2.1多边形
教学目标：经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识。探索多边形内角和公式，发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神；
教学重点：多边形的内角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算。
教学难点：如何引导学生参与到探索多边形的内角和公式过程中，通过动手实践、观察分析、归纳总结得出多边形的内角和公式。
教具准备：多边形图片，课件。
教学过程：
一．创设情景，引入新课
2．活动一：探索四边形内角和。
问题一：三角形的内角和是多少度？正方形和长方形的内角和是多少？
问题二：任意四边形的内角和是多少？你是怎么得到的？有哪些方法？
把你的做法在草稿纸上用算式记下来（小组交流）。估计学生可能有方法：
方法1：测量法。量出每个内角度数然后相加为360°
方法2：拼图法。把四个角拼在一起刚好是一个周角360°
方法3：如图1，连结AC，四边形的内角和为2×180°=360°。
方法4：如图2，在四边形内任取一点E，连结EA、EB、EC、ED，则四边形内角和为4×180°-360°=360°。
A D A D
A D A
D B E
B B
C C B E C E
图1 图2 图3 图4
方法5：如图3，在BC上任取一点E，连结EA、ED，则四边形的内角和为
3×180°-180°=360°。
方法6：如图4，在四边形外任取一点E，连结EA、EB、EC、ED，则四边形的内角和为3×180°-180°=360°。
小结：综合后四种方法，其共同点是从同一个点出发和各顶点相连，把四边形问题转化为熟悉的三角形问题来解决。
3．活动二：选择方法3探索五边形、六边形、七边形、n边形的内角和。学生分组活动，并完成下表：
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
一个顶点处对角
线条数
0
1
2
3
4
……
n-3
分成三角形的个数
1
2
3
4
5
…
n-2
多边形的内角和
180°
360°
540°
720°
900°
……
（n-2）×180°
观察：（1）表中三角形的个数与边数有怎样的关系？
（2）多边形内角和的度数与三角形的个数有怎样的关系？与边数又有怎样的关系？
通过师生共同分析归纳得到如下等式：
四边形内角和为360°=2×180°=（4-2）×180°
五边形内角和为540°=3×180°=（5-2）×180°
六边形内角和为720°=4×180°=（6-2）×180°
七边形内角和为900°=5×180°=（7-2）×180°
二、归纳总结：
由活动二总结得出，n边形的内角和为：（n-2）×180° (n≥3)。
三、例题讲解：
1、八边形的内角和是 度，十边形的内角和是 度。
2、如果一个多边形的内角和是1440度，求这个多边形的边数。
解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）· 180 = 1440
(n - 2) = 8
n = 10
答：这个多边形是十边形。
3、在四边形ABCD中，∠A=120度，∠B﹕∠C﹕∠D = 3﹕4﹕ 5，求∠B，∠C，∠D的度数。
解：设∠B，∠C，∠D的度数分别是3x , 4x , 5x 度，由四边形的内角和等于360度可得：
120 + 3x + 4x + 5x = 360
12x = 240
x = 20
∴ 3x = 60
4x = 80
5x = 100
答：∠B，∠C，∠D的度数分别为60，80, 100度。
4、求下列图形中χ的值。
5、经过多边形的一个顶点共有8条对角线，这个多边形是 边形，共有 条对角线，内角和是 度。
四、课堂小结：
——谈谈你这节课的收获：
（1）这节课我们主要学习了多边形的内角和公式： (n－2）．180°。
（2）从多边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，n边形对角线的总条数为：
五、课后练习：
1、有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，剩下残余桌面所有的内角和是多少？
(5-2)×180o=540o (4-2)×180o=360o (3-2)×180o=180o
2、一个多边形去掉一个角后得到多边形的内角和为2520°，求剩下多边形的内角和。
2.1多边形
教学目标
(一)教学知识点
1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.
2.掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.
(二)能力训练要求
1.经历探索多边形的外角和公式的过程.进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.
2.探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.
(三)情感与价值观要求
（1）.经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯；
（2）.通过对内角、外交之间的关系，体会知识之间的内在联系。.
教学重点：多边形的外角和公式及其应用.
教学难点：多边形的外角和公式的应用.
教学过程：
一.巧设情景问题，引入课题
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
（请同学们探讨解决，教师总结）
下面大家来看小亮的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,其中：∠α=∠1,∠β=∠2, ∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.
大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？
它们的和叫什么呢？
（这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和.）
我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和.
二.讲授新课
那什么是多边形的外角、外角和呢？我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角. 另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n边形有n个外角.
那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？（360°）
刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想：
如果广场的形状是六边形、八边形.它们的外角和也等于360°吗？
(学生讨论，得出结论)
（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°）
那么能不能由此得出：多边形的外角和都等于360°呢？能得证吗？
因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°.
性质：多边形的外角和都等于360°
由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°.下面大家来想一想、议一议：利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？
（请学生思考后回答）
（因为对于n(n是大于或等于3的整数)边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角.因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=(n－2)·180°）.
三．知识应用
［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用.根据题意，可列方程解答.
(让学生动手解答)
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角和等于360°，所以：
(n－2)·180°=3×360°
解得：n=8
这个多边形是八边形.
四.课堂练习
(一)课本P83随堂练习
1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？
解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：
360°÷60°=6
2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？
解：这种正多边形是正六边形，理由是：设：这个正多边形的一个内角为x°，
则由题图得：3x=360°.x=120°.再根据多边形的内角和公式得：
n×120°=(n－2)×180°.解得n=6
(二)试一试
1.是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的？为什么？
解：不存在，理由是：
如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是：
×α=180°－α,解得α=150°.
这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4,而边数应是整数，因此不存在这样的多边形.
2.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.理由是：
设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°.
α+β+γ+δ＞360°.
同理最多能有三个小于90°.
五.课时小结
本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便.
六.课后作业:
课件10张PPT。2.1多边形 在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形……三角形四边形五边形六边形七边形多边形 在平面内，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形从同一顶点引对角线的条数123n－3分割出三角形的个数234n－201怎样求一个多边形的内角和？（二）（三）（一）怎样求一个多边形的内角和？练兵场：（1）求一个八边形的内角和。（3）一个多边形的内角和是1800°则它是几边形？（2）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少度？ 在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫正多边形。 正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角各分别是多少度？议一议
（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定相等吗？细观察 多思考细观察 多思考细观察 多思考课件10张PPT。义务教育课程标准实验教科书SHUXUE 八年级下2.1 多边形三角形的三个外角的和等于多少度？ 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和
叫作这个多边形的外角和．360° 多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的外角.ABCDn·180°－（n－2）·180°= 360°n边形的外角和是多少?其中n是大于3的正整数.这个总和减去n 边形的内角和所得的差是否等于四边形的外角和？ 由此得出：
任意多边形的外角和等于360° 如图，n 边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角的和等于多少度？这n个外角分别与它相邻的内角的和加起来是多少度？ 在n边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与跟它相邻的内角的和等于180°.这n个外角分别与它相邻的内角的和加起来是n·180°.一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？解: 设多边形的边数为n，
则它的内角和等于（n－2）·180°
由题意是解得 n=12 因此这个多边形是十二边形．（n－2）·180°= 5× 360°等边三角形、正方形、正六边形的地砖，足球上呈正五边形的黑块，这些多边形的边有什么特点?角有什么特点？在平面内，边都相等，角也都相等的多边形叫作正多边形．四条边都相等的四边形（即菱形），它的四个角一定相等吗？ 图中的三个菱形，它们的边长都相等，但是只有菱形（2）的四个角相等，其余两个菱形的四个角不相等． 上述例子也表明：虽然四边形的边长不变，但是它的形状改变了，这叫作四边形的不稳定性．不一定相等 活动的铁门就是利用了四边形的不稳定性，而在木栅栏上加钉斜木条构成了三角形，是为了利用三角形的稳定性．1.一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？ 八边形 解得 n=8外角＝180°－150°＝30°因为正多边形所以有解:2.正十二边形的每一个内角是多少度？每一个外角是多少度？
解由多边形内角和公式（12－2）180°＝1800°∵ 正十二边形每个内角都相等每个外角＝ 180°－150°＝30°3. 画两个菱形，使它们的边长都为2cm.课件23张PPT。2.1多边形???顶点边内角 在平面内，由若干条不在同一条直线上的
线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.顶点内角边对角线这里所说的多边形都指凸多边形外角外角 多边形内角的一边与另一边的
反向延长线所组成的角叫多边形的外角. 在每一个顶点处取这个多边形的一个外角,
它们的和叫做这个多边形的外角和. 三角形的内角和等于180°画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数。01235n－223360o540o(n－2)×180on 边形的内角和公式：n是大于或等于3的自然数 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角(exterior angle) 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n边形有n个外角. 新知:探究在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和=结论：
n边形的外角和等于360°-(n-2) × 180°=360 °n个平角-n边形内角和=n×180 ° 你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不行，请画出所有对角线。0259 太难画了，能不全画出对角线而计算出来吗？ 你能告诉我二十边形的对角线条数吗？五十边形呢？一百边形呢？n边形呢？20归纳总结0101222353495620n-3n-2… 过某个多边形一个顶点的所有对角线,
将这个多边形分成5个三角形.这个多边形
是几边形?它的内角和是多少?例1.解:依题意, 这个多边形是七边形,
它的内角和是(7－2) ×180°=900°例2. 如果一个多边形的内角和是1440°， 那么这是 边形。十 解：由n边形的内角和公式可得（n －2）· 180 = 1440 n －2 = 8 n = 10∴这是十边形。 方法小结：
求多边形的边数、
角度的常用方法:
利用公式列方程.
例3：6、若正n边形的一个内角是144°，那么n= .解：由n边形的内角和公式可得：(n －2) · 180 = 144n180n – 360 = 144n180n －144n=36036n = 360n = 1010［例4］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角和等于360°，
所以：(n－2)·180=3×360
解得：n=8
答:这个多边形是八边形. 课堂练习:1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？ 解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：
360÷60=6 .答:这个多边形是六边形. 2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？ 解：设：这个正多边形的一个内角为x°，
则由题图得：3x=360°. x=120°.
再根据多边形的内角和公式得：
n×120°=(n－2)×180°. 解得n=6 . 答:(略)学以致用3、多边形内角和为1080°则它是（ ）边形。 2、十边形的内角和是（ ） ; 如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是（ ） 4、多边形内角和为1800°则它是（ ）边形。1、七边形内角和为（ ）900° 1440° 十二 八 144° 求下列图形中x的值：课堂练习 1、十二边形的内角和是________； 2、若一个多边形的内角和是1620°，则此多边形的 边数是_________. 3、多边形的边数每增加一条，多边形内角和增加 _________ 4、下列哪一个度数可成为某个多边形的内角和 ( ) A. 240 ° B.600 ° C. 1980 ° D. 2180 ° 巩固练习练一练1、如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____。12n×30°=360°n=12n边形外角和=360 °练一练2、正五边形的每一个外角等于____，每一个内角等于_____。5X=360°X=72°72°144°解：设正五边形的每一个外角度数为x，由
多边形的外角和等于360度可得：所以每一个内角度数为108 °3、已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。 解： 设多边形的边数为n
∵它的内角和等于 (n-2)?180°，
多边形外角和等于360o，
∴ (n-2)?180°=2× 360o。
解得: n=6
∴这个多边形的边数为6
练一练拓广练习：1、在多边形的所有外角中最多有几个钝角？在多边形的所有内角中最多有几个锐角？
2、小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125 ° ，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，求:
（1）这个多边形是几边形？
（2）这个内角是多少度？ 某四边形有一个60°的角，剪去这个角后，剩下的图形内角和为多少？540o360o180o
