二次函数压轴题
(一)二次函数与三角形
1.(2023·四川内江)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2十bx十c与x轴交于B(4,
0),C(一2,0)两点.与y轴交于点A(0,一2).
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K,过点P作
y轴的平行线交x轴于点D,求PK+PD的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△MAB是以AB为一条直角边的直角
三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2.（2023·重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=号2+6x+c与x轴交于点A,B,
与y轴交于点C,其中B(3,0),C(0,一3)
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D,求PD的最大值
及此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛
物线与y轴交于点F,Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以
QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程
写出来
备川川
3.(2023·湖南湘潭)如图，二次函数y=x2十bx十c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴
交于C点，其中B(1,0),C(0,3).
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P,使得S△PAc=S△AB？若存在，请求出P点坐标；若
不存在，请说明理由；
(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a,当△QAC是锐角三角形时，求a的取
值范围
备图
2满分计划
2于点H,则H(2,1),CH=2V2,∠CHG=∠OCH=45°，
二次函数压轴题
∴HG=√2CH=4,.G(2,5).设Q(2,1),则AQ+CQ=
(一)二次函数与三角形
AC,12+2+2+(1-3》=3+3,解得1=3-厘舍去
1.解：(1)将点A、B、C的坐标直接代入，求得抛物线的函
数表达武为y=}-
乞x一2：(2)由点A,B坐标求直
或=3+区，Q(2.2+亚)：△QAC是锐角三角
3
线AB的解析式为y-号一2，设P(m,子m-之m-2)
1
1
形3十亚<4<5.@当4<0时，如图@，同理可得
（0
1
AQ+QC=AC,即18=9r-61十13+1+2解得1=
求号PK+PD-名m+号m+2=-名(m-是)广+
1
3-应或1=3十应〔合去).由(2)或得AMLAC时，M
2
2
要当m=号时，号PK+PD的最大值为答此时
（2,-1)综上所述，当△OAC是锐角三角形时3+，区<。
2
P(受一瓷)：(3)过A作AM:上AB交抛物线的对称
<5或-12
轴于M2,过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于M,连接
(二)二次函数与四边形
AM,设M(1,n),则AM=+4n十5，BM=n+9,由
1.解：(1)待定系数法可求抛物线的解析式为y=一x十
AB+BM=AM2,可求M(1,6),进而求出直线BM
2x十3；(2)设M(m,一m2十2m十3)，进而分别表示出
的解析式为y=一2x+8,由AM∥BM,且经过A(0,一2)
MN=-m2+2m+3,AN=m+1,则AN+MN=一m2+
∴.直线AM解析式为y=一2x一2，.M(1,一4)，综上所
3m十4，根据二次函数的性质，0述：M的坐标为(1,6)或(1，一4).2.解：(1)将B、C两点坐
标代人解折式求出6，得抛物线的解折式为y=子十子
AN+MN有最大值，最大值为克；(3)由(1)知，y
3:(②直线AC的解析式为y=-是x-3,过点P作
一x+2x+3向左平移后的抛物线为y=一x+4,由(2)
知M(号，)A(-1.0).设P1.Q(go).假设存
PEL轴于点E,交AC于点H,设P(,+-3),
在以A,P,Q、M为顶点的平行四边形.根据中点坐标公
则H(,--3,PD=告PH=号(-r-）=
式.①当以AM为对角线时，Q(-合，只).@当以AQ
-1=-+2+，当1=-2时，PD取得
为对角线时Q(名，-翠)，③当以AP为对角线时。
最大值为专，此时P(-2,一号)；(3)根据平移的性质
Q的坐标为(-子，子).2解：1)将A,B两点坐标
得出y=专（一号）广-铝，对称轴为直线x=号·点
代入解析式求出@，c,得地物线解析式为：y=一号t十
P(-2,-号)向右平移5个单位得到E(3,-号)，F(0,
x十4：(2)根据题意，联立抛物线与直线，求得点D(2十
14,一√14一3)，E(2一√14，√14一3)，点M的横坐标
2),设Q(号，m),用勾股定理分别表示出EF,QE,QF,
为1，MN=-2r++4-(-1-1D=-之f+2+5
进而分类讨论，可求出Q点的坐标为（号，一1）或
合4-2)十7，当1=2时，MN取得最大值为7，根据
(号5)或（号，子）.3.解：1）将B,C两点坐标代入解析
S△w=乞(xw一x)XMN,解得△NED面积的最大值为
式求出b,c,得抛物线的解析式为y=x一4x十3；(2)由解析
7√14：(3)设M(t,一t一1)，R(m,n)根据题意得C(0,
式求出点A(3,0),可得△AOC是等腰直角三角形，根据
4),B(4,0),分别求得BC,BM,CM,①当BC,MR为对
SC=S△a,可得P到AC的距离等于B到AC的距离，
直线AC的解析式为y=一x十3，过B点作AC的平行线，
角线时，MB=CM,则求得R(号，号)，②当BR,CM为对
则直线BP的解析式为y=一x+1,联立抛物线，求得
角线时，由BM=BC,利用勾股定理可求得
P(2,一1)：则△ABP是等腰直角三角形，且∠APB=90°，
延长PA至D,使得AD=PA,过点D作AC的平行线DE,交
R(5,四，3+3)或R(5+3,3-3),
2
》
2
x轴于点E,则DA=PA,则符合题意的点P在直线DE上，根
③当BM,CR为对角线时，由BC=MC,利用勾股定理可求
据题意可得E(5,0),则直线DE的解析式为y=一x十5，联立抛
得
物线求得P(3-应.7+应)或P(3+,匠，7-正)：
R点为
R(3-,,-5+/型）或
2
2
2
2
2
(3)①当a>0时，如图，过点
R(3十39，二39-5).3.解：(1)利用待定系数法可
2
2
C作CG⊥AC,交直线x=2
于点G,当点Q与G重合时
求抛物线的解折式为：y=一2r十x十4；(2)直线BC
△ACQ是直角三角形，当
∠AQC=90°时，△ACQ是直
的解析式为y=一x十4，设E(x,-号r十x十4)，则F(x,
角三角形，设AC交直线x=
-x十4)，利用对称性质求得H(2-x,-弓+x十4)，推
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