(二)半角模型
1.(2022·山东德州)【教材呈现】
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容.
如图，四边形ABCD中，AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫
做“筝形”，
【概念理解】
(1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：
(2)如图①，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,△EAB与△DAB关于AB所在的直线对
称，△FAC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB,FC相交于点G.请写出图
中的“筝形”：
:(写出一个即可)》
【应用拓展】
(3)如图②，在(2)的条件下，连接EF,分别交AB,AC于点M,H,连接BH.
①求证：∠BAC=∠FEG;②求证：∠AHB=90°.
备川川割
2.(2023·沈阳模拟)(1)【思维探究】如图①，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD
上，且∠EAF=45°，连接EF,则三条线段EF,BE,DF满足的等量关系式是
小明的思路是：将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置，并说明点G,B,
E在同一条直线上，然后证明△AEF≌
即可得证结论；（只需填空，无需证明）
(2)【思维延伸】如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E均在边BC上，点D在点E
的左侧，且∠DAE=45°，猜想三条线段BD,DE,E℃应满足的等量关系，并说明理由；
24
(3)【思维拓广】如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC=5,点D,E均在直线BC
上，点D在点E的左侧，且∠DAE=30°，当BD=1时，请直接写出线段CE的长.
3.(2023·信阳模拟)综合与实践：
【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC,
∠BAC=a,射线AD平分∠BAC,将射线AD绕点A逆时针旋转a角，得到射线I,在射
线I上取点E,使得AE=AB,连接BE分别交AD,AC于点M,N,连接CE.问：∠CBE,
∠MAN之间的数量关系是什么？线段DM,CN之间的数量关系是什么？
【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下：
甲同学：当α=60°时，如图②，通过探究可以发现，△AMN,△ACE,△ECN都是等腰三
角形；
乙同学：可以证明△ABM≌△AEN,得到BM=EN;
丙同学：过点A作AF⊥MN,垂足为F,如图③，则FM=FN;
丁同学：可以证明△BDM∽△AFM,△ECNc∽△AMN,得到BM-DM,EN=CX
AM FM'AN MN
(1)根据以上探究过程，得出结论：∠CBE,∠MAN之间的数量关系是
;线段
DM,CN之间的数量关系是
【类比探究】
(2)“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当∠BAC=
时，如图①，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图①的情形进行证
明：如果不成立，请说明理由.
25满分计划
2于点H,则H(2,1),CH=2V2,∠CHG=∠OCH=45°，
二次函数压轴题
∴HG=√2CH=4,.G(2,5).设Q(2,1),则AQ+CQ=
(一)二次函数与三角形
AC,12+2+2+(1-3》=3+3,解得1=3-厘舍去
1.解：(1)将点A、B、C的坐标直接代入，求得抛物线的函
数表达武为y=}-
乞x一2：(2)由点A,B坐标求直
或=3+区，Q(2.2+亚)：△QAC是锐角三角
3
线AB的解析式为y-号一2，设P(m,子m-之m-2)
1
1
形3十亚<4<5.@当4<0时，如图@，同理可得
（0
1
AQ+QC=AC,即18=9r-61十13+1+2解得1=
求号PK+PD-名m+号m+2=-名(m-是)广+
1
3-应或1=3十应〔合去).由(2)或得AMLAC时，M
2
2
要当m=号时，号PK+PD的最大值为答此时
（2,-1)综上所述，当△OAC是锐角三角形时3+，区<。
2
P(受一瓷)：(3)过A作AM:上AB交抛物线的对称
<5或-12
轴于M2,过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于M,连接
(二)二次函数与四边形
AM,设M(1,n),则AM=+4n十5，BM=n+9,由
1.解：(1)待定系数法可求抛物线的解析式为y=一x十
AB+BM=AM2,可求M(1,6),进而求出直线BM
2x十3；(2)设M(m,一m2十2m十3)，进而分别表示出
的解析式为y=一2x+8,由AM∥BM,且经过A(0,一2)
MN=-m2+2m+3,AN=m+1,则AN+MN=一m2+
∴.直线AM解析式为y=一2x一2，.M(1,一4)，综上所
3m十4，根据二次函数的性质，0述：M的坐标为(1,6)或(1，一4).2.解：(1)将B、C两点坐
标代人解折式求出6，得抛物线的解折式为y=子十子
AN+MN有最大值，最大值为克；(3)由(1)知，y
3:(②直线AC的解析式为y=-是x-3,过点P作
一x+2x+3向左平移后的抛物线为y=一x+4,由(2)
知M(号，)A(-1.0).设P1.Q(go).假设存
PEL轴于点E,交AC于点H,设P(,+-3),
在以A,P,Q、M为顶点的平行四边形.根据中点坐标公
则H(,--3,PD=告PH=号(-r-）=
式.①当以AM为对角线时，Q(-合，只).@当以AQ
-1=-+2+，当1=-2时，PD取得
为对角线时Q(名，-翠)，③当以AP为对角线时。
最大值为专，此时P(-2,一号)；(3)根据平移的性质
Q的坐标为(-子，子).2解：1)将A,B两点坐标
得出y=专（一号）广-铝，对称轴为直线x=号·点
代入解析式求出@，c,得地物线解析式为：y=一号t十
P(-2,-号)向右平移5个单位得到E(3,-号)，F(0,
x十4：(2)根据题意，联立抛物线与直线，求得点D(2十
14,一√14一3)，E(2一√14，√14一3)，点M的横坐标
2),设Q(号，m),用勾股定理分别表示出EF,QE,QF,
为1，MN=-2r++4-(-1-1D=-之f+2+5
进而分类讨论，可求出Q点的坐标为（号，一1）或
合4-2)十7，当1=2时，MN取得最大值为7，根据
(号5)或（号，子）.3.解：1）将B,C两点坐标代入解析
S△w=乞(xw一x)XMN,解得△NED面积的最大值为
式求出b,c,得抛物线的解析式为y=x一4x十3；(2)由解析
7√14：(3)设M(t,一t一1)，R(m,n)根据题意得C(0,
式求出点A(3,0),可得△AOC是等腰直角三角形，根据
4),B(4,0),分别求得BC,BM,CM,①当BC,MR为对
SC=S△a,可得P到AC的距离等于B到AC的距离，
直线AC的解析式为y=一x十3，过B点作AC的平行线，
角线时，MB=CM,则求得R(号，号)，②当BR,CM为对
则直线BP的解析式为y=一x+1,联立抛物线，求得
角线时，由BM=BC,利用勾股定理可求得
P(2,一1)：则△ABP是等腰直角三角形，且∠APB=90°，
延长PA至D,使得AD=PA,过点D作AC的平行线DE,交
R(5,四，3+3)或R(5+3,3-3),
2
》
2
x轴于点E,则DA=PA,则符合题意的点P在直线DE上，根
③当BM,CR为对角线时，由BC=MC,利用勾股定理可求
据题意可得E(5,0),则直线DE的解析式为y=一x十5，联立抛
得
物线求得P(3-应.7+应)或P(3+,匠，7-正)：
R点为
R(3-,,-5+/型）或
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2
2
2
2
(3)①当a>0时，如图，过点
R(3十39，二39-5).3.解：(1)利用待定系数法可
2
2
C作CG⊥AC,交直线x=2
于点G,当点Q与G重合时
求抛物线的解折式为：y=一2r十x十4；(2)直线BC
△ACQ是直角三角形，当
∠AQC=90°时，△ACQ是直
的解析式为y=一x十4，设E(x,-号r十x十4)，则F(x,
角三角形，设AC交直线x=
-x十4)，利用对称性质求得H(2-x,-弓+x十4)，推
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