课件20张PPT。角平分线的性质如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？ABCDE12根据SSS, 可知两个三角形全等∴∠1=∠2从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗？已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M,交OB于N;（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C.(3)作射线OC.射线OC即为所求。你能说明其中的道理吗？AMOBNC做P108页的练习，并回答问题。做一做1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？2。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜边，OA与OB为直角边）观察两次折出的三条折痕，你能得出什么结论？第二次折出的两条折痕的长度相等。AOBC将∠AOB对折AOBP你能说明其中的道理吗？AAS从上面的实验中，你能得到什么结论？已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E
求证：PD=PE 定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等) C12该定理的题设和结论分别是什么？角平分线的性质定理定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。应用定理的书写格式：OP 是 的平分线PD = PE（在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等。）∵推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个真命题吗？ 逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E， PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE
Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL) 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。定理 2定理 2的应用书写格式：OP 是 的平分线PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）∵用途：判定一条射线是角平分线例1 已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，
EC⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB证明：∵ E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC∴EB=EC（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）∴∠EBC＝∠ECB（在一个三角形中，等边对等角）想一想：题中BC 被AE垂直平分吗？∵∠ABE＝∠ACE＝Rt∠
∠1＝∠ 2∴∠3＝∠4又∵EB=EC∴ AE垂直平分BC 如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。 ∵到公路的距离与到河岸的距离相等∴工厂在河岸与公路的角平分线上 （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝则另一点就是工厂的位置。例.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等DEFABCPMN结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。这个交点叫三角形的内心已知：如图，△ABC的∠B的外角平分线BD和∠C的外角平分线CE相交于点F。
求证：点F在∠DAE的平分线上。A B做一做FEDC那么点F到△ABC三边的距离相等吗？如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造
一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，
问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？4 个2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。60BF3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的 ，AE+DE= 。
12A BEDC角平分线64.如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证：△DBE的周长等于AB的长。 A BEDC如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_________。 A BDC在V型公路（∠AOB）内部，有两个村庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？OAB. C. DP活动与探究:
已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD
求证：∠BAP+∠BCP=180°耐心地想一想 如图，EG，FG分别∠MEF的∠NFE的平分线，交点是G。PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是P，F，C在AN上，B，E在AM上，如果∠G=68°，求∠P的度数。小 结： 3 角的平分线的性质定理1，定理2是证明角相等，线段相等的新途径。定理1多用于证明线段相等，定理2多用于证明角相等或点在角平分线上。
1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
课件20张PPT。 角的平分线的性质 ［教学内容1］
生活中有很多数学问题：
小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.
问题1：怎样修建管道最短？
问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看.暖气天然气［教学内容2］
要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线.
将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线.BADC［教学内容3］
把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边AB与AD相等，从几何作图角度怎么画？BC=DC，从几何作图角度怎么画？BADC［教学内容3］角平分线的画法：（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．（3）作射线，
则射线OC即为所AB(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．［教学内容3］
想一想：为什么OC是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOBAB［教学内容4］
操作：
（1）作一个平角∠AOB的平分线OC，
（2）反向延长OC得到直线CD..OABCD思考1：请说出直线CD与AB的位置关系.思考2：作出一个45o的角.［教学内容5］
操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.
问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？2．探究体验［教学内容6］
如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质.
结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.［教学内容6］
结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.［教学内容7］
判断正误，并说明理由：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.［教学内容8］
运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：
问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？暖气天然气MN［教学内容9］例题讲解
例1
已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
求证：EB=FC.AFCDBE［教学内容9］例题讲解
变题1
如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB. 变题2
如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.
［教学内容9］例题讲解 例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA
的距离相等DEF［教学内容10］
1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？
2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？谢谢指导［教学内容6］［教学内容11］
作业（必做题）
（1）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？
（2）△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F.求证：EB＝FC.
（3）如图，CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，垂足分别为DE，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝ ∠24．评价反思［教学内容11］
作业（选做题）
（4）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF.EF与AD交于G.AD与EF垂直吗？证明你的结论.
