2024冀教版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练（五）新定义型试题（含解析）

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2024冀教版数学九年级下学期
专项素养综合全练(五)
新定义型试题
类型一　定义新运算
1.(2023江苏宿迁二模)定义:max{a,b}=若函数y=max{-x-1,x2-2x-3},则该函数的最小值为 (　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.-3　　　　D.3
2.(2023黑龙江绥化二模)我们规定:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.例如a=(1,3),b=(2,4),则a·b=1×2+3×4=2+12=14.已知a=(x+1,x-1),b=(x-3,4),且-2≤x≤3,则a·b的最大值是　　　　.
类型二　定义新概念
3.(2023湖南岳阳中考)若一个点的坐标满足(k,2k),我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的二次函数y=(t+1)x2+(t+2)x+s(s,t为常数,t≠-1)总有两个不同的倍值点,则s的取值范围是 (　　)
A.s<-1　　　　B.s<0　　　　C.04.(2023广东深圳福田模拟)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y=|x2+bx+c|的图像如图所示,则下列结论正确的是
(　　)
A.bc<0
B.c=3
C.当直线y=x+m与该图像恰有三个公共点时,m=1
D.关于x的方程|x2+bx+c|=3的所有实数根的和为4
5.【新考向·规律探究题】(2023湖南张家界中考)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABOC是正方形,点A的坐标为(1,1),是以点B为圆心,BA为半径的圆弧;是以点O为圆心,OA1为半径的圆弧;是以点C为圆心,CA2为半径的圆弧;是以点A为圆心,AA3为半径的圆弧,继续以点B,O,C,A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”,则点A2 023的坐标是　　　　.
类型三　定义新方法
6.(2023江苏连云港中考)画一条水平数轴,以原点O为圆心,过数轴上的每一刻度点画同心圆,过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线,这样就建立了“圆”坐标系.如图,在建立的“圆”坐标系内,我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A(6,60°)、B(5,180°)、C(4,330°),则点D的坐标可以表示为　　　　.
答案全解全析
1.C　当-x-1≥x2-2x-3,即-1≤x≤2时,
y=max{-x-1,x2-2x-3}=-x-1.
当-x-12时,
y=max{-x-1,x2-2x-3}=x2-2x-3=(x-1)2-4.
函数y=max{-x-1,x2-2x-3}的图像如图(加粗部分):
故该函数的最小值为-3,故选C.
2.8
解析　根据题意,知a·b=(x+1)(x-3)+4(x-1)=x2+2x-7=(x+1)2-8,这是一个二次函数,其图像开口向上,对称轴为直线x=-1,易知图像上的点离对称轴越远,其函数值越大.
因为-2≤x≤3,
所以当x=3时,a·b取得最大值,为(3+1)2-8=8,
即a·b的最大值是8.故答案是8.
3.D　由“倍值点”的定义可得2x=(t+1)x2+(t+2)x+s,
整理,得(t+1)x2+tx+s=0,
∵关于x的二次函数y=(t+1)x2+(t+2)x+s(s,t为常数,t≠-1)总有两个不同的倍值点,
∴Δ=t2-4(t+1)s=t2-4ts-4s>0,
∵Δ>0对于实数t(t≠-1)总成立,
∴(-4s)2-4×(-4s)<0,整理,得16s2+16s<0,
∴s(s+1)<0,∴或
当时,解得-14.D　∵点(-1,0),(3,0)是函数图像和x轴的交点,
∴解得
∴bc=(-2)×(-3)=6>0,
故A、B选项结论错误.
如图,当直线y=x+m与该函数图像恰有三个公共点时,应该有2条直线,故m的值有2个,
故C选项结论错误.
若|x2+bx+c|=3,则x2-2x-3=3或x2-2x-3=-3,
当x2-2x-3=3时,假设x1,x2是方程的解,则x1+x2=-=2,
当x2-2x-3=-3时,假设x3,x4是方程的解,则x3+x4=-=2,
∴关于x的方程|x2+bx+c|=3的所有实数根的和为2+2=4,故D选项结论正确,故选D.
5.(-2 023,1)
解析　∵A点坐标为(1,1),且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得,∴A1点坐标为(2,0),
又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得,∴A2点坐标为(0,-2),
又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得,∴A3点坐标为(-3,1),
又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得,∴A4点坐标为(1,5),
继续作弧,可得A5(6,0),A6(0,-6),A7(-7,1),A8(1,9),
可以找到规律A4n(1,4n+1),A4n+1(4n+2,0),
A4n+2(0,-4n-2),A4n+3(-4n-3,1),
∵2 023=505×4+3,∴A2 023(-2 023,1).
6.(3,150°)
解析　根据题图可得D在从内到外数的第三个圆上,射线OD与x轴正半轴的夹角的度数为150°,
∴点D的坐标可以表示为(3,150°).
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