2.7正方形
教学目标
知识与技能：
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．
过程与方法：
经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
情感态度与价值观：
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
重难点、关键
重点：探索正方形的性质与判定．
难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．
关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．
教学准备
教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．
学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，在取得一定的经验的基础上，认知正方形．
2．知识线索：
3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．
教学过程
一、合作探究，导入新课
【显示投影片】
显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．
实验活动：教师拿出矩形按左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．
教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．
正方形性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．
二、实践应用，探究新知
【课堂演练】（投影显示）
演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与OA、OB相交于M、N．
求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．
思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，就可以了．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．
学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题．
证：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，
∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，
又∵∠1=∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON，
∴△CON≌△BOM，∴BM=CN．
（2）由（1）知△BOM≌△CON，
∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，
∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．
演练题2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证：△CEF是直角三角形．
思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题．这里应用到正方形性质．
【活动方略】
教师活动：用投影仪显示演练题2，组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析．并请同学上讲台分析思路，板演．
学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题．
证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a．
∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2+CF2=（AE2+AF2）+（CB2+BF2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，
CE2=CD2+DE2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴EF2+CF2=CE2．
由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形．
【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力．
三、继续探究，学习新知
【问题牵引】
教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．
学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下：
判定方法：
1．是矩形，并且有一组邻边相等．
2．是菱形，并且有一个角是直角．
【投影显示】
例4 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证．然后再纠正写法上的不足．
学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”．上述证明思路：因为四边形ABCD是正方形，所以AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本练习1，2，3．
2．【探研时空】
如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．
请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙．
思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为，对角线为2和4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，宽为1．图形略．（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和，高为2和；其二，两组对边分别为1和2，高为4和；其三，两组对边分别为2和2，高为2和；其四，两组对边分别为4和，高为1和，图形略．思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为、2、2；另一个的四条边长分别为1、3、、，图形略．
【评析】这是一道是很好的分类讨论题．
五、课堂总结，发展潜能
【问题提出】
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来．
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示）
边
角
对角线
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2.7正方形
教学目标：1．探索并掌握正方形的概念及其特殊的性质。
2．学会识别正方形。
3．在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力。
教学重点：正方形特殊特征与性质的探索过程。
教学难点：数学说理能力的培养。
教学准备：正方形纸张、剪刀。
教学过程
一、提问。
观察正方形有哪些特征?
边_________角__________对角线_________ 。
进而导入课题：正方形
二、探索，概括。
1．探索。
观察正方形是否轴对称图形?是否中心对称图形?
正方形可以看作为_______的菱形；
正方形可以看作为_______的矩形。
(让学生探索、讨论，培养学生的合作能力与意识，也可指名学生讲讲他的发现。)
2．概括。
正方形是中心对称图形，也是轴对称图形。
正方形可以看作为有一个角是直角的菱形；
正方形可以看作为有一组邻边相等的矩形。
三、应用举例。
例3 如图，在正方形ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
(此题要求学生尝试说出每一步的根据是什么，用以培养他们的逻辑思维能力和数学说理能力。)
四、巩固练习。
1．如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域围成怎样的四边形?
2．在下列图中，有多少个正方形?有多少个矩形?
五、看谁做的又快又正确?
1．用纸剪出一个正方形，与你的同伴比一比，看谁又快又正确?
六、课堂小结。
这节课你有什么收获?学到了什么?有什么疑问提出来?
七、布置作业。
3.4正方形（二）
教学目的：1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
教学过程：
一、课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意思：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
二、例题讲解
例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O。
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴ ∠EAO=∠FDO．
∴ △AEO ≌△DFO．
∴ OE=OF．
三、课堂小结：
本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法．重点是正方形定义．
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定．
掌握正方形定义是学好本节的关键．
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
（2）因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以正方形：
边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
（3）对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次比较多，不必分析的太具体，只要强调能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判定．
四、课堂练习
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
2．如下左图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．已知：如下右图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
2.7正方形
教学目标：
(一)知识与技能目标：
1.经历探索正方形有关性质和判别条件的过程.在简单的操作活动和说理过程中，发展学生初步的合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法.
2.探索并掌握正方形的有关性质，正方形的判别条件.
（二）过程与方法目标
1、在直观操作和简单的说理活动中探索正方形有关性质和判别条件的过程。
2、在简单说理过程中，发展学生的推理能力，使学生初步掌握说理的基本方法。
(三)情感与价值观要求目标
1.通过正方形有关知识的学习，感受正方形的图形美和语言美.
2.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证观点
教学重点：正方形的定义.
教学难点：正方形的性质的应用.
教学方法：探索、归纳法.
教学过程：
一．创新情境、导入课题。
图形世界丰富多彩，下面这节课就由我和大家一起走进丰富多彩的图形世界。大家先来画一画，（你能画出一个图形让它既是矩形，又是菱形吗？）大家来猜一猜它是什么图形。（引出课题，板书22.6正方形）
二．探究新知
1、正方形定义：
思考问题：
（1）究竟什么样的平行四边形是正方形？
（2）回忆刚才画图过程，模仿矩形，菱形定义试着给正方形下一个定义。
（3）师小结：我们把有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（多媒体显示）
2、正方形性质（多媒体显示）
大家谈谈
（1）、正方形是不是矩形？（折叠矩形纸片）
（2）、正方形是不是菱形?（演示菱形模型）
结论：正方形既是邻边相等的特殊矩形，又是有一个角是直角的特殊菱形。
（3）、正方形对称中心在那里？对称轴各有几条，各在什么位置？（学生动手折纸，多媒体显示）
（4）填表区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质。（多媒体显示）
（5）试着说说正方形具有的性质。（小组交流）
（6）正方形性质（多媒体显示）
（7）想一想，回答问题。
①、图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？
②、图中有那些等腰三角形？
图形显示平行四边形、长方形、菱形、正方形关系？（多媒体显示）
（9）例题（多媒体显示）（鼓励不同学生的不同做法）
3、正方形识别条件：（多媒体显示）
一起探究:
（1）、矩形满足什么条件时，就是正方形？
（2）、菱形满足什么条件时，就是正方形？
（3）、 平行四边形满足什么条件时，就是正方形？（合作探究）
（4）、四边形满足什么条件时，就是正方形？
师小结：正方形识别条件
三．巩固练习、应用提高 。（多媒体显示）
四．回顾与反思：
1、回顾本节课活动过程，观察—分析—探究—概括
2、本节课学到哪些知识与方法。
3、教师总结。
五．布置作业，以《完美的正方形》为题，写一篇100字文章。
六．板书设计
22.6正方形:
1、正方形定义
2、正方形性质
3、正方形识别
课件8张PPT。义务教育课程标准实验教科书SHUXUE 八年级下第2章 四边形2.7正方形 装修房子铺地板的砖大都是正方形的形状，它是什么样的矩形吗？一组邻边相等的矩形叫做正方形．或者说，有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
叫做正方形．它的一组邻边相等 是SHI平行四边形正方形有一个角是直角一组邻边相等正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质： 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点的直线都是它的对称轴.正方形的四条边都相等，四个角都是直角正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 如图，正方形ABCD被它的两条对角线AC，BD分成了四个三角形，它们是什么样的特殊三角形？它们全等吗？ 你能利用“正方形的两条对角线所在的直线都是它的对称轴”，说明图中的四个三角形全等吗？ 由于正方形的对角线相等，且互相垂直平分，因此
从而△OAB，△OBC，△OCD，△ODA都是等腰直角三角形，并且它们彼此全 等（SAS）
（1）画一个正方形，使它的边长为2cm，并且求它的对角线.（2）画一个正方形，使它的对角线长为2cm ，并且求它的边长．1.已知正方形的一条边长为1cm，求它的对角线长．已知：正方形ABCD则： AB＝BC＝1解：ABCD答：正方形的对角线为 cm 2.已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积．解 ∵正方形ABCD∴ AB＝BC又 根据勾股定理ABCD3.在图中，∠CAB是多少度？为什么？至少用两种方法说出理由．
答：∠CAB为45°∴ ∠CAB+∠BCA＝90°(2) ∵ 正方形每一条对角线平分一组对角ABCD(1) 因为△ABC为等腰直角三角形课件18张PPT。 正方形
2.7画一画，猜一猜 请同学们画一个四边形，
要求它既是矩形又是菱形。-------正方形正方形矩形实验与观察一：折叠矩形纸片大家谈谈正方形实验与观察二：转动菱形模型
①、正方形既是邻边相等的特殊矩形，又是有一个角是直角的特殊菱形。②、正方形既具有矩形的性质有具有菱形的性质。 正方形的对称中心在哪里？对称轴有几条，各在什么位置？
思考：图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”正方形的性质边----角----对角线----对边平行，４边相等４个角都是直角相等、垂直且互相平分，
每一条对角线平分一组对角既是中心对称图形，
又是轴对称图形．对称性---- 想一想①、图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？②、图中有那些等腰三角
形？平行四边形矩形菱形正
方
形请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图例题 如图:在正方形ABCD中,点E在对角线AC 上,那么BE与DE相等吗?为什么?解: BE = DE
因为 对角线所在的 直线是正方形ABCD的一条对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点。
所以 BE =DEABCDE矩形菱形正方形有一组邻边相等有一个角是直角识别正方形的方法已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，从下列条件中取出哪些条件后，可使平行四边形ABCD成为正方形。（１） ＡＢ＝ＡＤ； （２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０； （４） ＡＣ⊥ＢＤ。合作探究矩形菱形（２）
（３）（１）
（４）平行四边形正方形（１） ＡＢ＝ＡＤ； （２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０； （４） ＡＣ⊥ＢＤ。小结 两组对边分别平行有一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角且一组邻边相等 归纳一下吧通过本节课的学习，你有哪些收获？作业 2、以《完美的正方形 》为题写一篇１００字左右的小文章，谈谈你对正方形的认识，题材不限 .
1、 昨天,我去超市买了一条方巾，现在想请同学们帮助老师设计一个检验方巾是否是正方形的方案。谢谢指导！
