ，故A正确；
对于，设关于直线的对称点为，则，解得：则
圆 关于直线的对称圆的圆心坐标为，半径为，故方程为 ，即 ，故B错误；
对于，由光线的物理特性知，一条光线从点 射出经 轴反射，则反射光线一定经过点 关于轴的对称点 ，即 ，故C正确；
对于，设圆 的圆心到反射光线的距离为，则 ， ，所以当 时， 面积的最大值为 ，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，面面平行的性质，直线与平面所成角的向量求法，考查空间想象能力，属于难题．
对于、选项，由题意可知点在侧面 上的轨迹是以为圆心， 为半径的圆的 ，继而可求的轨迹长度和到直线 的距离的最小值；
对于，利用线面垂直的判定定理及性质定理以及面面平行的性质定理即可判断；
对于，建立空间直角坐标系，可设 ，设 与平面 所成角为 ，利用空间向量并用表示出 ，再求其最小值即可．
【解答】
解：对于、选项，如图：
取 ，的中点分别为，，
因为正方体 的棱长为，为侧面 上的点，且 ，
所以点在侧面 上的轨迹是以为圆心， 为半径的圆的 ，
则的轨迹长度为．
因此到直线 的距离的最小值为 ，故A正确，B错误；
对于选项，如图：
在正方体 中，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
而 ， ， ， 平面 ，
因此 平面 ，
而 平面 ，
所以 ．
同理可得： ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
而为侧面 上的点，
因此点在平面 与平面 的交线上，即
在正方体 中，平面 平面 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，故C正确；
对于选项，以为坐标原点，，， 所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如下图：
因为正方体 的棱长为，
所以 ， ， ， ， ， ．
因为 ，
所以设 ，
因此 ，
因为由选项C知： 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，
因此 是平面 的一个法向量，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
因此当 ，即与重合时， 取得最小值，最小值为 ，故D错误．
故选AC．
13.【答案】；
；
；

【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量垂直的性质，属于基础题．
由题意得出，求解出的值即可．
本题主要考查了求直线方程，属于基础题．
先求出两条直线的交点，再利用垂直的性质求出所求直线的斜率，即可写出直线方程．
本题主要考查了圆的轨迹方程的应用，属于中档题．
设，则，由题意得：，整理化简即可．
本题主要考查了圆中的最值问题，有关圆的轨迹问题，属于较难题．
设，，由题意得出点在以为圆心，为半径的圆上，所以的最小值为的最小值，利用点到直线的距离公式求解．
【解答】
解：由可得：，解得：；
解：由得：
所以两条直线和的交点为，
直线的斜率为，则所求直线的斜率为．
所以所求直线的方程为，即；
解：设，则，
由题意得：
即；
解：因为，均在直线上，，
所以设，，
由，得：，
整理得：，
则点在以为圆心，为半径的圆上，
在直线上运动，
所以的最小值为的最小值，
的最小值为，
所以的最小值为．
14.【答案】解：，，
设，
，，
，．
整理得，
，
或．
取，，
，，
到直线的距离为
．

【解析】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，属于中档题．
设向量，，由垂直关系以及模的坐标运算得到方程组即可求解；
利用点线之间的距离公式求解即可．
15.【答案】解：，，
直线的斜率，
直线的方程为．
点到直线的距离
．
由题知，直线的斜率，
直线的方程为．
设，则
点，分别在直线，上
，解得
直线的斜率，
直线的方程为
【解析】本题考查直线方程，三角形面积，点到直线的距离，属于基础题．
求出点到直线的距离，求出，即可得解
设，则，由，解得，即可求出斜率，从而得解．
16.【答案】解：，，
，
又，
，，，
设，，，
由知，，
，
，
，
又，
，
直线与所成角的余弦值为．
【解析】本题考查空间向量的线性运算、空间向量基本定理、直线与直线所成角的向量求法，属于一般题．
利用空间向量的线性运算求出，即可求出结果；
设，，，根据，利用，即可求出结果．
17.【答案】解：设圆的标准方程为，
圆心在直线上，
，，
圆与轴相切，
，，
又圆被轴截得的弦长为，
，
联立解得，，，，
圆的方程为．
圆上恰有三个点到直线的距离等于，
圆心到直线的距离．
当直线斜率不存在时，直线的方程为，合题意．
当直线斜率不存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离
，
解得，，
直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
【解析】本题考查圆的标准方程求法和圆的切线方程求法，属于中档题．
设圆的标准方程为，由题意可得，半径，再由，解得、、，由此求出圆的方程
分直线斜率不存在和存在，由直线与圆的位置关系两种情况求解即可．
18.【答案】证明：为中点，，
，
，四边形为矩形，
，
，
．
，，，平面，
平面，
平面
平面平面；
解：以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
，
，
设，，
则，
设是平面的法向量，
，即，
取，则
，
为平面的法向量，
，，
平面与平面的夹角为，
，
解得，
点为线段的中点．
【解析】本题面面垂直的判定，考查平面与平面所成角，属于中档题．
由题意得到平面，再利用面面垂直的判定即可证明；
建立空间直角坐标系，利用法向量求解即可．
19.【答案】解：由题知，圆心，半径，
，，
，在以为直径的圆上，
，的中点，
以为直径的圆的方程为，
即．
为圆与圆的公共弦，
直线的方程为．
直线过定点
当，有一条斜率不存在，即时，
不妨设的斜率不存在，则
直线的方程为，．
设直线的方程为，
由圆心到的距离，解得，
直线的方程为，
，
此时，．
当，斜率均存在，即时，
设，的方程为，即，
，与圆相切，
圆心到直线的距离，
．
设，的斜率分别为，，
，，
，
，，
且，
当时，，
此时，，
综上，面积的最小值为．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系和直线与圆的位置关系中的最值问题，是较难题．
易得，的中点，可得以为直径的圆的方程为，与圆相减可得直线方程，可得直线过定点
分直线斜率存在和不存在两种情况，根据韦达定理以及点到直线的距离公式、弦长公式、面积公式可得．
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