1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
一、教学目标
1 . 知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
2．过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
3．情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
三、教学过程
（一）、新课引入
已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？
（二）、探究定理
1、画一画：
让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
2、做一做
（1）、如图1、以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。
正方形
P
Q
R
面积
9
16
25
思考：
问题1：这三个正方形的面积分别
为多少？你是怎么求的？
问题2：这三个正方形的面积之间满足一个
什么等式？ 图1
问题3：正方形的面积等于边长的平方，那
么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？
问题4：我们前面说过：在直角三角形中，
我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，
斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？
（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？
3、议一议
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
4、猜一猜
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有
a2＋b2=c2
【过渡语】
猜想的结论是否正确须经过严格论证。证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创造的一种证法。
5、探一探（小组活动）
⑴、请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，三边分别标好a,b,c，拼出一个边长为c 的正方形，利用面积相等进行证明（赵爽弦图，如图2）。
【小组合作探究】，思考：
问题1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？
问题2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？
问题3：大正方形由哪几个图形构成？
问题4：它们的面积之间满足什么样的关系？
问题5：分别怎么来表示它们的面积？
⑵、证明：如图2左（赵爽弦图）所示，其等量关系为：
4S△+S小正=S大正 即
4×ab＋（b－a）2=c2，
化简可证。右图证明请同学们课后自己思考，教材第96－97页有另一种证法，请同学们现在用2分钟看完。
6、归纳总结
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有
a2＋b2=c2。
我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？
（1）介绍《周髀算经》中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五 这个规律
（2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；
（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上．
（4）反思：公式变形：
说明：直角三角形的边长为正数，所以取算术平方根。
问题1：勾股定理对所有的三角形都适用吗？为什么？
问题2：勾股定理的条件是什么？结论是什么？
结论：勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边。
（三）、勾股定理的应用
1、例题分析：
例1、如图4，在△ABC中，∠C＝900，AB=17,AC=8，求BC的长。
分析：在这个直角三角形中，已知斜边和
条直角边，求另一条直角边。
根据勾股定 理可得 BC===15
方法小结：利用勾股定理建立方程。
2、练习：在一个直角三角形中有二边分别是3和4，那么另一边一定是5吗？（小组合作探究）
（四）解决问题：
已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？
（五）小结：
1、本节课我们经历了怎样的过程？
2、本节课我们学到了什么？
3、学了本节课后我们有什么感想？
（六）拓展练习：
如图6，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形G的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_________cm2。
（七）作业：
四、教学反思
新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。为此我在教学设计中注重了以下几点：
一、让学生主动想学
上这节课前一个星期教师布置给学生任务：查有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍）.提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上．同时培养学生的自学能力及归类总结能力。
二、在课堂教学中，始终注重学生的自主探究
首先，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。体现了学生是数学学习的主人，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。对于拼图验证，学生还没有接触过，所以在教学中教师给予学生适当指导与鼓励。充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。
三、教会学生思维，培养学生多种能力
课前查资料，培养学生的自学能力及归类总结能力；课上的探究培养学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力……
四、注重了数学应用意识的培养
数学来源于实践，而又应用于实践。因此从实例引入，最后通过定理解决引例中的问题，并在定理的应用中，让学生举生活中的例子，充分体现了数学的应用价值。
整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习。学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细心观察、认真思考的态度。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。另在举勾股定理在生活中的例子时，学生思路不够开阔。以后要多培养学生实验操作能力及应用拓展能力，使学生思路更开阔
1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
教学目的
知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用； 教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．
解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．情感态度与价值观：
敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．重点、难点
重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。难点：运用直角三角形判别条件解题
教学过程一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题
展示一根用 13 个等距的结把它分成等长的12 段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。
乙：握住第四个结。 丙：握住第八个结。拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。
问：发现这个角是多少？（直角）二、做一做
下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。 5、12、13 7、24、25 8、15、17
1、这三组数都满足吗？同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。
2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
同学们在在形成共识后板书：
如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。
满足的三个正整数，称为勾股数。
大家可以想这样的勾股数是很多的。
今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。
三、讲解例题
例1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？
分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。
解：在△ABD中，
所以△ABD为直角三角形 ∠A =90°
在△BDC中,
所以△BDC是直角三角形∠CDB =90°
因此这个零件符合要求。
四、随堂练习：
⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．
⑴9，12，15； ⑵15，36，39；
⑶12，35，36； ⑷12，18，22．
⒉已知?ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.
⒊四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积．
⒋习题1.3
五、读一读
P19 勾股数组与费马大定理。⒈直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c六、小结：
1、满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．
2、满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
六、作业
1、课本 P20 1 .3 1。
教学反思：这是勾股定理的逆应用。大部分的同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解。当然勾股定理的理解掌握是关键。
课件15张PPT。勾股定理 34?勾股定理弦勾 股 弦
3 4 5
6 8 10
5 12 13
……勾2+股2=弦2勾股勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方。 即 a2+b2=c2
面积证法（面积割补法） 图形面积的有关性质：
（1）两个图形全等，它们的面积相等；
（2）一个图形的面积，等于它的各部分面积的和。
图形面积的两个基本性质很重要，根据这两个性质，我们可以借助于适当的辅助线割补多边形，割补后所成新图形的面积和原图形面积相等，这种方法叫做面积割补法。
a2b2bacc2a2c2b2a2+b2=c2勾股定理的应用 在直角三角形中，如果已知任意两条边长，就可以求出第三条边长。 Rt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０o，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边分别是a、b、c，则有a2＋b2＝c2, 且
例题 已知：如图，等腰△ＡＢC 的周长是32cm，底边长是12cm。 （1）求高AD的长； （2）求S△ＡＢC。. ABCD练习： 若三角形三内角的度数之比为1：2：3，则它的三条边的比为多少？
思考：你能根据下列图形及提示，证明勾股定理吗？abccab例题：求图所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0.1mm）。AB21216040C例题：作长为 的线段。 A1111BB2B1CB312课件16张PPT。勾股定理的应用◆如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形． ⑴从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 ； ◆如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形． ⑵以⑴中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数． B.01··■在给出的数轴上找出表示 的点. ■你能找出表示 、 、 ，…这些数的点吗？ ■在给出的数轴上找出表示1的点. 0··◆已知等边三角形的边长为a,求它的高和面积. ⑴求它的高.⑵求它的面积. BAC◆在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4,BC=3.
求Rt△ABC斜边上的高． ABCD ●邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少km？ ABCDO如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E.
⑴若AB=12，BC=10，AC=8 ,求：DE的长度.如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E.
⑵求证：AB2 - AC2＝2BC·DE.如图，已知：等腰直角△ABC中，P为斜边BC上的任一点.
求证：PB2＋PC2＝2PA2 .D在一个内腔长30cm、宽40 cm、高50 cm的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少cm？ ACBD◆在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？ CD图①305040CDA.B.CCDA.B.图② 教学反思（1）你认为勾股定理有什么用途？一般如何用?（2）勾股定理与生活实际有什么联系？课件12张PPT。勾股定理的逆定理
直角三角形有哪些性质？ (1)有一个角是直角； (2)两个锐角的和为90°(互余 )； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方 . 反之,一个三角形满足什么条件
才能是直角三角形呢?忆一忆(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形； (3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a2 +b 2=c2 ,
那么这个三角形是直角三角形吗一个三角形满足什么条件才能是直角三角形????(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道这是什么道理吗?据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.你知道吗 请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系. 锐角三角形钝角三角形直角三角形勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 .a2 + b2 = c2反过来 分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方. 例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?
(1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9 解:(1)最长边为25 ∵a2+c2=72+242
=49+576 =625b2=252 =625 ∴a2+c2=b2 ∴以7, 25, 24为边长的三角形是直角三角形.数形结合思想 练习1、下面以a,b,c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=6 b=8 c=10 ____ _____ ;(2) a=12 b=8 c=15 ____ _____ ;(3) a=8 b=6 c=5 _____ _____ ;是 不是不是 是∠ C=900∠ B=900(4) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
例2、已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
3412135∟ 练习2、满足下列条件△ABC, 不是直角三角形的是 ( )
A、b2 = a2 - c2
B、a:b:c=3:4:5
C、∠C=∠B - ∠A
D、∠A:∠B :∠C =3:4:5D解:如图，设每两个结的 距离为a（a>0）,则AC=3a,BC=4a,AB=5a. 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？
1、 勾股定理的逆定理的内容；
２、判定一个三角形是直角三角形的方法（从角、边两个方面来考虑）；
３、勾股定理与它的逆定理之间的关系.
４、数形结合的数学思想.
