江苏省盐城市响水县中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省盐城市响水县中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 658.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-01 11:41:07 | ||
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文档简介
响水县中2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
考生注意：
1、试卷分第I卷和第II卷，共4页。
2、满分150分，考试试卷120分钟。
第I卷 选择题（60分）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线：，：.若，则的值为（ ）
A. B. C.1 D.1或
3.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”.题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠.按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵.则年龄最小的儿子分到的绵是（ ）
A.65斤 B.82斤 C.184斤 D.201斤
4.已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
5.已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.过点引直线与圆相交于，两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7.若正项数列中，，，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则是圆，其半径为
B.若，，则是两条直线
C.若，则是椭圆
D.若，则是椭圆，其焦点在轴上
10.设数列的前项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ）
A.若，则既是等差数列又是等比数列
B.若（，为常数），则是等差数列
C.若，则是等比数列
D.若是等比数列，则，，也成等比数列
11.已知抛物线：的焦点为，为上一动点，点，则（ ）
A.当时，
B.当时，在点处的切线方程为
C.的最小值为3
D.的最大值为
12.为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”，，，其前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.曲线在处的切线方程为______.
14.已知，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若椭圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则正实数的取值范围为______.
15.如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则______.
16.已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则______；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是______.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在平面直角坐标系中，设直线：.
（1）求证：直线经过第一象限；
（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.
18.已知数列满足：，，设.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
19.在平面直角坐标系中，点，直线：，设的半径为1，圆心在直线上.
（1）若圆心也在直线上，过点作的切线，求切线的方程；
（2）若上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围.
20.已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积；
（3）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.已知数列的前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围.
22.已知抛物线：上有一动点，，过点作抛物线的切线交轴于点.
（1）判断线段的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
（2）过点作的垂线交抛物线于另一点，若切线的斜率为，设的面积为，求的最小值.
响水县中2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.C 8.D
9.BD 10.BC 11.ACD 12.ACD
13. 14. 15.4 16.；
17.【详解】（1）方程可化为，
由解得
所以直线过定点，因为在第一象限，所以直线经过第一象限.
（2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大，
因为，所以直线的方程为，
即.
18.【详解】（1）由，，可得，
因为，即，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列.
（2）由（1）可得：，即，所以.
（3）由（2）可知：，
则，
可得，
上面两式相减可得：，
所以.
19.【详解】（1）由题设，知圆心是直线和的交点，
联立方程，解得，
即两直线的交点坐标为，所以点的坐标为，
圆的方程为，
当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为，不满足条件；
当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由题意得，解得，
所以切线方程为或；
综上所述：所求切线方程为或.
（2）因为圆心在直线上，所以设点的坐标为，
圆的方程为，
设点，因为，所以，
化简得，即，
所以点在以点为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点在圆上，所以圆与圆有公共点，
则，即，解得，
所以圆心的横坐标的取值范围为.
20.【详解】（1）由左焦点、左顶点可知：，，
则，所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，，
则过，的直线的方程为：，即，
解方程组，解得或，
所以的面积.
（3）若点在以线段为直径的圆上，等价于，即，
设，则，
因为，，则，
令，
解得：或，
又因为，则不存在点，使得，
所以不存在直线，点在以线段为直径的圆上.
21.【详解】（1）因为数列的前项和满足，
当时，，
两式相减得：，即，
当时，，解得：，
可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）可知：，
所以，
对任意的，不等式都成立，即，
化简得：，
设，因为，
所以单调递减，则，所以，则，
所以实数的取值范围是.
22【详解】（1）依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于0.
设直线的方程为，.
由消去并化简得，
由得，，则，
解得，所以，
在中，令得，所以，
中点为，所以线段的中垂线方程为，
即，所以线段的垂直平分线过定点.
（2）由（1）可知，直线的方程为，即.
由消去并化简得
所以，而，所以得，
，，
.
所以的面积，
所以.
当且仅当，时等号成立.
所以的最小值为.
数学试题
考生注意：
1、试卷分第I卷和第II卷，共4页。
2、满分150分，考试试卷120分钟。
第I卷 选择题（60分）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线：，：.若，则的值为（ ）
A. B. C.1 D.1或
3.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”.题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠.按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵.则年龄最小的儿子分到的绵是（ ）
A.65斤 B.82斤 C.184斤 D.201斤
4.已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
5.已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.过点引直线与圆相交于，两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7.若正项数列中，，，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则是圆，其半径为
B.若，，则是两条直线
C.若，则是椭圆
D.若，则是椭圆，其焦点在轴上
10.设数列的前项和为，关于数列，下列命题中正确的是（ ）
A.若，则既是等差数列又是等比数列
B.若（，为常数），则是等差数列
C.若，则是等比数列
D.若是等比数列，则，，也成等比数列
11.已知抛物线：的焦点为，为上一动点，点，则（ ）
A.当时，
B.当时，在点处的切线方程为
C.的最小值为3
D.的最大值为
12.为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”，，，其前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.曲线在处的切线方程为______.
14.已知，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若椭圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则正实数的取值范围为______.
15.如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则______.
16.已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则______；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是______.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在平面直角坐标系中，设直线：.
（1）求证：直线经过第一象限；
（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.
18.已知数列满足：，，设.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
19.在平面直角坐标系中，点，直线：，设的半径为1，圆心在直线上.
（1）若圆心也在直线上，过点作的切线，求切线的方程；
（2）若上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围.
20.已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积；
（3）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.已知数列的前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围.
22.已知抛物线：上有一动点，，过点作抛物线的切线交轴于点.
（1）判断线段的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
（2）过点作的垂线交抛物线于另一点，若切线的斜率为，设的面积为，求的最小值.
响水县中2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.C 8.D
9.BD 10.BC 11.ACD 12.ACD
13. 14. 15.4 16.；
17.【详解】（1）方程可化为，
由解得
所以直线过定点，因为在第一象限，所以直线经过第一象限.
（2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大，
因为，所以直线的方程为，
即.
18.【详解】（1）由，，可得，
因为，即，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列.
（2）由（1）可得：，即，所以.
（3）由（2）可知：，
则，
可得，
上面两式相减可得：，
所以.
19.【详解】（1）由题设，知圆心是直线和的交点，
联立方程，解得，
即两直线的交点坐标为，所以点的坐标为，
圆的方程为，
当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为，不满足条件；
当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由题意得，解得，
所以切线方程为或；
综上所述：所求切线方程为或.
（2）因为圆心在直线上，所以设点的坐标为，
圆的方程为，
设点，因为，所以，
化简得，即，
所以点在以点为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点在圆上，所以圆与圆有公共点，
则，即，解得，
所以圆心的横坐标的取值范围为.
20.【详解】（1）由左焦点、左顶点可知：，，
则，所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，，
则过，的直线的方程为：，即，
解方程组，解得或，
所以的面积.
（3）若点在以线段为直径的圆上，等价于，即，
设，则，
因为，，则，
令，
解得：或，
又因为，则不存在点，使得，
所以不存在直线，点在以线段为直径的圆上.
21.【详解】（1）因为数列的前项和满足，
当时，，
两式相减得：，即，
当时，，解得：，
可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）可知：，
所以，
对任意的，不等式都成立，即，
化简得：，
设，因为，
所以单调递减，则，所以，则，
所以实数的取值范围是.
22【详解】（1）依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于0.
设直线的方程为，.
由消去并化简得，
由得，，则，
解得，所以，
在中，令得，所以，
中点为，所以线段的中垂线方程为，
即，所以线段的垂直平分线过定点.
（2）由（1）可知，直线的方程为，即.
由消去并化简得
所以，而，所以得，
，，
.
所以的面积，
所以.
当且仅当，时等号成立.
所以的最小值为.
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