2023-2024学年江西省大联考高二上学期11月期中教学质量检测数学试题(含解析）

2023-2024学年江西省大联考高二上学期11月期中教学质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是
( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于
( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆台的上、下底面的半径分别为，，母线长为，则该圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，若原点到直线的距离是椭圆的短轴长的，则椭圆的离心率为
( )
A. B. C. D.
6.已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为，下底直径为，喉部中间最细处的直径为，则该塔筒的高为
( )
A. B. C. D.
8.已知圆为圆上两点，且为圆上一点，则的最大值是
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知方程表示的曲线为，则
( )
A. 当时，曲线表示椭圆
B. 存在 ，使得表示圆
C. 当或时，曲线表示双曲线
D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为
10.已知圆和圆相交于，两点，则下列说法正确的 是
( )
A.
B. 直线的方程为
C. 线段的长为
D. 到直线的距离与到直线的距离之比为
11.在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，在阳马中，底面，且，则
( )
A. 直线与所成角的余弦值是
B. 点到直线的距离是
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
12.已知拋物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是
( )
A. 抛物线的方程为 B.
C. 直线的斜率为 D. 直线的方程为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若，则______．
14.已知，则的值为______．
15.如图，在边长为的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的最小值是______．
16.已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，．
求；
求的面积．
18.本小题分
已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
已知的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．
19.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
将函数 的 图象向右平移个单位长度后得到的图象，当时，求的值域．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的焦点，且与相交于两点，直线交的准线于点．
若，求直线的方程；
证明：直线平行于轴
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，正三角形所在平面与平面垂直，分别为的中点．
求证：平面；
求二面角的平面角的余弦值．
22.本小题分
已知椭圆过点，离心率为．
求椭圆的方程；
已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由已知的两点求出直线的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解．
解：由直线的两点式方程，得直线的方程为 ，即 ，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点 ， ， 都在直线上，点 不在直线上．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可．
解：由题意得 ，
其在复平面内对应的点为 ，位于第二象限．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果．
解：由题意得 ，所以 ，所以 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据给定条件，利用圆台表面积公式计算作答．
解：因为圆台的上、下底面的半径分别为，，母线长为，则该圆台侧面积为 ，
所以这个圆台的表面积为 ．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】首先根据直线截距式方程求出 所在的直线方程，再根据题意建立关于 ， 的等式，化简求出 的值后，代入离心率公式即可．
解：由题意知 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
原点 到直线 的距离 ，
整理得 ，
所以椭圆 的离心率 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】对于，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于，运用面面平行的传递性易得；
对于，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于，借助于两平面的法向量的垂直关系可得．
解：
对于，如图，在长方体 中，设平面 为平面 ，平面 为平面 ，
平面 为平面 ，显然满足 ，但是平面 与平面 不平行，故A错误；
对于，根据面面平行的传递性，若 ，则 成立，故B正确；
对于，若 ，则 ，又 ，所以 ，故C正确；
对于，设直线 的方向向量分别为 ，若 ，
则平面 的一个法向量分别为 ，且 ，所以 ，故D正确．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可．
解：该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点 为原点，建立平面直角坐标系，
设与 分别为上，下底面对应点设双曲线的方程为 ，
因为双曲线的离心率为 ，所以 ．
又喉部中间最细处的直径为 ，所以 ，所以双曲线的方程为 ．
由题意可知 ，代入双曲线方程，得 ，
所以该塔筒的高为 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】取 的中点 ，连接 ，则 ，求出 ，从而得到 在以 为圆心，为半径的圆上，再求出 ，即可得解．
解：取 的中点 ，连接 ，则 ，因为 ，
所以 ，所以 在以 为圆心，为半径的圆上，
又 在圆 上，所以 ，
所以 ，故 的最大值是．

故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程分别判断各选项．
解：、选项：当 时， ， ，当 时， ，
此时曲线 表示圆，选项错误，选项正确；
选项：当 时， ， ，曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，
当 时， ， ，曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，选项正确；
选项：若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，则 ，
则椭圆的焦距 ，选项错误；
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用圆的性质可判定项，利用两圆的公共弦方程公式计算可判定项，利用弦长公式可判定项，利用点到直线的距离公式可判定项．
解：对于项，因为两个圆相交，所以圆心 ， 所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；
对于项，因为圆 和圆 相交于， 两点，所以两圆方程相减得到 ，即 ，故B正确；
对于项，圆 化为标准方程是 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，故C正确；
对于项，因为圆 化为标准方程是 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以 到直线 的距离与 到直线 的距离之比为 ，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求角及距离的方法逐项判断即得．
解：在阳马 中， 底面 ，
以 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ，
于是 ，则直线 与 所成角的余弦值是 ，A正确；
点 到直线 的距离 ，B错误；
设 为平面 的法向量，则 ，令 ，得 ，
，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，C错误；
点 到平面 的距离 ，D正确．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】由准线所过点求得 得抛物线方程，判断，设直线 ，代入抛物线方程后应用韦达定理判断，设 ， ，利用选项B中斜率 表示出 两点坐标，计算斜率判断，利用韦达定理得出线段 中点坐标得直线方程判断．
解：因为 在准线上，所以准线方程为 ，所以 ，抛物线 的方程为 ，故A错误；
设直线 ，代入 ，得 ，
当直线与 相切时， ，即 ，
设 的斜率分别为 ，易知 是上述方程的两根，故 ，
所以 ，故B正确；
设 ， ，则 分别是方程 的根，
所以 ，所以 ，故C正确；
， ，
所以 的中点为 ，直线 的方程为 ，即 ，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】利用向量数量积的坐标公式计算可得答案．
解：由 ，得 ，
所以 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解．
解： ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算结合三角函数的有界性即可得解．
解：以正方形 的中心 为原点建立平面直角坐标系如图所示，
则点 ， ，
正方形 的外接圆的方程为 ，
设点 ，则 ，
所以 ，
即 的最小值为 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】 【分析】解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知 也在双曲线的渐近线上，利用 求解．
根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知 也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知 轴，设 ，又 在渐近线 上，可得 ，利用 ， 和离心率的取值范围可得答案围．
解：由双曲线的对称性可知 也在双曲线的渐近线上，且 在第二象限，
由 轴，可知 轴，所以可设 ，
又 在渐近线 上，所以 ，所以 ，
因为 的离心率的取值范围是 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
故答案为： ．
17.【答案】解：由正弦定理，得 ，
所以 ．
由余弦定理， ，
所以 ，
所以 ，解得 或 舍，
所以 ，
故 的面积为 ．

【解析】【分析】根据正弦定理即可求解；
先由余弦定理可求得 的值，再由三角形面积公式即可求解．
18.【答案】解：显然直线 的斜率存在且不等于，设直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
又直线 在两坐标轴上的截距相等，所以 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 ．
设 的外接圆的方程为 ，
则 ，解得 ， ， ，
所以 的外接圆的方程为 ，
所以 的外接圆的标准方程为 ．

【解析】【分析】设出直线方程，求出截距，利用截距相等建立方程求解斜率 即可求出直线方程；
设出圆的一般方程，将点代入方程求解，再化为标准方程即可．
19.【答案】解：
，
所以函数 的最小正周期 ．
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 在 上的值域为 ．

【解析】【分析】将 化简为 的形式即可求解；
整体思想求值域．
20.【答案】解：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设 ，
由抛物线定义，得 ，
所以 ，
当直线 的斜率不存在时， ，不符合要求，
故直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立方程 ，得 ，
则 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或 ．
证明：设 ，则直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，
设直线 的 方程为 ，代入方程 ，
得 ，所以 ，
所以 ，所以直线 平行于 轴．

【解析】【分析】结合焦点弦长公式得直线的斜率存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求解；
设 ，由直线 ，得 ，再联立直线 ： 与抛物线方程，应用韦达定理，可证明 ．
21.【答案】证明：因为 是正三角形， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以
如图，连接 ，
在直角梯形 中， ，
所以 ，
在平面 内过点 作 ，垂足为 ，则 ，
所以 ，所以 ，即 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
解：
取 的 中点 ，连接 ，
在直角梯形 中， 分别为 的中点，则 ，
又 ，所以 ，
由知 平面 ，又 平面 ，则 ，
以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为 ，
所以 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．

【解析】【分析】由面面垂直得线面垂直坐得线线垂直 ，在直角梯形中由勾股定理逆定理证明 ，即可证明线面垂直；
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
22.【答案】解：依题意，得 又 ，解得
所以椭圆方程为 ．
因为 ，所以 ，
又 为线段 的中点，所以 ，因此 ．
根据题意可知直线 的斜率一定存在，设 的方程为 ，
联立 消去 ，
得 ，
根据韦达定理可得 ，
因为 ，
所以
，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ．
又直线 不经过点 ，所以 舍去，
于是直线 的方程为 ，恒过定点 ，该点在椭圆 内，满足 ，
所以直线 恒过定点，定点坐标为 ．

【解析】【分析】根据题意，列出关于 的方程，代入计算，即可得到结果；
根据题意，设 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果．
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