2023-2024学年广东省揭阳市揭东区高二上学期期中数字试题(含解析）

2023-2024学年广东省揭阳市揭东区高二上学期期中数字试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是
．( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，已知下列各式：
；
；
；
．
其中运算的结果为向量的有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如图，在平行六面体中，设，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知两个向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.设，则“”是“直线与直线平行”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知点、分别在二面角的两个面、上，，，、为垂足，，若与成角，则二面角为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在空间直角坐标系中，已知点，则( )
A. 在轴上的投影向量的坐标为
B. 在轴上的投影向量的坐标为
C. 在轴上的投影向量的坐标为
D. 点在坐标平面内的射影的坐标为
10.直线中，已知若与坐标轴围成的三角形的面积不小于，则实数对可以是
( )
A. B. C. D.
11.已知直角坐标平面内的两点，，则( )
A. 直线的一般式方程为
B. 线段的中垂线所在直线的方程为
C. 以向量为方向向量且过点的直线的方程为
D. 一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，则反射光线所在的直线方程为
12.已知正方体的棱长为，为棱上的动点，平面，下面说法正确的是( )
A. 若为中点，当最小时，
B. 直线与平面所成角的正切值的取值范围为
C. 当点与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
D. 若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知，，且，则的最大值为 ．
14.已知空间，，，则_____．
15.如图，正三棱柱中，有，则与平面所成的角的正弦值为 ．
16.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，分别以，为边向外作正方形与，则点的坐标为 ，直线的一般式方程为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在中，已知，，．
求边所在的直线方程；
求的面积．
18.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，的面积为，求，．
19.本小题分
如图，正四棱柱底面边长为，侧棱长为，为的中点，、分别为、上的点，且，求点到平面的距离．
20.本小题分
为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育文化旅游”全方位融合发展．本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：
组数 速度 千米小时 参赛人数 单位：人
少年组
成年组
专业组
求，的值；
估计本次大赛所有选手的平均速度同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到；
通过按比例分配分层抽样从成年组和专业组中抽取人，再从这人中随机抽取人接受采访，求接受采访的人都来自“成年组”的概率．
21.本小题分
如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
证明：；
等于何值时，二面角的大小为．
22.本小题分
已知函数．
用定义法证明 在上单调递增；
求不等式的解集；
若，对使不等式成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，再根据并集的定义求解即可．
解：，解得，即，
所以．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，属于基础题．
由题意，由复数除法法则运算得答案．
【解答】
解：．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
根据直线过点，且倾斜角是，可求得直线的方程．
解：由于直线过点，且倾斜角是，则直线的方程为，即．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断选项即可．
解：：，故正确；
：，故正确；
：，故正确；
：，故正确．
所以个式子的运算结果都是，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法，属基础题．
根据空间向量的加减法运算用已知向量把 表示出来即可求出．
【解答】
解：
，
所以．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由，则存在实数使得，建立方程组即可得出．
【解答】
解：，
存在实数使得，
解得，，，
则．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
结合直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的条件是解决本题的关键，属于基础题．
【解答】
解：因为直线与直线平行，
所以．
所以．
所以直线与直线平行的充分不必要条件．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】根据二面角的定义，结合线面垂直的判定定理和性质、余弦定理进行求解即可．
解：如图：
在内，过作，且，连接、，
由，则四边形为矩形，可得，，
，，平面，
为二面角的平面角，且平面，
即平面，
平面，
则，
设，则，
又直线与所成角为，
，
得，
在中，，
，
故二面角的大小为．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间直角坐标系及点的坐标，属于基础题．
【解答】
解：在轴上的投影向量的坐标为，在轴上的投影向量的坐标为，在轴上的投影向量的坐标为，点在坐标平面内的射影的坐标为．
10.【答案】
【解析】【分析】由题意可得该三角形的面积为，得，结合选项即可求解．
解：因为，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，
则，得，
结合选项可知，满足题意．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线方程，两直线垂直的判定及应用，直线的方向向量，考查学生的计算能力，属于中档题．根据直线间的对称关系逐项判断即可。
【解答】
解：对于，直线的斜率为，
则直线的一般式方程为，即，故A正确；
对于，，，
线段的中点坐标为．
又，
线段的中垂线所在直线的斜率为，
由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为，
即，故B错误；
对于，由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线的斜率为，
由直线方程的点斜式得直线的方程为，即，故C正确；
对于，设关于轴的对称点为，则点，
所以，
则直线，
即反射光线所在的直线方程为，故D正确．
故选ACD．
12.【答案】
【解析】【分析】
利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项A正确；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定选项B错误；
通过两个截面的面积不相等且周长相等判定选项C错误；
利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定选项D正确．
本题考查了立体几何的综合，命题的真假判断，属于难题．
【解答】
解：对于：将矩形与矩形展开成一个平面如图所示，
若最小，则、、三点共线，
因为，
所以，
所以，
即，故A正确；
对于：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，设，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
且，，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，
则直线与平面所成角的正切值的取值范围为，故B错误；
对于：当点与点重合时，连接D、、B、、，如图所示，
在正方体中，平面，
平面，
所以，
又因为，且，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可证，
因为，
所以平面，
易知是边长为的等边三角形，
其面积为，
周长为；
设、、、，，分别是，、，，，的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即选项C错误；
对于，连接、，
设平面交棱于点，，
所以，
因为平面，平面，
所以，
即，得，
所以，
即点是的中点，
同理点是的中点，
则且，
所以四边形是梯形，且，，
设，，
则，，
所以梯形的高，即点到直线的距离为，
所以梯形的面积为，故D正确；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力，属于基础题．
根据基本不等式可知，，进而根据的值求得的最大值．
【解答】
解：因为，，且，
所以由基本不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，
故最大值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案．
解：由，且，，则，解得，
故．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属于中档题．
根据题意，取的中点，连接，，证明面，所以就是与平面所成的角，解直角三角形即可．
【解答】解：取的中点，连接，，
因正三棱柱则，
在正三棱柱中，
面面，面面，，
面，
又，
则，
就是与平面所成的角，
设，
则在中，，
即．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线的一般式方程与直线的性质，需要运用正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题．
分别过、作轴的垂线，垂足分别为、根据正方形的性质证出，利用对应边相等及、两点的坐标，算出，同理得到由此算出直线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到直线的一般式方程．
【解答】
解：分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，
四边形为正方形，
，可得，，
，，
，，可得，
由此可得坐标为，同理得到，
直线的斜率为，
可得直线的方程为，化简得．
故答案为：．
17.【答案】解：，，
边所在的直线方程为，即；
设到的距离为，
则，
，
方程为：，即：，
．
．
【解析】本题考查两点式直线方程公式，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是基础题．
直接由两点式直线方程公式求解即可；
求出到的距离为，再求的距离，然后利用面积公式求解即可．
18.【答案】解：Ⅰ由及正弦定理得
由于，所以，
又，故．
Ⅱ的面积，故，
而故，解得

【解析】略
19.【答案】解：在长方体中，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，设平面的法向量为，
则，取，可得，
因为，所以，点到面的距离为．

【解析】【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离．
20.【答案】解：由频率分布直方图得：
，
解得．
少年组人数为人，频率，
总人数人，
，
，．
平均速度为：
．
估计本次大赛的平均速度为千米小时．
成年组和专业组的参赛人数分别为人，人，
设在成年组和专业组抽取的人数分别为，，
则，
解得，，
由分层抽样在成年组中抽取人，专业组中抽取人，
设成年组中的人分别用，，，表示，专业组中的人分别用，表示，
从中抽取人的所有结果为：
，，，，，，，，，，，，，，，共种，
接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：
，，，，，，共种，
接受采访的人都来自成年组的概率为．
【解析】本题考查到频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，属于中档题．
由频率分布直方图列方程，求出，利用少年组人数为人，频率为，能求出总人数，由此能求出；
由频率分布直方图能估计本次大赛的平均速度；
成年组和专业组的参赛人数分别为人，人，设在成年组和专业组抽取的人数分别为，，利用分层抽样的性质列方程能求出由分层抽样在成年组中抽取人，专业组中抽取人，设成年组中的人分别用，，，表示，专业组中的人分别用，表示，从中抽取人，利用列举法能求出接受采访的人都来自成年组的概率．
21.【答案】解：在如图所示的空间直角坐标系中，，设
则，所以，所以；
设为平面的一个法向量，
由，得，所以
因为二面角的大小为，
所以
又，所以，即当时二面角的大小为．

【解析】【分析】线线垂直，二面角．
第一问利用长方体的特殊性，建立相应的坐标系，应用向量的数量积等于零来得出向量垂直，从而得证两直线垂直，第二问县设出的长，从而利用空间向量求得二面角的大小，从而得出关于长度所满足的等量关系式，从而求得结果．
22.【答案】解：
设，
则，
，
，，，，
，，
故在上单调递增．
由于，所以是偶函数，且在上单调递增，
，
两边同时平方可得，
解得或
所以原不等式的解集为或．
由于，使得成立，
令，可知，
由于单调递增，，在上单调递增，则由复合函数单调性知
函数在上单调递增，，
故，
即，
所以，
令，则，当时等号成立，
则，
则，
令，
所以当时，取得最大值，
则，
即的取值范围为

【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
相等关系
记的值域为，的值域为，
若，，有成立，则有；
若，，有成立，则有；
若，，有成立，故；
不等关系
若，，总有成立，故；
若，，有成立，故；
若，，有成立，故；
若，，有成立，故．
利用定义法证明函数的单调性；
利用奇偶性和单调性解不等式；
令，利用复合函数法求出，转化为恒成立，即，，利用分离参数法和换元法转化为恒成立令，利用二次函数的性质求出的最大值，进而求出的取值范围．
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