北斗联盟2023学年第一学期期中联考-高二数学（PDF版含解析）

绝密★考试结束前
北斗联盟 2023 学年第一学期期中联考
高二年级数学学科 参考答案
命题：淳安二中
北师大嘉兴附中
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合A = *x|1 < 2x ≤ 4+，B = *x|y = ln(x 1)+，则A ∩ B = ( )
A. *x|0 < x < 1+ B. *x|1 < x ≤ 2+ C. *x|0 < x ≤ 2+ D. *x|0 < x < 2+
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查利用函数的性质求解指数不等式和对数函数的定义域，集合的运算.属基础题．
【解答】
A = *x|1 < 2x ≤ 4+ = *x|0 < x ≤ 2+，
B = *x|y = ln(x 1)+ = *x|x > 1+，
所以A ∩ B = *x|1 < x ≤ 2+．
故选 B．
2.若复数 z 满足 z 1 2i 3 4i （其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部是（ ）
A. 2i B. 2i C. 2 D. 2
【答案】D
【解析】
3 4i 3 4i 1 2i 5 10i
z 1 2i 3 4i z 1 2i ，所以虚部是 2 ，选 D
1 2i 5 5
3.“a = 1”是“直线l1: (a 2)x + y + 1 = 0 与直线l2: (a + 1)x + 2y 2 = 0 互相垂直”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【分析】
高二数学学科 参考答案 第 1页(共 20 页)
本题考查充分条件和必要条件的判断，两直线垂直，属于基础题．
根据两直线垂直求出参数a，根据充分必要性的判断法则即可得答案．
【解答】
解：由题意得：l1 ⊥ l2的充要条件是(a 2)(a + 1) + 2 = 0，
即a(a 1) = 0，解得a = 1或a = 0，
于是“a = 1”是“直线l1: (a 2)x + y + 1 = 0与l2: (a + 1)x + 2y 2 = 0互相垂直”的充分不
必要条件．
4. 物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力
对物体做了功，功的计算公式：W F S （其中W 是功，F 是力， S 是位移）一物体在力
F1 2,4 和 F2 5,3 的作用下，由点 A 1,0 移动到点B 2,4 ，在这个过程中这两个力的
合力对物体所作的功等于（ ）
A. 25 B. 5 C. 5 D. 25
【答案】A
【解析】【分析】
利用条件，先求出两个力的合力F1 F2 及 AB ，再利用功的计算公式即可求出结果.
【解答】因为F 2,4 ， F 5,3 ，所以F F ( 3,7)，又 A 1,01 2 ，B 2,4 ，所以1 2
AB (1,4)，故W (F1 F2) AB 3 7 4 25 .
5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称
为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，
图中曲线为圆或半圆，已知点P(x, y)是阴影部分(包括边界)的动点，
y
则 的最小值为 ( )
x 2
2 3 4
A. B. C. D. 1
3 2 3
【答案】C
【解析】【分析】转化为点 P(x, y) 与 (2,0) 连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，
y
【解答】记 A(2,0) ，则 k = 为直线 AP 的斜率，
x 2
高二数学学科 参考答案 第 2页(共 20 页)
故当直线 AP 与半圆 x2 + (y 1)2 = 1(x > 0) 相切时，得k最小，
| 1 2k|
4
此时设 AP: y = k(x 2) ，故 = 12 ，解得 k = 或 k = 0 (舍去)， √ k +1 3
4
即 kmin = ． 3
故选：C
6.已知f(x)是定义域为( ∞,+∞)的奇函数，满足f(1 x) = f(1 + x)，若f(1) = 2，则f(1) + f(2) +
f(3) + + f(50) =( )
A. 50 B. 0 C. 50 D. 2
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关
键．
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数f(x)是以4为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇
偶性进行转化求解即可．
【解答】
解：∵ f(x)是定义域为( ∞,+∞)的奇函数，且f(1 x) = f(1 + x)，
∴ f(0) = 0，f(1 x) = f(1 + x) = f(x 1)，
则f(x + 2) = f(x)，则f(x + 4) = f(x + 2) = f(x)，
即函数f(x)是以4为周期的周期函数，
∵ f(1) = 2，
∴ f(2) = f(0) = 0，f(3) = f(1) = 2，
f(4) = f(0) = 0，
则f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2 + 0 2 + 0 = 0，
则f(1) + f(2) + f(3) + + f(50)
= 12,f(1) + f(2) + f(3) + f(4)- + f(49) + f(50)
= f(1) + f(2) = 2 + 0 = 2，
故选：D．
7.如图，在三棱锥O ABC中，点G为底面△ ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，
高二数学学科 参考答案 第 3页(共 20 页)
过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若 O D = kO A ，O E = mO B ，O F = nO C ，则
1 1 1
+ + =( )
k m n
13 2 3 9
A. B. C. D.
3 3 2 2
【答案】D
【解析】
本题考查空间向量基本定理，空间向量共面定理，属于中档题．
由空间向量基本定理，用O A , O B , O C 表示O M ，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数λ, μ，使
D M = λ D E + μ D F ，再转化为 O M = (1 λ μ)k O A + λm O B + μn O C ，由空间向量分解的唯一性，
分析即得解．
【解答】
2 2 2 2 1
解：由题意可知， O M = O G = ( O A + A G ) = [ O A + × ( A B + A C )]
3 3 3 3 2
2 1
= [O A + ( O B O A
1 2 2 2
) + ( O C O A )] = O A + O B + O C ，
3 3 3 9 9 9
因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ, μ，使D M = λD E + μ D F ，
所以 O M O D = λ( O E O D ) + μ(O F O D )，
所以O M = (1 λ μ) O D + λ O E + μO F = (1 λ μ)k O A + λm O B + μnO C ，
2
(1 λ μ)k =
92
所以 λm = ,
9
2
{μn = 9
1 1 1 9 9 9 9
所以 + + = (1 λ μ) + λ + μ = ．
k m n 2 2 2 2
故选：D．
高二数学学科 参考答案 第 4页(共 20 页)
8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.
建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更
是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体
ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球
与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 ABCD棱长为2 6，
则模型中九个球的表面积和为（ ）
31π
A. 6π B. 9π C. D. 21π
4
【答案】B
【解析】
作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的
半径，得到答案.
如图，取BC 的中点E ，连接DE ， AE ，则CE BE 6 ， AE DE 24 6 3 2 ，
过点A 作 AF ⊥底面BCD，垂足在DE 上，且DF 2EF ，
所以DF 2 2, EF 2 ，故 AF AD2 DF 2 24 8 4，
点O为最大球的球心，连接DO 并延长，交 AE 于点M ，则DM ⊥ AE ，
设最大球的半径为 R ，则OF OM R，
AO OM
因为Rt△AOM ∽Rt AEF ，所以 ，
AE EF
4 R R
即 ，解得R 1，
3 2 2
即OM OF 1，则 AO 4 1 3，故
OM 1
sin EAF
AO 3
设最小球的球心为 J ，中间球的球心为K ，则
两球均与直线 AE 相切，设切点分别为H ,G ，
连接HJ , KG ，则HJ , KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为a,b，
则 AJ 3HJ 3a, AK 3GK 3b，则 JK AK AJ 3b 3a ，
高二数学学科 参考答案 第 5页(共 20 页)
又 JK a b，所以3b 3a a b，解得b 2a，
1
又OK R b AO AK 3 3b，故4b 3 R 2，解得b ，
2
1
所以a ，
4
模型中九个球的表面积和为4πR2 4πb2 4 4πa2 4 4π 4π π 9π .
故选：B
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
9. 有一组样本甲的数据 xi ，一组样本乙的数据2xi 1，其中 xi i 1,2,3,4,5,6,7,8 为不完全
相等的正数，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B. 样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C. 若样本甲的中位数是m ，则样本乙的中位数是2m 1
D. 若样本甲的平均数是n ，则样本乙的平均数是2n +1
【答案】ACD
【解析】
根据统计中的相关概念和性质运算求解.
不妨设样本甲的数据为0 x1 x2 x8 ，且 x1 x8 ，
则样本乙的数据为2x1 1 2x2 1 2x8 1，且2x1 1 2x8 1，
对于选项 A：样本甲的极差为 x8 x1 0 ，样本乙的极差 2x8 1 2x1 1 2 x8 x1 ，
因为2 x8 x1 x8 x1 x8 x1 0，即2 x8 x1 x8 x1，
所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故 A 正确；
2 2
对于选项 B：记样本甲的方差为 s甲 0，则样本乙的方差为 4s甲，
4s2 s2因为 甲 甲 3s
2 0 4s2 2甲 ，即 甲 s甲，
高二数学学科 参考答案 第 6页(共 20 页)
所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故 B 错误；
x x
对于选项 C：因为样本甲的中位数是m 4 5 ，
2
2x 1 2x 1
则样本乙的中位数是 4 5n x x 1 2m 1，故 C 正确； 4 5
2
对于选项 D：若样本甲的平均数是n ，则样本乙的平均数是2n +1，故 D 正确；
故选：ACD.
A x , y B x , y 210.已知 1 1 ， 2 2 是圆O ： x y
2 1上两点，则下列结论正确的是（ ）

A．若 AB 1，则 AOB
3
1 3
B．若点O 到直线 AB 的距离为 ，则 AB
2 2

C．若 AOB ，则 x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为 2 2
2

D．若 AOB ，则 x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为 4
2
【答案】AD
【解析】

对于 A，因为圆的半径为1，所以当 AB 1时，△ABO 为等边三角形，则 AOB ，故 A 正
3
确；
2 2 1对于 B，由垂径定理可知，AB 2 r d ，其中 d 为弦心距，因为点O 到直线 AB 的距离为 ，
2
1 x y 1 x y 1
所以 d ，因为 r 1，所以 1 1 2 2AB 3 ，故 B 错误；对于 CD，因为 的
2 2 2

值可转化为单位圆上的 A x1, y1 ，B x2 , y2 两点到直线 x y 1 0的距离之和，因为 AOB ，
2
2 2
所以△ABO 为等腰直角三角形，设M 是 AB 的中点，则OM⊥AB ，且 OM OA ，则
2 2
2
M 在以O 点为圆心，半径为 的圆上，则 A x1, y1 ， B x2 , y2 两点到直线 x y 1 0的距离
2
之和为 M 到直线 x y 1 0 的距离的两倍，因为点 O 0,0 到直线 x y 1 0 的距离为
1 2 x1 y1 1 x2 y2 1
，所以点M 到直线 x y 1 0的距离的最大值为 2 ，则 的最
2 2 2 2
大值为 2 2 ，∴ x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为 4 ，故 D 正确；
故选 AD．
高二数学学科 参考答案 第 7页(共 20 页)
11.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，
7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号相同”，事件
B =“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C =“抽取的两个小球标号之和大于8”，则( )
A. 事件A与事件B是互斥事件 B. 事件A与事件B是对立事件
C. P(A ∪ C) = P(B) D. P(B ∩ C) = P(A)
【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了互斥事件、对立事件和事件的并、交运算，属于中档题．
由两球编号写出事件A，B所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、
对立事件的定义判断AB，求出A ∪ B、B ∩ C的概率判断CD．
【解答】
解：事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个;
事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙
3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个;
事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙
5，甲5乙6，甲5乙7，共10个．
从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件．
因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故 A 正确;
因为甲2乙4这个事件不在事件A中，也不在事件B中，
所以A，B和事件不是全体，所以 B 错误;
因为事件A ∪ C的所有基本事件共有12个，
12
所以P(A ∪ C) = ，所以P(A ∪ C) = P(B)，故 C 正确;
25
因为事件B ∩ C的所有基本事件共有6个，事件A的所有基本事件共有3个，
6 3
所以P(B ∩ C) = , P(A) = ，所以P(B ∩ C) ≠ P(A)，故 D 错误．
25 25
12.如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 3， AA1 2 6 ，P 是该正四棱柱表面或内部一
点，直线 PB,PC 与底面 ABCD 所成的角分别记为 , ( 0, 0)，且 sin 2sin ，记
动点 P 的轨迹与棱 CC1的交点为Q ，则下列说法正确的是（ ）
高二数学学科 参考答案 第 8页(共 20 页)
A．Q 为 CC1中点 A1 D1
B．线段 PA1长度的最小值为 5
B1
C．存在一点 P ，使得 PQ// 平面 AB1D
C
1
1
D．若 P 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 表面，则点 P 的轨迹长度为 P
4 3 3 QA
D
6
【答案】BCD B C
【解析】
由题可知： PB 2 PC ，建系可得：B 3，0，0 ，C 3,3,0 ，P x, y, z
2
x 3 y2 z2
2 2
2 x 3 y 3 z2 2 2即 得： x 3 y 4 z2 4，球心 3,4,0 ，半
径 r 2，
2
PA 32 421 2 6 2 5，取 CC1 上一点 Q,使 CQ= 3，BC 上一点 E ，CD 上一点 F,min
3 2
使 CE=CF= , 连接QE,QF,EF ，由球心及半径可得：面QEF 与球存在交点；当 P 位于正
4
4 3 3
四棱柱表面时，则L 2 3 ；故选：BCD
3 2 6
非选择题部分
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.
13.过点 2, 1 且方向向量为 1,2 的直线的方程为 ．
【答案】 2x y 5 0
【解析】
设点Q x, y 为直线上的任意一点，则 x 2, y 1 1,2 ，所以2x y 5 0 ，故填2x y 5 0
1 1 1
14.已知x > ，y > 2，且3x + y = 7，则 + 的最小值为
3 3x 1 y 2
【答案】1
【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
1 1 1 1 1
由 + = ( + ),(3x 1) + (y 2)-，利用基本不等式，即可得出．
3x 1 y 2 4 3x 1 y 2
【解答】
高二数学学科 参考答案 第 9页(共 20 页)
1
解：因为x > ，y > 2，且3x + y = 7，
3
1 1 1 1 1
所以(3x 1) + (y 2) = 4，则 + = ( + ),(3x 1) + (y 2)-
3x 1 y 2 4 3x 1 y 2
1 y 2 3x 1 1 y 2 3x 1
= (2 + + ) (2 + 2√ · ) = 1，
4 3x 1 y 2 4 3x 1 y 2
y 2 3x 1
当且仅当 = 且3x + y = 7，即x = 1，y = 4时取等号．
3x 1 y 2
故答案为1．
15. 某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组
织 2 位同学参加，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 2 位同学，
且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为________．
【答案】 9
25
【解析】
2
4 9 9
P 1 ；故填：
5 25 25
1
16.已知单位空间向量e 1 ， e 2 ，e 3 满足e 1 e 2 = 0， e 2 e 3 = e 1 e3 = .若空间向量 a 满足2
3√ 2
a e 1 = a e 2 = ，且对于任意实数x, y，| a x e 1 y e2 |的最小值是2，则| a λ e3 |(λ ∈ R)的2
最小值是 ．
【答案】√ 2
2
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积，空间向量模的最小值问题，属于高档题．
以向量e 1 ， e2 方向为x，y轴，垂直于向量e 1 ，e 2 的方向为z轴建立空间直角坐标系，根据条件求
得a 的坐标，由二次函数求最值即可求得最小值．
【解答】
解：以向量e 1 ， e2 方向为x，y轴，垂直于向量e 1 ，e 2 的方向为z轴，建立空间直角坐标系，
1
则e 1 = (1,0,0)， e2 = (0,1,0)，设 e3 = (x, y, z)，∵ e2 e3 = e1 e 3 = ，∴ (0,1,0) · (x, y, z) = (1,0,0) ·2
1 1 1
(x, y, z) = ，解得x = , y = ，
2 2 2
1 1
∴可设 ，由e 1 1 √ 2 e3 = ( , , z)2 2 3
是单位空间向量，可得 e3 = ( , , ± )， 2 2 2
高二数学学科 参考答案 第 10页(共 20 页)
3√ 2 3√ 2 3√ 2
同理由a e 1 = a e2 = ，可设a = ( , , z2 2 2 2)
，
3√ 2 3√ 2
| a x e 1 y e 2 | = √ ( x)2 + ( y)2 + z
2，
2 2 2
当且仅当 3√ 2x = y = 时，| a x e1 y e 2 |的最小值是2， 2
∴ z = ±2 3√ 2 3√ 22 ，a = ( , , ±2)， 2 2
2
2 2 5√ 2 1 1∴ | a λ e 3 | = λ 5√ 2λ + 13 = (λ ) + ， 2 2 2
2
或| a λ e |2 = λ2
√ 2 25 25
3 √ 2λ + 13 = (λ ) + ， 2 2 2
√ 2
∴ | a λ e3 | ， 2
√ 2
∴ | a λ e3 |(λ ∈ R)的最小值为 ． 2
故答案为√ 2．
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，且 = 1， = 2， = 2√2，
= 1， ⊥ ， 为 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
√5
【答案】(1)证明见解析 (2)
5
【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明线面平行；
（2）取 中点为 ，以 为空间直角坐标系原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直
角坐标系，求出平面 的法向量和 的坐标，利用向量法即可求得直线 与平面 所成角
的正弦值．
【详解】（1）取 中点为 ，连接 ， ，如图所示，……………………2 分
高二数学学科 参考答案 第 11页(共 20 页)
1
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 // 且 = ，
2
1
又因为 // 且 = ，
2
所以 // ， = ，所以四边形 为平行四边形，…………………4 分
所以 // ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；…………………5 分
（2）取 中点为 ，以 为空间直角坐标系原点， 为 轴， 为 轴，
为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 (0,0,0)， (0,0,1)， (0,1,0)， (2√2, 1,0)， (2√2, 1,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
因为 = (0, 1,1)， = (2√2, 0,0)，
= + = 0 = 0
所以{ ，令 = 1，解得{ ，
= 2√2 = 0 = 1
即 = (0,1,1)， …………………8 分
又因为 = (2√2, 1, 1)，
| | √5
所以直线 与平面 所成角的正弦值为|cos , | = = ．…………………10 分
| || | 5
高二数学学科 参考答案 第 12页(共 20 页)
18.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国
轮流主办，每四年举办一届.1951 年第 1 届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动
员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第 19
届杭州亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，
某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有 40名选手参加，
下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于 85 到 145 之间），
(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第 10 的选手分数；
(2)若计划从男子组中 105 分以下的选手中随机抽样调查 2 个同学的答题状况，则抽到的选手中
至少有 1 位是 95 分以下选手的概率是多少？
(3)若女子组 40 位选手的平均分为 117，标准差为 12，试求所有选手的平均分和方差.
3 315
【答案】(1)0.025，129 (2) (3)平均分为118，方差为
5 2
【分析】（1）先求出所有矩形的面积，再用 1 减去这个面积可得缺失部分的面积，除以 10 可得
其高度，可求得第 10 名的成绩是第 75 百分位数，然后利用百分位数的定义可求得结果；
（2）求得 105 以下合计 6 个人，对这 6 人编号后，利用列举法求解；
（3）利用平均数和方差的定义求解即可.
【详解】（1）因为已有矩形的面积和为10 (0.005 2 0.010 0.020 0.030) 0.75，
所以缺失的矩形面积为1 0.75 0.25，
所以高度为0.25 10 0.025，…………………2 分
高二数学学科 参考答案 第 13页(共 20 页)
10
由于 0.25，所以第 10 名记为第 75 百分位数，
40
设第 10 名的成绩为 x，则 x位于第 5 组，且0.025(135 x) 10 0.005 0.25，解得 x 129，
所以成绩排名第 10 的选手分数为 129；…………………4 分
（2）105 以下合计 6 个人，将 6 人依次编号为 1，2，3，4，5，6（95 分以下的人编号为 1，2），
任选 2 个人的方法数，
列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56 共计 15
种，
9 3

包含 1，2 的有 9 种，故概率为15 5；…………………8 分
（3）男子组选手的平均分
x 90 0.05 100 0.1 110 0.2 120 0.3 130 0.25 140 0.1 119，
男子组得分的方差
(90 119)2 0.05 (100 119)2 0.1 (110 119)2 0.2
(120 119)2 0.3 (130 119)2 0.25 (140 119)2 0.1
169
119 117
118
所有选手的平均得分为 2 ，…………………10 分
1 1 315
[144 (117 118)2 ] [169 (119 118)2 ]
所以所有选手得分的方差 2 2 2 .…………………12 分
2π 5π
19．已知函数 f (x) 3sin( 2x) sin( 2x) .
3 6
π π
(1)若方程 f x m在 x [ , ]上有且只有一个实数根，求实数 m 的取值范围；
4 4
(2)在 ABC中，若 f B 2，内角 A 的角平分线 AD 3 ， AB 2 ，求 AC 的长度.
【答案】(1) 3 m 3 或m 2 . （2） √ 6
π π
【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数 f (x)，再探讨 y f (x)在[ , ]上的性质，
4 4
画出图象，数形结合求解作答.
（2）由（1）求出 B，由正弦定理求出 ADB ，进而求出 BAC ，再利用等腰三角形性质求解
作答.
高二数学学科 参考答案 第 14页(共 20 页)
π π π π π
【详解】（1）依题意， f (x) 3sin[ (2x )] sin[π (2x )] 3 cos(2x ) sin(2x )
2 6 6 6 6
π π π
2sin[(2x ) ] 2sin(2x )
6 3 6 ，…………………2 分
π π π π 2π π π
当 x [ , ]时， 2x [ , ]，则当 x [ , ]时， y f (x)单调递增，函数值从 3 增大
4 4 6 3 3 4 6
到 2，
π π
当 x [ , ]时， y f (x)单调递减，函数值从 2 减小到 3，
6 4
π π π π
方程 f x m在 x [ , ]上有且只有一个实数根，即直线 y m与函数 y f (x)在[ , ]的图
4 4 4 4
象只有一个公共点，…………………4 分
π π
在同一坐标系内作出直线 y m与函数 y f (x)在[ , ]的图象，如图，
4 4
π π
观察图象，当 3 m 3 或m 2时，直线 y m与函数 y f (x)在[ , ]的图象只有一个公
4 4
共点，
所以实数 m 的取值范围是 3 m 3 或m 2 .…………………6 分
π π
（2）由（1）知， f (B) 2sin(2B ) 2，即sin(2B ) 1，
6 6
π π 13π π 3π 2π
在 ABC中，0 B π，即 2B ，则2B ，解得B ，…………8 分
6 6 6 6 2 3
AB AD
在△ABD中， AD 3 ， AB 2 ，由正弦定理得 ，
sin ADB sin B
高二数学学科 参考答案 第 15页(共 20 页)
3
2 π π
则 ABsin B 2 2 ，显然0 ADB ，有 ADB= ，……………10 分 sin ADB 3 4
AD 3 2
π π π
于是 BAD π B ADB ，即有 BAC 2 BAD ，则 C BAC ， ABC是等腰
12 6 6
三角形，
3
所以 AC 2ABcos BAC 2 2 6 .…………………12 分
2
20.已知圆M : (x 1)
2 (y 2)2 2 关于直线 2ax by 6 0 对称，记点 P(a,b) ，过点 P 的直线
与圆相切于点 A, B ．
（1）求 PA 的最小值；
（2）当 PA 取最小值时，求切点 A, B 所在的直线方程．
【答案】(1) 4 （2） 3x 3y 7 0
【分析】 y
（1） 圆M 关于直线2ax by 6 0 对称， 该直线经过 圆心
B
M ( 1, 2) ，……………1 分
M
易得圆M 的半径为R 2 ，
2a 2b 6 0 b a 3 P(a,a 3)， A
因此点 P 是在直线 l : x y 3 0上的动 O x
点，…………………3 分 P
直线 PA 是圆的切线， PA AM ，
2 2 2 2
PA PM MA PM R2 PM 2 ．
当 PM 取得最小值时， PA 最小，当直线MP l 时， PM 最小（如图），
1 2 3
此时 PM 即为点 P 到直线 l 的距离， d 3 2 ，…………………5 分
2 21 1
此时 PA 取得最小值， PA d 2 R2 4 ．…………………6 分
min
（2）法 1：（圆与圆的交线方程）
由（1）得，当直线MP l 时， PA 取得最小值，
此时直线MP方程为： y (x 1) 2 x 1，联立直线 l 与直线MP可得此时点P 坐标：
y x 1 x 2
， P(2, 1) ，…………………8 分
y x 3 y 1
PA AM , PB BM , P、A、M、B 四点共圆，且线段MP即为该圆的直径，
因此，以线段MP为直径的圆方程即为 (x 1)(x 2) (y 2)(y 1) 0 ，…………………10 分
高二数学学科 参考答案 第 16页(共 20 页)
又 圆M : (x 1)
2 (y 2)2 2 ，两圆方程相减消去平方项，
x
2 y2 x y 4 0
即为交线 AB 的方程： 直线 AB 的方程为3x 3y 7 0．……12 分
x2 2 y 2x 4y 3 0
（2）法 2：（圆的切点弦方程）
2 2 2
圆的切点弦方程：过圆外一点 P (x , y )作圆 (x a) (y b) r0 0 的两条切线，记切点分别为
A、B ，
2
则直线 AB 的方程为 (x a)(x0 a) (y b)(y0 b) r ，…………………9 分
因此直线 AB 方程为 (x 1)(2 1) (y 2)( 1 2）=2 ，整理得3x 3y 7 0．…………12 分
21.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1 = 2,D, E分别是线段
AC, CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．
(1)求证：A1C ⊥平面BDE；
(2)若点F为棱B1C1的中点，求点F到平面BDE的距离；
(3)若点F为线段B1C1上的动点(不包括端点)，求锐二面角F BD E的余弦值的取值范围．
1 √ 3
【答案】 3√ 3(1) 见解答 （2） （3）( , )
4 2 2
【分析】
(1)法一：连结AC1，因为 ΔABC 为等边三角形， D 为 AC 中点， ∴
BD ⊥ AC ，…………………1 分
又 C1D ⊥ 平面 ABC ， BD 平面 ABC ， ∴ C1D ⊥ BD，
∵ AC ∩ C1D = D, AC, C1D 平面 AA1C1C，
∴ BD ⊥ 平面 AA1C1C ，又 A1C 平面 AA1C1C, ∴ BD ⊥ A1C ，
由题设知四边形 AA1C1C 为菱形， ∴ A1C ⊥ AC1 ，…………3 分
∵ D, E 分别为 AC, CC1 中点， ∴ DE//AC1, ∴ A1C ⊥ DE ，
又 BD ∩ DE = D, BD ， DE 平 面 BDE, ∴ A1C ⊥ 平
高二数学学科 参考答案 第 17页(共 20 页)
面 BDE ．…………4 分
法二：由 C1D ⊥ 平面 ABC ， BD, AC 平面 ABC ， ∴ C1D ⊥ BD,C1D ⊥ AC,
又 ΔABC 为等边三角形， D 为 AC 中点， ∴ BD ⊥ AC ，则以 D 为坐标原点，DB、DA、DC1 所在
直线为 x, y, z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，B(√ 3, 0,0)，C(0, 1,0)，
1 √ 3
C1(0,0, √ 3)，E(0, , )，B1(√ 3, 1, √ 3)，A1(0,2,√ 3)， ………………1 分 2 2
1 √ 3∴ DB = (√ 3, 0,0), D E = (0, , ), A C 1 = (0, 3, √ 3)， 2 2
∵ D B · A C = 0, D E · A C 1 1 = 0，∴ BD ⊥ A1C, DE ⊥ A1C，…………………3 分
又BD ∩ DE = D, BD，DE 平面 BDE, ∴ A1C ⊥ 平面BDE ．…………………4 分
法三：(同法二建系)设平面 BDE 的一个法向量为 m = (x, y, z)，
D ∵ { B · m = 0
√ 3x = 0
，即 {
1 √ 3
,
DE · m = 0 y + z = 0
2 2
不妨取 z = 1 ，则 y = √ 3 ，则 m = (0,√ 3, 1)，
所以平面 BDE 的一个法向量为 m = (0, √ 3, 1)，…………………3 分
∵ A C 1 = (0, 3, √ 3) ， ∴ A C = √ 3 m ， ∴ A 1 1C// m ， ∴ A1C ⊥ 平面 BDE．……………4 分
√ 3 1
(2)由 (1)坐标法得 F ( , , √ 3) ，平面 BDE 的一个法向量为 m = (0,√ 3, 1) ， ∵ D F =
2 2
√ 3 1
( , , √ 3)，
2 2
|m D F
√ 3
| +√ 3
∴ 点到F到平面 BDE 的距离为 2 3√ 3= = ．…………………7 分
|m | 2 4
(3) C 1B1 = (√ 3, 1,0), CA1 = (0,3, √ 3)，
设 F(x, y, z), C 1F = λC B 1 1 (0 < λ < 1) ，则 (x, y, z √ 3) = (√ 3λ, λ, 0) ，
∴ x = √ 3λ, y = λ, z = √ 3, ∴ F(√ 3λ, λ, √ 3),………………8 分
∴ D F = (√ 3λ, λ, √ 3)；
由(1)知： A1C ⊥ 平面 BDE, ∴ 平面 BDE 的一个法向量 m ′ = C A 1 = (0,3, √ 3)
(或者由(1)中待定系数法求出法向量)；
设平面 FBD 的法向量 n = (a, b, c) ，
D B n =
则 { √
3a = 0
，令 b = √ 3 ，则 a = 0, c = λ, ∴ n = (0, √ 3, λ) ；
D F n = √ 3λa + λb + √ 3c = 0
高二数学学科 参考答案 第 18页(共 20 页)
|m
2
′ n | |3√ 3 √ 3λ| |3 λ| 1
∴ |cos m ′ , n | = = = = √
(3 λ)
，………………10 分
|m ′| |n | 22 2 2 3+λ
2√ 3×√ 3+λ 2√ 3+λ
令 3 λ = t ∈ (2,3) ，则 λ = 3 t ，
1 t2 1 1
∴ |cos m ′ , n | = √ =
2 12 6t+t2 2√ 12 6 ；
2 +1t t
1 1 1 12 6 1 1 √ 3
∵ ∈ ( , ), ∴ 2 + 1 ∈ ( , 1), ∴ |cos m
′ , n | ∈ ( , ) ，
t 3 2 t t 3 2 2
1 √ 3
即锐二面角 F BD E 的余弦值的取值范围为 ( , ) . ………………12 分
2 2
22.在区间D上，如果函数f(x)为减函数，而xf(x)为增函数，则称f(x)为D上的弱减函数．若
1
f(x) = ．
√ 1+x
(1)判断f(x)在区间,0,+∞)上是否为弱减函数；
a 1 a+4
(2)当x ∈ ,1,3-时，不等式 ≤ ≤ 恒成立，求实数a的取值范围；
x √ 1+x 2x
(3)若函数g(x) = f(x) + k|x| 1在,0,3-上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
1 √ 2 1 1【答案】(1) f(x) = 是,0,+∞)上的弱减函数 （2） , 1, - （3）, , )
√ 1+x 2 6 2
【分析】本题主要考查新定义，函数的单调性的应用，函数的零点与方程根的关系，属于拔高题．
1
(1)利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断f(x) = 是,0,+∞)上的弱减函数．
√ 1+x
x
a ≤ ( )
√ 1+x min
(2)根据题意可得{a+4 x ，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．
≥ ( )
2 √ 1+x max
1
(3)根据题意，x = 0为函数的一个零点，则当x ∈ (0,3-时，方程1 = k|x|只有一解，分离
√ 1+x
参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．
1
【详解】解：(1)由初等函数性质知，f(x) = 在,0,+∞)上单调递减，
√ 1+x
x (x+1) 1 1
而xf(x) = = = √ 1 + x 在,0,+∞)上单调递增，
√ 1+x √ 1+x √ 1+x
1
所以f(x) = 是,0,+∞)上的弱减函数．………………2 分
√ 1+x
x a+4
(2)不等式化为a ≤ ≤ 在x ∈ ,1,3-上恒成立，
√ 1+x 2
高二数学学科 参考答案 第 19页(共 20 页)
x
a ≤ ( )
√ 1+x min x
则{a+4 x ，而y = 在,1,3-上单调递增，………………4 分
≥ ( ) √ 1+x
2 √ 1+x max
√ 2
x
∴ √ 2
x 3 a ≤ √ 2
的最小值为 ， 的最大值为 ，∴ { 2 , ∴ a ∈ , 1, -.………………6 分
√ 1+x 2 √ 1+x 2 a+4 3 2≥
2 2
1
(3)由题意知方程1 = k|x|在,0,3-上有两个不同根，
√ 1+x
①当x = 0时，上式恒成立；………………7 分
1
②当x ∈ (0,3-时，则由题意可得方程1 = k|x|只有一解，
√ 1+x
1 1 1 √ 1+x 1
根据k = (1 ) =
x √ 1+x x √ 1+x
1 x 1
= =
x 1+x ( 1+x+1) 2 ，………………9 分√ √ (√ 1+x) +√ 1+x
令t = √ 1 + x，则t ∈ (1,2-，………………10 分
1 1 1
方程化为k = 2 在t ∈ (1,2-上只有一解，所以k ∈ , , )． t +t 6 2
1 1
综上所述，实数k的取值范围为, , )． ………………12 分
6 2
高二数学学科 参考答案 第 20页(共 20 页)绝密★考试结束前
2023 学年第一学期杭州北斗联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
命题：淳安二中 北师大嘉兴附中
考生须知：
1．本卷共 6页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 A = {x|1 < 2x ≤ 4}，B = {x|y = ln(x 1)}，则 A ∩ B = ( )
A. {x|0 < x < 1} B. {x|1 < x ≤ 2} C. {x|0 < x ≤ 2} D. {x|0 < x < 2}
2.若复数 z 满足 z 1 2i 3 4i（其中 i为虚数单位），则 z 的虚部是 ( )
A. 2i B. 2i C. 2 D. 2
3.“a = 1”是“直线l1: a 2 x + y + 1 = 0 与直线l2: a + 1 x + 2y 2 = 0 互相垂直”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力

对物体做了功，功的计算公式：W F S （其中W 是功，F 是力， S是位移）一物体在力

F1 2,4 和 F2 5,3 的作用下，由点 A(1,0)移动到点 B 2,4 ，在这个过程中这两个力的
合力对物体所作的功等于( )
A. 25 B. 5 C. 5 D. 25
5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称
为“阴阳鱼太极图” .如图是放在平面直角坐标系中的“太极
图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 P x, y 是阴影部分(包括边
y
界)的动点，则x 2的最小值为( )
高二数学学科 试题 第 1页(共 6 页)
A. 2 B. 3 43 2 C. 3 D. 1
6.已知 f(x)是定义域为( ∞, + ∞)的奇函数，满足 f(1 x) = f(1 + x)，若 f(1) = 2，则 f(1) +
f(2) + f(3) + + f(50) =( )
A. 50 B. 0 C. 50 D. 2
7.如图，在三棱锥 O ABC中，点 G为底面△ ABC的重心，点 M是线段 OG
上靠近点 G的三等分点，过点 M的平面分别交棱 OA，OB，OC于点 D，E，
F，若OD = kOA，OE = mOB，OF = nOC 1 1 1，则k + m+ n =( )
A. 13 B. 23 3 C.
3
2 D.
9
2
8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁
里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡
盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间
最大球为正四面体 ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面
均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 ABCD
棱长为2 6，则模型中九个球的表面积和为( )
31π
A. 6π B. 9π C. D. 21π
4
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9. 有一组样本甲的数据 xi ，一组样本乙的数据 2xi 1，其中 xi i 1,2,3, 4,5,6,7,8 为不完全
相等的正数，则下列说法正确的是( )
A. 样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B. 样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C. 若样本甲的中位数是m，则样本乙的中位数是 2m 1
D. 若样本甲的平均数是n，则样本乙的平均数是 2n +1
10.已知 A x1, y1 ， B x2 , y 2 22 是圆O： x y 1上两点，则下列结论正确的是( )

A．若 AB 1，则 AOB
3
高二数学学科 试题 第 2页(共 6 页)
1 3
B．若点O到直线 AB的距离为 ，则 AB
2 2

C．若 AOB ，则 x y 1 x y 1 的最大值为 2 2
2 1 1 2 2

D．若 AOB ，则 x1 y1 1 x2 y2 1 的最大值为 42
11.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为 1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为
3，4，5，6，7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取 1个小球，记事件 A =“抽取的两个小球标号相
同”，事件 B =“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件 C =“抽取的两个小球标号之和大于
8”，则( )
A. 事件 A与事件 B是互斥事件 B. 事件 A与事件 B是对立事件
C. P(A ∪ C) = P(B) D. P(B ∩ C) = P(A)
12.如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB 3， AA1 2 6 ，P 是该正四棱柱表面或内部一
点，直线 PB,PC 与底面 ABCD所成的角分别记为 , ( 0, 0)，且 sin 2sin ，记
动点 P 的轨迹与棱 CC1的交点为Q，则下列说法正确的是( )
A．Q为 CC1中点
B．线段 PA1长度的最小值为 5
C．存在一点 P ，使得 PQ//平面 AB1D1
D．若 P 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 表面，则点 P 的轨迹长度为
4 3 3
6
非选择题部分
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.过点 2, 1 且方向向量为 1,2 的直线的方程为 ．
14 1 y > 2 3x + y = 7 1 1.已知 x > +3， ，且 ，则3x 1 y 2的最小值为 ．
15. 某学校 10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组
织 2位同学参加，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 2位同学，
且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为________．
16.已知单位空间向量e1，e2，e3满足e1 e2 = 0，e2 e3 = e1 e
1
3 = 2 .若空间向量a满足a e1 = a
e 3 22 = ，且对于任意实数 x, y，|a xe1 ye2|的最小值是2，则|a λe3| λ ∈ R 的最小值是 ．2
高二数学学科 试题 第 3页(共 6 页)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ，且 = 1， = 2， = 2 2，
= 1， ⊥ ， 为 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国
轮流主办，每四年举办一届.1951年第 1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动
员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第 19
届杭州亚运会于 2023年 9月 23日至 10月 8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，
某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有 40名选手参加，
下图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于 85到 145之间），
(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男
子组成绩排名第 10的选手分数；
(2)若计划从男子组中 105 分以下的选手中随机
抽样调查 2个同学的答题状况，则抽到的选手中
至少有 1位是 95分以下选手的概率是多少？
(3)若女子组 40位选手的平均分为 117，标准差
为 12，试求所有选手的平均分和方差.
高二数学学科 试题 第 4页(共 6 页)
2π 5π
19．已知函数 f (x) 3 sin( 2x) sin( 2x) .
3 6
(1)若方程 f x m在 x π π [ , ]上有且只有一个实数根，求实数 m的取值范围；
4 4
(2)在 ABC中，若 f B 2，内角 A的角平分线 AD 3， AB 2 ，求 AC的长度.
20.已知圆M : (x 1)2 (y 2)2 2 关于直线 2ax by 6 0 对称，记点 P(a,b)，过点 P 的直线
与圆相切于点 A, B．
（1）求 PA 的最小值；
（2）当 PA 取最小值时，求切点 A, B 所在的直线方程．
高二数学学科 试题 第 5页(共 6 页)
21.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是边长为 2的等边三角形，CC1 = 2,D, E 分别是线段
AC, CC1的中点，C1在平面 ABC内的射影为 D．
(1)求证：A1C ⊥平面 BDE；
(2)若点 F为棱B1C1的中点，求点 F到平面 BDE的距离；
(3)若点 F 为线段B1C1上的动点(不包括端点)，求锐二面角
F BD E的余弦值的取值范围．
22.在区间 D上，如果函数 f(x)为减函数，而 xf(x)为增函数，则称 f(x)为 D上的弱减函数．若 f(x) =
1
1+x．
(1)判断 f(x)在区间[0, + ∞)上是否为弱减函数；
(2) x ∈ [1,3] a ≤ 1 ≤ a+4当 时，不等式x 1+x 2x 恒成立，求实数 a的取值范围；
(3)若函数 g(x) = f(x) + k|x| 1在[0,3]上有两个不同的零点，求实数 k的取值范围．
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