江苏省苏州市苏州工业园区苏州工业园区景城学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析）

苏州市景城学校初二数学期中考试试卷
一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分）
1. 下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在实数，，，，，，，中是无理数有（ ）个
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3. 已知的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是（　　）
A. ，， B. C. D.
4. 下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
5. 如图，点A所表示的实数为（　　）
A. B. C. D. 2.5
6. 一个等腰三角形的两条边分别为和n，且满足，则等腰三角形的周长等于（　　）
A. 9 B. 12 C. 12或15 D. 15
7. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）
9. 如果在实数范围内有意义，x的取值范围是________．
10. 16的平方根是___________．
11. 近似数精确到________位．
12. 若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为________°．
13. 如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则______．
14. 如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．
15. 如图，点为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______．
16. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________．
三、填空题（本大题共8小题，每题2分，共68分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 求下列各式中x的值．
（1）
（2）
19. 已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a + b + c的平方根．
20. 已知，计算x﹣y2的值．
21. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC．
（1）△ABC的形状是　 ．
（2）利用网格线画△A′B′C′，使它与△ABC关于直线l对称．
（3）在直线l上求作点P使AP+CP的值最小，则AP+CP的最小值＝　 ．
22. 如图，在和中，，点E为中点，，，点E、F关于成轴对称，连接．求证：为等边三角形．
23. 如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）作的平分线，交于点D；
（2）在线段上求作一点E，使得．
24. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）式子填空：________，________；
（2）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求值．
25. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，与BC边交于点E，
（1）若∠ACE＝18°，则∠ECD＝　 　
（2）探索：∠ACE与∠ACD有怎样的数量关系？猜想并证明．
（3）如图2，作△ABC的高AF并延长，交BD于点G，交CD延长线于点H，求证：CH2+DH2＝2AD2．
26. 定义：三角形中，连接一个顶点和它所对边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．
（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．
苏州市景城学校初二数学期中考试试卷
一、选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分）
1. 下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，故选项正确；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形的两部分折叠后可重合．
2. 在实数，，，，，，，中是无理数的有（ ）个
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①含类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：，，，是有理数，
，，，是无理数，
故选C．
3. 已知的三条边分别为a、b、c，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是（　　）
A. ，， B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断A，B，再根据三角形内角和定理判断C，D即可．
【详解】因为，所以是直角三角形，则A不符合题意；
因为，所以是直角三角形，则B不符合题意；
由，得，解得，可知不是直角三角形，则C符合题意；
由，得，即，解得，所以直角三角形，则D不符合题意．
故选：C.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．
4. 下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同类二次根式的判断，化简二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、和是同类二次根式，能合并，符合题意；
C、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
故选B．
5. 如图，点A所表示的实数为（　　）
A. B. C. D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理可求得的长，再根据点在点B的右侧，从而得出点所表示的数．
【详解】解：如图
则，
则点表示的实数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理有关知识， 掌握勾股定理求出直角三角形斜边长是解题关键．
6. 一个等腰三角形的两条边分别为和n，且满足，则等腰三角形的周长等于（　　）
A. 9 B. 12 C. 12或15 D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】先根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出m与n，再根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
当等腰三角形的腰长为3时，
∵，
∴不符合三角形的三边条件，
∴不成立，
当等腰三角形的腰长为6时，
∵，，
∴符合三角形三边条件，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握三角形的三边关系．
7. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　）
A 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】分三种情况：当时，当时，当时，然后进行分析即可解答．
【详解】解：如图：
分三种情况：
当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，即为所求；
当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，，，即为所求；
当时，作的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点的个数是8，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是分三种情况进行讨论．
8. 如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明△AEC≌△BED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等边三角形，③正确；根据 ABE与 CDE都是等腰直角三角形，得到∠CAB＝∠CAD＝30°∠CAE＝∠EAD＝15°得到①②正确； ABC， CAD为等腰三角形，顶角都为30°，得到∠ACB＝∠ABC=75°，∠ACD＝∠ADC=75°，得出∠BCD的度数为150°④正确
【详解】解：∵ ABE与 CDE都是等腰直角三角形
∴AE=BE, DE=CE
∵∠AEB＝∠DEC＝90°
∴∠AEC＝∠DEB
∴△AEC≌△BED
∴AC=BD
∵AD＝AC＝AB
∴AD＝BD＝AB
∴② ABD是等边三角形正确
∴∠ABD＝∠BAD＝∠ADB=60°
∵ ABE与 CDE都是等腰直角三角形
∴∠EAB＝∠ABE=45°
∴∠CAB＝30°，∠CAE＝∠EAD＝15°
∴AE为∠CAD的角平分线
∵ ABD为等腰三角形
∴①AE垂直平分CD正确
∴∠CAD＝30°
∴②AC平分∠BAD正确
∵ ABC为等腰三角形，顶角∠BAC＝30°
∴∠ACB＝∠ABC=75°
同理∠ACD＝∠ADC=75°
∴④∠BCD的度数为150°正确.
故选D
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键.
二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）
9. 如果在实数范围内有意义，x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解是解题的关键．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 16的平方根是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】即：16的平方根是
故填：
【点睛】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义．
11. 近似数精确到________位．
【答案】千
【解析】
【分析】用科学记数法表示的近似数的精确度看a的最后一个数在原数中的位置，由的最后一个数为6，在原数中为千位，从而可得答案．
【详解】解：近似数所对应的数为：306000，
∵6对应的是千位，
∴近似数精确到千位，
故答案为：千．
【点睛】本题考查的是近似数的精确度问题，理解科学记数法表示的近似数的精确度是解题的关键．
12. 若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为________°．
【答案】或
【解析】
【分析】分的角为顶角和底角两种情况进行讨论，利用等边对等角和三角形的内角和进行计算即可．
【详解】①的角为顶角；
②的角为底角时，则顶角的度数为： ；
故答案为：或．
【点睛】本题考查利用等边对等角求角度．熟练掌握等腰三角形性质，以及三角形的内角和为是解题的关键．注意分类讨论．
13. 如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理得到，根据翻折性质得出，，然后借助三角形的面积公式列出关于线段CO的关系式，问题即可解决．
【详解】解：如图，连接交于点O，
∵，，，，
∴，
∴，
根据翻折的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
14. 如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
15. 如图，点为的三个内角的角平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】连接AI，BI，由点I为△ABC的内心，得到AI平分∠CAB，根据角平分线的定义得到∠CAI=∠BAI．根据平移的性质得到AC∥DI，由平行线的性质和等角对等边得到AD=DI，BE=EI，根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：连接AI，BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI．
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID．
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI．
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB，
因为，即图中阴影部分的周长为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平移的性质、等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义、平移的性质和平行线的性质和等角对等边．
16. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________．
【答案】18
【解析】
【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可．
【详解】解：解：如图，连接BF，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠DBF=∠DBE=30°，
又∵∠ABC=30°，
∴∠CBF=60°，
∴即射线BF的位置是固定的，
∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，
∴BF=BC.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=，
∴BF=，
设BD=2x，则DF=x，
∴，即，解得x=3
∴BD=6
∴的周长为18．
故填：18．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键．
三、填空题（本大题共8小题，每题2分，共68分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算绝对值，二次根式的乘法，再算加减即可；
（2）先算除法，再算乘法即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相应的运算法则．
18. 求下列各式中x的值．
（1）
（2）
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先将方程移项，然后根据平方根的定义即可求解；
（2）先将方程移项，然后根据立方根的定义即可求解．
【小问1详解】
，
，
，
，
解得：或；
【小问2详解】
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
19. 已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a + b + c的平方根．
【答案】±3．
【解析】
【分析】根据平方根和立方根定义求出a,b再求出c，再求a + b + c的平方根．
【详解】解：根据题意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；
故a=5，b=2；
又∵2<<3，
∴c=2，
∴a+b+c=5+2+2=9，
∴9的平方根为±3．
∴a+b +c平方根±3．
【点睛】考核知识点：开方.理解开方的方法是关键.
20. 已知，计算x﹣y2的值．
【答案】-
【解析】
【详解】由题意得：，
解得：x=，
把x=代入y=﹣4，得y=﹣4，
当x=，y=﹣4时x-y2=﹣16=﹣14．
21. 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC．
（1）△ABC的形状是　 ．
（2）利用网格线画△A′B′C′，使它与△ABC关于直线l对称．
（3）在直线l上求作点P使AP+CP的值最小，则AP+CP的最小值＝　 ．
【答案】（1）直角三角形；（2）见解析；（3）3．
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理，得出三边平方关系式分析得出答案；
（2）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置，连线即得答案；
（3）直接利用对称点，两点之间线段最短的求最短路线方法得出答案．
【详解】（1）∵BC2=12+12=2，
AB2=22+22=8，
AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）如图所示：作点对称，连线即得△A′B′C′即为所求；
（3）根据两点之间线段最短，作出点A的对称点A′ ，连接A′C交直线l于点P，如图所示：点P即为所求，AP+CP的最小值=A′C==3．
故答案为：3．
【点睛】考查了图形的对称性，利用对称点作图形，勾股定理的判定和逆定理的应用，两点之间线段最短的性质和作图方法，掌握对称性的图形的性质特点是解题关键．
22. 如图，在和中，，点E中点，，，点E、F关于成轴对称，连接．求证：为等边三角形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，直角三角形的性质，轴对称图形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由轴对称的性质得到，则，由此可证明为等边三角形．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在和中，，点E为中点，
∴，
∵点E、F关于成轴对称，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
23. 如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）作的平分线，交于点D；
（2）在线段上求作一点E，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）作线段的垂直平分线交于E，则，由此可得，再由三角形外角的性质可得．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
24. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：________，________；
（2）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值．
【答案】（1）n，
（2）18
【解析】
【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
（1）根据题意找到规律，，即可得到答案；
（2）根据题意将原式进行分母有理化进行求解即可．
【小问1详解】
解：，（是的面积）；
，（是的面积）；
，（是的面积）；
……，
以此类推，可知，，
故答案为：n，；
【小问2详解】
解：
．
25. 如图1，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，与BC边交于点E，
（1）若∠ACE＝18°，则∠ECD＝　 　
（2）探索：∠ACE与∠ACD有怎样的数量关系？猜想并证明．
（3）如图2，作△ABC的高AF并延长，交BD于点G，交CD延长线于点H，求证：CH2+DH2＝2AD2．
【答案】（1）45°；（2）∠ACE＝∠ACD﹣45°，理由见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACE＝18°，得出∠BAC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，由等腰直角三角形的性质得出∠BAD＝90°，AB＝AD，求出∠DAC＝54°，证出AC＝AD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ACD＝（180°﹣54°）＝63°，即可得出答案；
（2）由（1）得出∠BAC＝180°﹣2∠ACE，得出∠DAC＝90°﹣2∠ACE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；
（3）连接BH，由（2）得出∠ECD＝45°，由等腰三角形的性质得出BF＝CF，由线段垂直平分线的性质得出BH＝CH，由等腰三角形的性质得出∠HBC＝∠BCD＝45°，证出∠BHC＝90°，由勾股定理得出BH2+DH2＝BD2．进而得出结论．
【详解】（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACE＝18°，
∴∠BAC＝180°﹣18°﹣18°＝144°，
∵以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠DAC＝144°﹣90°＝54°，
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝（180°﹣54°）＝63°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝63°﹣18°＝45°；
故答案为：45°；
（2）∠ACE＝∠ACD﹣45°；理由如下：
由（1）得：∠BAC＝180°﹣2∠ACE，
∴∠DAC＝∠BAC﹣90°＝90°﹣2∠ACE，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝（180°﹣∠DAC）＝[180°﹣（90°﹣2∠ACE）]＝45°+∠ACE，
∴∠ACE＝∠ACD﹣45°；
（3）连接BH，如图2所示：
由（2）得：∠ECD＝45°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∴BH＝CH，
∴∠HBC＝∠BCD＝45°，
∴∠BHC＝90°，
∴BH2+DH2＝BD2．
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD2＝2AD2，
∴CH2+DH2＝2AD2．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
26. 定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．
（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．
【答案】（1）②；（2）见详解；（3）①见详解；②
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，则 BMC是等腰直角三角形，再证明 ABP DMP，进而即可得到结论；
（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，即可；②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得AG，DH的值，再证明 GAP HPD，设PE=m，PF=n，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）∵等腰三角形底边上的中线所在直线也是等腰三角形的对称轴，
∴腰三角形底边上的中线一定是所在等腰三角形的“周长平分线”，
故答案是：②；
（2）延长BA，CD交于点M，连接MP，
∵，
∴∠BMC=90°，即 BMC是等腰直角三角形，
∵为的中点，
∴BP=CP=MP，MP⊥BC，∠PMC=∠PMB=45°，
又∵，
∴∠APB+∠APM=∠DPM+∠APM=90°，
∴∠APB=∠DPM，
在 ABP和 DMP中，
∵，
∴ ABP DMP（ASA），
∴AP=DP，
∵点Q是AD的中点，
∴是的“周长平分线”；
（3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，则EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴点E，F即为所求；
②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
则∠AGB=∠AGP=∠DHC=∠DHP=90°，
∵∠B=∠C =45°，∠AGB=∠DHC=90°，
∴ AGB和 DHC都是等腰直角三角形，且AG=BG，DH=CH，
又∵，，
∴AG=BG==，DH=CH=，
∵∠GAP+∠APG=∠HPD+∠APG=90°，
∴∠GAP=∠HPD，
在 GAP和 HPD中，
∵，
∴ GAP HPD，
∴AG=PH=1，PG=DH=2，
∵EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线，
∴PE=AE，PF=DF，
设PE=m，则AE=m，EG=PG-PE=2-m，设PF=n，则DF=n ，FH=PF-PH=n-1，EF=PE+PF=m+n，
在Rt DHF中，根据勾股定理得：，解得：n=，
在Rt AGE中，根据勾股定理得：，解得：m=，
∴EF=m+n=+=．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形以及“一线三垂直”模型，是解题的关键．