2023-2024学年广东省梅州市蕉岭县三校高一上学期10月联考数学试题(含解析）

2023-2024学年广东省梅州市蕉岭县三校高一上学期10月联考数学试题
一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.命题“”的否定是
A. B.
C. D.
3.若，，则，的大小关系是( )
A. B. C. D. 与的值有关
4.设，则“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
6.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为
( )
A. B.
C. 或 D.
7.已知函数的定义域是，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.如图，点在边长为的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是( )
A. B.
C. D.
9.设，，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数的是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共15分。在每小题有多项符合题目要求）
10.对实数，，，，下列命题中正确的是
( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则的最小值是
11.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是
( )
A. B. C. D.
12.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，；则下列选项成立的是( )
A.
B. 若，则或
C. 若，则
D. ，使得
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数的定义域是______．
14.设集合，则集合的子集个数为________
15.已知函数则___________．
16.设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合．
求 ，；
若，且 ，求的取值范围．
18.本小题分
解关于的不等式，．
19.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求；
若是 的 必要不充分条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知，都是正数．
若，求的最大值；
若，且，求的最小值．
21.本小题分
某厂家拟在年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用万元满足为常数，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是万件．已知生产该产品的固定投入为万元，每生产一万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍此处每件产品年平均成本按元来计算．
将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
该厂家年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求函数的解析式；
判断当时，函数的单调性，并用定义证明；
若恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据集合的交运算法则可直接得到结果．
解：因为 ， ，
所以 ，
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题．
根据特称命题的否定是全称命题，得出选项．
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ ”的否定是 ，
故选．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查作差法比较大小，考查运算能力，属于基础题．
运用作差法，结合完全平方公式，即可得到所求结论．
【解答】
解：由，
则，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，属于基础题．
由，而或，即可得出答案．
【解答】解：易知，而或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
由 得 ，再根据基本不等式“”的用法求解即可．
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据不等式 的解集，可得 是方程 的根，得到 的关系，再解 可得答案．
解：不等式 的解集为 ，
可得 是方程 的根，
所以 ，且 ，解得 ，
由不等式 可得 ，
由 得 ，
所以 ，解得 ，
则不等式 的解集为 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答．
解：依题意， ，不等式 恒成立，
当 时， 恒成立，则 ，
当 时，有 ，解得 ，则 ，因此
所以 的取值范围是 ．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，属基础题．
【解答】解：根据题意得，
分段函数图象分段画即可，
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的概念以及函数的图象，属基础题．
【解答】
解：图象不满足条件，因为，所以不正确；
B.因为对于集合中的每一个值，在集合中都有个值与之对应，满足函数的定义，所以正确；
C.因为，所以不正确；
D.当，在集合中有个值与之对应，不满足函数的定义，所以不正确．
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】利用不等式的性质，对三个选项逐一分析判断即可判断出正误；选项D，利用基本不等式即可判断出正误．
解：选项A，当 ， ，故选项A错误；
选项B，因为 ， ，所以 ，由不等式性质知， ，故选项B正确；
选项C， ， ，所以 ，由不等式性质知， ，故选项C正确；
选项D，因为 ， ，当且仅当 时取等号，所以等号取不到，选项D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数得奇偶性，属于中档题．
可根据函数的奇偶性定义逐一检验解答．
【解答】
解：对于：令，
则，
所以函数为奇函数，所以A正确；
对于：令，
则，
所以函数为偶函数，所以B错误；
对于，，
所以为非奇非偶函数，所以C错误；
对于，，
所以是奇函数，所以D正确．
故选AD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抽象函数及函数的单调性与奇偶性相关知识，属于中档题．
利用偶函数、函数单调性的定义，结合题目条件得函数为偶函数，且函数在上单调递减，即可判断选项A，利用题目条件作出函数的示意图，即可判断选项C再结合函数的最值，对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：因为函数是定义在上的函数，
所以由：，得函数为偶函数，
又因为由知：，，当时，都有，
因此，，，有，即，
所以函数在上单调递减，
对于、因为函数在上单调递减，
因此，因此A正确；
对于、因为定义在上的偶函数图象连续且在上单调递减，
若，则，解得或，因此B正确；
对于、因为，函数为偶函数，所以，
因为函数为偶函数，图象连续，在单调递减，
所以可作函数的示意图如下：
所以由得或，因此不正确；
对于、由知：是函数的最大值，
因此，，使得，因此D正确．
故选ABD．
13.【答案】
【解析】【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．
解：由题意可得 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的求法，考查集合的子集个数的求法．
化简集合，进而能求出集合的子集的个数．
【解答】
解：集合，
列举法表示集合，
集合的子集有个．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】代入即可求解．
解： ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】先根据不等式的解集求得 ，得到 ，再把对任意 ， 恒成立，结合二次函数的性质，转化为 恒成立，即可求解．
解：由函数 ，且不等式 的解集为 ，
即 是方程 两个实数根，
可得 ，解得 ，所以 ，
又由 ，且 ，
当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
因为对任意 恒成立，即 恒成立，
解得 或 ，所以实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
17.【答案】解： ，所以 ，
所以 ．
由于 ，且 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ．

【解析】【分析】解不等式求得集合 ，由此求得 ，进而求得 ．
根据 是 的子集列不等式组，由此求得 的取值范围．
18.【答案】解： ，
当 时，由 得： ；
当 时，不等式 无解；
当 时，由 得： ；
综上所述：当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ．

【解析】【分析】将不等式化为 ，再分类讨论 的范围即可求解．
19.【答案】解：因为 ，当 时， ，
因为全集 ，则 或 ， 或 ，
因此， 或 ．
易知集合 为非空集合，
因为 是 的必要不充分条件，则 ，所以， ，解得 ．
因此，实数 的取值范围是 ．

【解析】【分析】当 时，求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 ；
分析可知， ，利用集合的包含关系可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围．
20.【答案】解：因为，都是正数，则 ，即 ，
解得： ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为 ．
由，都是正数，且 ，由 可得：
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．

【解析】【分析】直接利用基本不等式 即可求得最值；
利用 ，展开后直接利用基本不等式求出结果．
21.【答案】解：由题意知，当 时， 万件，
则 ，解得 ， ，
所以每件产品的销售价格为 元，
年的利润 ；
当 时， ，
，
当且仅当 即 时等号成立．
，
即 万元时， 万元，
故该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大为万元．

【解析】【分析】根据 ， 求出 ，从而可求出 ，再根据利润公式求函数关系式即可；
根据中结论，再结合基本不等式即可得解．
22.【答案】解：函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
，解得 ，故 ，
时， ，函数为奇函数，
综上所述： ．
当 时，函数 单调递增，
设 ，则 ，
，故 ， ， ，
故 ，即 ，
故 在 上单调递增．
，即 ，
在 上单调递增，故 ，解得 ．

【解析】【分析】根据奇函数得到 ，再根据 计算得到答案．
确定函数单调递增，设 ，计算 得到证明．
变换得到 ，根据函数的单调性和定义域解得答案．
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