满分计划
2于点H,则H(2,1),CH=2V2,∠CHG=∠OCH=45°，
二次函数压轴题
∴HG=√2CH=4,.G(2,5).设Q(2,1),则AQ+CQ=
(一)二次函数与三角形
AC,12+2+2+(1-3》=3+3,解得1=3-厘舍去
1.解：(1)将点A、B、C的坐标直接代入，求得抛物线的函
数表达武为y=}-
乞x一2：(2)由点A,B坐标求直
或=3+区，Q(2.2+亚)：△QAC是锐角三角
3
线AB的解析式为y-号一2，设P(m,子m-之m-2)
1
1
形3十亚<4<5.@当4<0时，如图@，同理可得
（0
1
AQ+QC=AC,即18=9r-61十13+1+2解得1=
求号PK+PD-名m+号m+2=-名(m-是)广+
1
3-应或1=3十应〔合去).由(2)或得AMLAC时，M
2
2
要当m=号时，号PK+PD的最大值为答此时
（2,-1)综上所述，当△OAC是锐角三角形时3+，区<。
2
P(受一瓷)：(3)过A作AM:上AB交抛物线的对称
<5或-12
轴于M2,过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于M,连接
(二)二次函数与四边形
AM,设M(1,n),则AM=+4n十5，BM=n+9,由
1.解：(1)待定系数法可求抛物线的解析式为y=一x十
AB+BM=AM2,可求M(1,6),进而求出直线BM
2x十3；(2)设M(m,一m2十2m十3)，进而分别表示出
的解析式为y=一2x+8,由AM∥BM,且经过A(0,一2)
MN=-m2+2m+3,AN=m+1,则AN+MN=一m2+
∴.直线AM解析式为y=一2x一2，.M(1,一4)，综上所
3m十4，根据二次函数的性质，0述：M的坐标为(1,6)或(1，一4).2.解：(1)将B、C两点坐
标代人解折式求出6，得抛物线的解折式为y=子十子
AN+MN有最大值，最大值为克；(3)由(1)知，y
3:(②直线AC的解析式为y=-是x-3,过点P作
一x+2x+3向左平移后的抛物线为y=一x+4,由(2)
知M(号，)A(-1.0).设P1.Q(go).假设存
PEL轴于点E,交AC于点H,设P(,+-3),
在以A,P,Q、M为顶点的平行四边形.根据中点坐标公
则H(,--3,PD=告PH=号(-r-）=
式.①当以AM为对角线时，Q(-合，只).@当以AQ
-1=-+2+，当1=-2时，PD取得
为对角线时Q(名，-翠)，③当以AP为对角线时。
最大值为专，此时P(-2,一号)；(3)根据平移的性质
Q的坐标为(-子，子).2解：1)将A,B两点坐标
得出y=专（一号）广-铝，对称轴为直线x=号·点
代入解析式求出@，c,得地物线解析式为：y=一号t十
P(-2,-号)向右平移5个单位得到E(3,-号)，F(0,
x十4：(2)根据题意，联立抛物线与直线，求得点D(2十
14,一√14一3)，E(2一√14，√14一3)，点M的横坐标
2),设Q(号，m),用勾股定理分别表示出EF,QE,QF,
为1，MN=-2r++4-(-1-1D=-之f+2+5
进而分类讨论，可求出Q点的坐标为（号，一1）或
合4-2)十7，当1=2时，MN取得最大值为7，根据
(号5)或（号，子）.3.解：1）将B,C两点坐标代入解析
S△w=乞(xw一x)XMN,解得△NED面积的最大值为
式求出b,c,得抛物线的解析式为y=x一4x十3；(2)由解析
7√14：(3)设M(t,一t一1)，R(m,n)根据题意得C(0,
式求出点A(3,0),可得△AOC是等腰直角三角形，根据
4),B(4,0),分别求得BC,BM,CM,①当BC,MR为对
SC=S△a,可得P到AC的距离等于B到AC的距离，
直线AC的解析式为y=一x十3，过B点作AC的平行线，
角线时，MB=CM,则求得R(号，号)，②当BR,CM为对
则直线BP的解析式为y=一x+1,联立抛物线，求得
角线时，由BM=BC,利用勾股定理可求得
P(2,一1)：则△ABP是等腰直角三角形，且∠APB=90°，
延长PA至D,使得AD=PA,过点D作AC的平行线DE,交
R(5,四，3+3)或R(5+3,3-3),
2
》
2
x轴于点E,则DA=PA,则符合题意的点P在直线DE上，根
③当BM,CR为对角线时，由BC=MC,利用勾股定理可求
据题意可得E(5,0),则直线DE的解析式为y=一x十5，联立抛
得
物线求得P(3-应.7+应)或P(3+,匠，7-正)：
R点为
R(3-,,-5+/型）或
2
2
2
2
2
(3)①当a>0时，如图，过点
R(3十39，二39-5).3.解：(1)利用待定系数法可
2
2
C作CG⊥AC,交直线x=2
于点G,当点Q与G重合时
求抛物线的解折式为：y=一2r十x十4；(2)直线BC
△ACQ是直角三角形，当
∠AQC=90°时，△ACQ是直
的解析式为y=一x十4，设E(x,-号r十x十4)，则F(x,
角三角形，设AC交直线x=
-x十4)，利用对称性质求得H(2-x,-弓+x十4)，推
·31(五)二次函数与角
1.(2023·湖南岳阳)已知抛物线Q:y=一x2十bx十c与x轴交于A(一3,0)，B两点，交y
轴于点C(0,3).
(1)请求出抛物线Q1的表达式.
(2)如图①，在y轴上有一点D(0,一1)，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，
是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不
存在，请说明理由，
(3)如图②，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2,抛物线Q2的顶点为K,与
x轴正半轴交于点H,抛物线Q上是否存在点P,使得∠CPK=∠CHK？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
#H图
10
2.(2023·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一x2十3x+1交y轴于点A,直
线y=-
3x十2交地物线于B,C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D,交x轴于点
E.
(1)求点D,E,C的坐标；
(2)F是线段OE上一点(OFEF),连接AF,DF,CF,且AF2+EF2=21.
①求证：△DFC是直角三角形；
②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点，当
3tan∠PFK=1时，求点P的坐标
3.(2023·湖南衡阳)如图，已知抛物线y=ax2一2ax十3与x轴交于点A(一1,0)和点B,
与y轴交于点C,连接AC,过B、C两点作直线.
(1)求a的值；
(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B'、C两点.在直线B'C'上方
的抛物线上是否存在定点D,无论m取何值时，都是点D到直线B'C的距离最大，
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由，
(3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC十∠ACO=45°，若存在，请求出直线BP的解析
式；若不存在，请说明理由.
11
4.(2023·四川自贡)如图，抛物线y=一号x+6x十4与x轴交于A(-3.0),B两点，与y
轴交于点C.
(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标：
(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不
存在，请说明理由
12