满分计划
2于点H,则H(2,1),CH=2V2,∠CHG=∠OCH=45°，
二次函数压轴题
∴HG=√2CH=4,.G(2,5).设Q(2,1),则AQ+CQ=
(一)二次函数与三角形
AC,12+2+2+(1-3》=3+3,解得1=3-厘舍去
1.解：(1)将点A、B、C的坐标直接代入，求得抛物线的函
数表达武为y=}-
乞x一2：(2)由点A,B坐标求直
或=3+区，Q(2.2+亚)：△QAC是锐角三角
3
线AB的解析式为y-号一2，设P(m,子m-之m-2)
1
1
形3十亚<4<5.@当4<0时，如图@，同理可得
（0
1
AQ+QC=AC,即18=9r-61十13+1+2解得1=
求号PK+PD-名m+号m+2=-名(m-是)广+
1
3-应或1=3十应〔合去).由(2)或得AMLAC时，M
2
2
要当m=号时，号PK+PD的最大值为答此时
（2,-1)综上所述，当△OAC是锐角三角形时3+，区<。
2
P(受一瓷)：(3)过A作AM:上AB交抛物线的对称
<5或-12
轴于M2,过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于M,连接
(二)二次函数与四边形
AM,设M(1,n),则AM=+4n十5，BM=n+9,由
1.解：(1)待定系数法可求抛物线的解析式为y=一x十
AB+BM=AM2,可求M(1,6),进而求出直线BM
2x十3；(2)设M(m,一m2十2m十3)，进而分别表示出
的解析式为y=一2x+8,由AM∥BM,且经过A(0,一2)
MN=-m2+2m+3,AN=m+1,则AN+MN=一m2+
∴.直线AM解析式为y=一2x一2，.M(1,一4)，综上所
3m十4，根据二次函数的性质，0述：M的坐标为(1,6)或(1，一4).2.解：(1)将B、C两点坐
标代人解折式求出6，得抛物线的解折式为y=子十子
AN+MN有最大值，最大值为克；(3)由(1)知，y
3:(②直线AC的解析式为y=-是x-3,过点P作
一x+2x+3向左平移后的抛物线为y=一x+4,由(2)
知M(号，)A(-1.0).设P1.Q(go).假设存
PEL轴于点E,交AC于点H,设P(,+-3),
在以A,P,Q、M为顶点的平行四边形.根据中点坐标公
则H(,--3,PD=告PH=号(-r-）=
式.①当以AM为对角线时，Q(-合，只).@当以AQ
-1=-+2+，当1=-2时，PD取得
为对角线时Q(名，-翠)，③当以AP为对角线时。
最大值为专，此时P(-2,一号)；(3)根据平移的性质
Q的坐标为(-子，子).2解：1)将A,B两点坐标
得出y=专（一号）广-铝，对称轴为直线x=号·点
代入解析式求出@，c,得地物线解析式为：y=一号t十
P(-2,-号)向右平移5个单位得到E(3,-号)，F(0,
x十4：(2)根据题意，联立抛物线与直线，求得点D(2十
14,一√14一3)，E(2一√14，√14一3)，点M的横坐标
2),设Q(号，m),用勾股定理分别表示出EF,QE,QF,
为1，MN=-2r++4-(-1-1D=-之f+2+5
进而分类讨论，可求出Q点的坐标为（号，一1）或
合4-2)十7，当1=2时，MN取得最大值为7，根据
(号5)或（号，子）.3.解：1）将B,C两点坐标代入解析
S△w=乞(xw一x)XMN,解得△NED面积的最大值为
式求出b,c,得抛物线的解析式为y=x一4x十3；(2)由解析
7√14：(3)设M(t,一t一1)，R(m,n)根据题意得C(0,
式求出点A(3,0),可得△AOC是等腰直角三角形，根据
4),B(4,0),分别求得BC,BM,CM,①当BC,MR为对
SC=S△a,可得P到AC的距离等于B到AC的距离，
直线AC的解析式为y=一x十3，过B点作AC的平行线，
角线时，MB=CM,则求得R(号，号)，②当BR,CM为对
则直线BP的解析式为y=一x+1,联立抛物线，求得
角线时，由BM=BC,利用勾股定理可求得
P(2,一1)：则△ABP是等腰直角三角形，且∠APB=90°，
延长PA至D,使得AD=PA,过点D作AC的平行线DE,交
R(5,四，3+3)或R(5+3,3-3),
2
》
2
x轴于点E,则DA=PA,则符合题意的点P在直线DE上，根
③当BM,CR为对角线时，由BC=MC,利用勾股定理可求
据题意可得E(5,0),则直线DE的解析式为y=一x十5，联立抛
得
物线求得P(3-应.7+应)或P(3+,匠，7-正)：
R点为
R(3-,,-5+/型）或
2
2
2
2
2
(3)①当a>0时，如图，过点
R(3十39，二39-5).3.解：(1)利用待定系数法可
2
2
C作CG⊥AC,交直线x=2
于点G,当点Q与G重合时
求抛物线的解折式为：y=一2r十x十4；(2)直线BC
△ACQ是直角三角形，当
∠AQC=90°时，△ACQ是直
的解析式为y=一x十4，设E(x,-号r十x十4)，则F(x,
角三角形，设AC交直线x=
-x十4)，利用对称性质求得H(2-x,-弓+x十4)，推
·31(五)一线三等角模型
1.(2023·湖北荆州)如图①，点P是线段AB上与点A,点B不重合的任意一点，在AB的
同侧分别以A,P,B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和
射线BA,∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线
段AB为等联线，
(1)如图②，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格
点的已知线段.请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P
为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
(2)如图③，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP,延长AP至点B,使AB=AC,作∠A
的等联角∠CPD和∠PBD.将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到
△MPC,再延长PM交BD的延长线于E,连接CE并延长交PD的延长线于F,连
接BF.
①确定△PCF的形状，并说明理由；
②若AP:PB=1:2,BF=√2k,求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）.
2.(2023·襄阳模拟)在△ABC与△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠ACB=∠AED,点
D在△ABC的边BC上，过点E作EF⊥BC,垂足为F.
(1)证明推断：如图①，当∠ACB=45时
①求证：△ABD≌△DFE;
②推断：品
2)类比探究：如图②，当∠ACB≠45°时，设A=k(k>1),试探究BD与CF的数量关
系，并证明你的结论；
31
(3)学以致用：在(2)的条件下，连接CE,设DE与AC相交于G,若k=2,AB=4,CE=
3√5，求CG的长.
3.(2023·武汉模拟)如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC上，且∠ADE=∠B.
【问题背绿1如图①者∠B=∠C求证2说。
(2)已知AB=5,BC=13.
①【变式运用】如图②，若BD=1,DE=2AD,求证：∠ABC=2∠C;
②拓展创新】如图③，若∠ABC=2∠C,0.直接写出BD的长.
81)
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