2024冀教版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练（一）圆的切线的证明（含解析）

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2024冀教版数学九年级下学期
专项素养综合全练(一)
圆的切线的证明
类型一　切线的判定之见半径证垂直
1.(2023北京通州一模)如图,△ABC是☉O的圆内接三角形,过圆心O作OF⊥AC于点F,连接OA,OC,OA交BC于点E,过点C作CD∥AO,交BA的延长线于点D,∠COF=45°.
(1)求证:DC是☉O的切线;
(2)如果BC·CE=8,求☉O的半径.
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,AD是☉O的直径,AD,BC的延长线交于点E,P是CB延长线上一点,连接AP,且∠BAP+∠DCE=90°.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)连接AC,sin∠BAC=,BC=2,则AD的长为　　　　.
类型二　切线的判定之连半径证垂直
3.如图,AC是平行四边形ABCD的对角线,∠BAD+∠ACB=90°.O是BC的垂直平分线与AC的交点,以点O为圆心,OC长为半径作☉O.求证:AB为☉O的切线.
4.【教材变式·P10B组T1】如图,AC与☉O相切于点C,AB经过☉O上的点D,BC交☉O于点E,DE∥OA,CE是☉O的直径.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若BD=8,CE=12,求AC的长.
5.(2023河北石家庄四十二中一模)如图,在半径为10 cm的☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上一点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6 cm.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)求AD的长.
6.(2023湖北十堰中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且点E是弧DF的中点.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若CE=,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
类型三　切线的判定之作垂直证半径
7.如图,O为菱形ABCD对角线上一点,☉O与BC相切于点M.求证:CD与☉O相切.
8.(2023河北石家庄裕华质检)如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,O为底边BC的中点,AB切☉O于点D,连接OD,☉O交BC于点M,N.
(1)求证:AC是☉O的切线.
(2)已知∠B=42°,
①若OD=4,求劣弧DM的长;
②如图2,连接DM,若DM=4,直接写出OD的长.
(参考数据:sin 24°取0.4,cos 24°取0.9,tan 24°取0.4)
　
答案全解全析
1.解析　(1)证明:∵∠COF=45°,OA=OC,OF⊥AC,
∴∠AOC=2∠COF=90°,∴∠OAC=×(180°-90°)=45°,∵CD∥AO,∴∠OCD=180°-∠AOC=90°,即CD⊥OC,∵OC是☉O的半径,∴DC是☉O的切线.
(2)由(1)可知∠AOC=90°,∠OAC=45°,∴∠ABC=∠AOC=45°,∴∠ABC=∠OAC,
∵∠BCA=∠ACE,∴△ABC∽△EAC,
∴=,即AC2=BC·CE,∵BC·CE=8,∴AC2=8,
由勾股定理得2OC2=AC2=8,解得OC=2(负值舍去),∴☉O的半径为2.
2.解析　(1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BAD+∠BCD=180°,又∵∠BCD+∠DCE=180°,∴∠BAD=∠DCE,∵∠BAP+∠DCE=90°,∴∠BAP+∠BAD=90°,∴∠PAD=90°,∴PA⊥AD,∵AD是☉O的直径,∴PA是☉O的切线.
(2)延长DC交AB的延长线于点F,如图,
∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠ACF=180°-∠ACD=90°,∴△ACF是直角三角形,∴sin∠BAC==,
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BAD+∠BCD=180°,又∵∠BCD+∠BCF=180°,∴∠FCB=∠FAD,又∵∠F=∠F,∴△FCB∽△FAD,∴=,∴==,∴AD=6.
3.证明　连接BO,并延长BO交CD于E,如图,
∵O在BC垂直平分线上,∴OB=OC,∴OB是☉O的半径,∠ACB=∠CBE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠BAC=∠DCA,∠DAC=∠BCA,∠ABE=∠BEC,∵∠BAD+∠ACB=90°,∴∠BAC+∠DAC+∠ACB=90°,∴∠DCA+∠BCA+∠CBE=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∴∠BEC=180°-(∠BCE+∠CBE)=90°,∴∠ABE=90°,∴OB⊥AB,又∵OB是☉O的半径,∴AB为☉O的切线.
4.解析　(1)证明:连接OD.∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE,∵DE∥OA,∴∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD,∴∠AOC=∠AOD.在△AOD和△AOC中,
∴△AOD≌△AOC(SAS),
∴∠ADO=∠ACO.∵AC与☉O相切于点C,
∴∠ADO=∠ACO=90°,又∵OD是☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)∵CE=12,∴OE=OD=OC=6,
在Rt△ODB中,BD=8,OD=6,BD2+OD2=BO2,
∴BO=10,∴BC=BO+OC=16.∵△AOD≌△AOC,∴AD=AC.在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,即AC2+162=(AC+8)2,解得AC=12,即AC的长为12.
5.解析　(1)证明:连接OC,如图:
∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAO,∵OA=OC,
∴∠CAO=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,
∵AD⊥DC,∴CO⊥DC,∵OC是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.
(2)∵E是BC的中点,且OA=OB,∴OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE=12 cm,∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°=∠ADC,又∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴=,即=,∴AD= cm.
6.解析　(1)证明:连接OE,OD,如图,
∵∠C=90°,AC=BC,∴∠OAD=∠B=45°,
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO=45°,
∴∠AOD=90°,∵点E是弧DF的中点,∴∠DOE=∠EOF=∠DOF=45°,
∴∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°,∴OE⊥BC,
∵OE为☉O的半径,∴BC是☉O的切线.
(2)∵OE⊥BC,∠B=45°,
∴△OEB为等腰直角三角形,
设BE=OE=x,则OB=x,∴AB=x+x,
∵AB=BC,BC=CE+BE=+x,
∴x+x=(+x),∴x=2,
∴S阴影=S△OEB-S扇形EOF=×2×2-=2-.
7.证明　如图,连接OM,过点O作ON⊥CD,垂足为N,
∵☉O与BC相切于点M,∴OM⊥BC,OM为☉O的半径,又ON⊥CD,∴∠OMC=∠ONC=90°,∵AC是菱形ABCD的对角线,∴∠ACB=∠ACD,又∵OC=OC,∴△OMC≌△ONC(AAS),
∴ON=OM,∴ON是☉O的半径,∵∠ONC=90°,∴CD与☉O相切.
8.解析　(1)证明:过点O作OE⊥AC于点E,连接OA,如图,
∵AB=AC,O为底边BC的中点,∴AO为∠BAC的平分线,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE,∵OD为☉O的半径,∴OE为☉O的半径,∴圆心O到直线AC的距离等于圆的半径,∴AC是☉O的切线.
(2)①∵AB切☉O于点D,∴∠ODB=90°,
∵∠B=42°,∴∠BOD=48°,∵OD=4,
∴劣弧DM的长为=.
②5.
详解:过点O作OF⊥DM于点F,
∵OD=OM,OF⊥DM,DM=4,∴DF=MF=DM=2,OF为∠DOM的平分线,∴∠DOF=∠BOD=24°.在Rt△ODF中,sin∠DOF=,∴OD===5.
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