高中数学北师大版必修一 第2章 函数 同步练习（含解析）

第2章　函数
1.已知幂函数f(x)的图象过点,则f(8)的值为(　　).
A. B. C.2 D.8
2.函数f(x)=的定义域为(　　).
A.(-∞,0) B.(0,1]
C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1]
3.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为(　　).
A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2
C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x-3
4．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)＋g(x)＝3x，则(　　)
A．f(x)＝3－x－3x B．f(x)＝
C．f(x)＝3x－3－x D．f(x)＝
5.(多选题)已知f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),且x1A.x1∈(-2,0)
B.x1+x2+x3的取值范围为(4,6)
C.x2+x3=6
D.x1+x2=0
6．设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
7.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是(　　).
8.(多选题)若f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在区间[0,+∞)内是减函数,则下列关系正确的是(　　).
A.f(-1)B.f(-a2-b2)≤f(2|ab|)
C.f≥f
D.f(3+)>f
9．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)
10．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
11.已知定义在R上的奇函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递减,若f(x2-2x+a)12.函数f(x)=的定义域是　.
13.设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　　.
14.已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.
15.已知函数f(x)=(a≠0,x∈(-1,1)).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a=1,求f(x)在区间上的最大值和最小值.
16.已知一元二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+2m+1图象的上方,试确定实数m的取值范围.
17．已知函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋2x－3.
(1)当a＝1时，求函数f(g(x))的递增区间、值域；
(2)求函数g(f(x))在区间[－2，＋∞)上的最大值h(a).
设f(x)=xα.∵函数f(x)的图象过点,
∴=2α,∴α=-,
∴f(x)=,∴f(8)=.
A
要使函数f(x)有意义,需有解得x≤1,且x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1],故选D.
D
设f(x)=kx+b(k≠0),
则f(x-1)=k(x-1)+b=3x-5,
即kx-k+b=3x-5,
∴解得k=3,b=-2,∴f(x)=3x-2.
B
4.解析：选D.因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝3－x，
即解得
作出函数图象如图所示.
函数y=x2-6x+8图象的对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,-1),对于函数y=2x+3,当x=-2时,y=-1.因为
互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),且x1ABC
6.解析：选A.因为函数f＝x3－的定义域为，其关于原点对称，
而f＝－f，所以函数f为奇函数．
又因为函数y＝x3在上单调递增，
在上单调递增，
而y＝＝x－3在上单调递减，
在上单调递减，
所以函数f＝x3－在上单调递增，
在上单调递增．
由于函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集,即(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数y=f(x)·g(x)的图象在x=0处是断开的,故可以排除C,D;
由于当x为很小的正数时,f(x)>0,且g(x)<0,因此f(x)·g(x)<0,可排除B,故选A.
A
∵f(x)是偶函数,且在区间[0,+∞)内是减函数,
∴f(15)∵a2+b2≥2|ab|≥0,
∴f(2|ab|)≥f(a2+b2)=f(-a2-b2).故B正确.
∵a2+2a+=(a+1)2+,
∴f≤f=f.故C正确.
∵3+>0,
∴f(3+)BC
9.解析：选D.由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．
因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，
则AD＝＝4－x，
所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，显然该函数的图像是二次函数图像的一部分，且当x＝2时，y＝4－∈(3，4).
解析：选D.因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝0，当x>0时，f(x－1)≥0＝f(2)，即0所以不等式xf(x－1)≥0的解集为[－1，0]∪[1，3].
11.解析:依题意,得f(x)在R上是减函数,所以f(x2-2x+a)x+1对任意的x∈[-1,2]恒成立,等价于a>-x2+3x+1对任意的x∈[-1,2]恒成立.
设g(x)=-x2+3x+1(-1≤x≤2),则g(x)=(-1≤x≤2),当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max=g,因此a>.
答案:
由得x≥-1,且x≠0.∴函数f(x)=的定义域为[-1,0)∪(0,+∞).
[-1,0)∪(0,+∞)
因为函数f(x)=为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即,
整理,得(a+1)x=0,又x≠0,所以a+1=0,
解得a=-1.
答案:-1
14.解:(1)因为函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,
所以m2-2m+2=1,解得m=1,故f(x)=x-2.
(2)函数f(x)为偶函数.
证明如下:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,因为对于定义域内的任意x,都有f(-x)=(-x)-2==x-2=f(x),所以函数f(x)=x-2为偶函数.
(3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
证明如下:在区间(0,+∞)上任取x1,x2,不妨设0∵x1,x2∈(0,+∞),且x1∴x2-x1>0,x2+x1>0,>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
15.解:(1)设-1∵-10,x1x2+1>0,(-1)(-1)>0,∴当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在区间(-1,1)上单调递增.
综上所述,当a>0时,f(x)在区间(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x)在区间(-1,1)上单调递增.
(2)当a=1时,f(x)=,由(1)知f(x)在区间上单调递减,故f(x)的最大值为f,最小值为f=-.
16.解:(1)由题意设f(x)=a(x-1)2+1(a>0),
将点(0,3)的坐标代入,得a=2,
所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
(2)由(1)知函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以2a<1即实数a的取值范围为.
(3)f(x)-2x-2m-1=2x2-6x-2m+2,
由题意得2x2-6x-2m+2>0对于任意x∈[-1,1]恒成立,所以x2-3x+1>m对于任意x∈[-1,1]恒成立.
令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1],则g(x)min=g(1)=-1,所以m<-1,故实数m的取值范围为(-∞,-1).
17.解析：(1)当a＝1时，f(x)＝为减函数，g(x)＝x2＋2x－3的减区间为
(－∞，－1]，所以函数f(g(x))＝的递增区间为(－∞，－1]，g(x)＝
x2＋2x－3＝(x＋1)2－4∈[－4，＋∞)，所以f(g(x))的值域为.
(2)令t＝f(x)＝∈(0，4]，即求g(t)在(0，4]上的最大值h(a).对于g(t)＝at2＋
2t－3，
当a＝0时，g(t)＝2t－3，在(0，4]上是增加的，
所以h(a)＝g(4)＝5；
当a>0时，对称轴为t＝－<0，在(0，4]上是增加的，所以h(a)＝g(4)＝16a＋5；
当a<0时，对称轴为t＝－>0，当－≥4，即－≤a<0时，在(0，4]上是增加的，
所以h(a)＝g(4)＝16a＋5；当－<4，即－>a时，在上是增加的，在上是减少的，所以h(a)＝g＝－－3，
1