第30章 二次函数素养综合检测试题（含解析）

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2024冀教版数学九年级下学期
第三十章·素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2023广东云浮一模)关于x的函数y=(a-b)x2+1是二次函数的条件是（ ）
A.a≠b　　　　B.a=b　　　　C.b=0　　　　D.a=0
2.(2023河北青龙金声木铎学校一模)将二次函数y=x2-4x-4化为y=a(x-h)2+k的形式,正确的是 (　　)
A.y=(x-2)2　　　　 B.y=(x+2)2-8 C.y=(x+2)2　 　　　D.y=(x-2)2-8
3.【新独家原创】如图,用80米长的篱笆围成一个一边靠墙、中间用篱笆隔开的矩形养羊场,如果中间有4道篱笆,设矩形垂直于墙的一边的长为x(米),则矩形养羊场的面积y(平方米)与x(米)之间的函数关系式是 (　　)
A.y=x×　　 　　B.y=x× C.y=x×(80-4x)　　　　D.y=x×(80-6x)
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的图像如图所示,则方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是 (　　)
A.m≥-4　　　　 B.m≥0　　　　
C.m≥5　　　　 D.m≥6
5.(2023河北石家庄桥西质检)已知A=x2+6x+n2,B=2x2+4x+n2,下列结论正确的是 (　　)
A.B-A的最大值是0
B.B-A的最小值是-1
C.当B=2A时,x为正数
D.当B=2A时,x为负数
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(1,0),则下列说法中不正确的是 (　　)
A.a<0,c<0
B.4a+b=0
C.方程ax2+bx+c=0的实数根为x1=1,x2=3
D.不等式ax2+bx+c<0的解集为17.(2023河北石家庄长安质检)如图,△ABC中,AC=BC,
∠ACB=90°,AB=2.动点P沿AB从点A向点B移动,过点P作AB的垂线,交折线ACB于点Q.记AP=x,△APQ的面积为y,则y关于x的函数图像大致是 (　　)
A　　　　B　　　　
C　　　　D
(2023河北承德一模)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,则下列结论:①abc>0;②当x>1时,y随x的增大而增大;③方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根;④4a+2b≤am2+bm(m为任意实数),其中正确的个数为 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
二、填空题(每小题4分,共32分)
9.【开放型试题】(2023上海中考)一个二次函数y=ax2+bx+c图像的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是　　　　　　.
10.【新独家原创】已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1,点M(-1,y1),N(2,y2)都在该抛物线上,那么y1　　　　y2(填“>”“<”或“=”).
11.【跨学科·体育与健康】(2023福建福州一模)某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,如果不考虑空气阻力,足球飞行的高度h(单位:m)与足球飞行的时间t(单位:s)之间具有二次函数关系,其部分图像如图所示,则足球从踢出到落地所需的时间是　　　　s.
12.抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1,若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t=0(t为实数)在-213.(2023江苏连云港中考)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x、y为实数),则W的最小值为　　　　.
14.(2023浙江温州校考二模)某游乐园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池,计划在喷水池的周边安装一圈喷水头,使喷出的水柱距池中心4 m处(水平距离)达到最高,高度为6 m.以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系如图,在喷水池中心的正上方设计挡板(AB,AC),使各方向喷出的水柱擦挡板后,汇合于喷水池中心装饰物M处,挡板AB所在直线的表达式为y=x+n,则抛物线l的表达式为　　　　　　,n的值为　　　　.
15.(2023山东临沂中考)小明利用学习函数获得的经验研究函数y=x2+的性质,得到如下结论:
①当x<-1时,x越小,函数值越小;
②当-1③当0④当x>1时,x越大,函数值越大.
其中正确的是　　　　(只填写序号).
16.【新考法】(2023广东广州一模)如图,点D为等边三角形ABC的边BC上一动点,AB=4,连接AD,以AD为边作正方形ADEF,连接CE、CF,则当BD=　　　　时,△CEF的面积最小,为　　　　.
三、解答题(共36分)
17.(2023上海奉贤一模)(6分)已知抛物线y=-x2+2x+3,将这条抛物线向左平移3个单位,再向下平移2个单位.
(1)求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴,并说明它的变化情况;
(2)在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线.
18. 【中华优秀传统文化】(2023福建龙岩统考一模)(10分)红灯笼,象征着阖家团圆,红红火火.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼,用3 120元购进甲种红灯笼与用4 200元购进乙种红灯笼的数量相同,已知乙种红灯笼每对进价比甲种红灯笼每对进价多9元.
(1)求甲、乙两种红灯笼每对的进价.
(2)经市场调查发现,乙种红灯笼每对售价为50元时,每天可售出98对,售价(每对)每提高1元,则每天少售出2对.物价部门规定其售价不高于每对65元,设乙种红灯笼每对涨价x元,小明一天通过售卖乙种红灯笼获得利润y元.
①填空:y与x之间的函数关系式是　　　　　　　　.
②乙种红灯笼的销售为多少元/对时,一天获得的利润最大 最大利润是多少元
19.(2023河北石家庄四十二中一模)(10分)如图,抛物线y=-x2+x+4与坐标轴分别交于A,B,C三点,P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m.
(1)A,B,C三点的坐标为　　　　,　　　　,　　　　;
(2)连接AP,交线段BC于点D,
①当CP与x轴平行时,求的值;
②当CP与x轴不平行时,求的最大值;
(3)连接CP,是否存在点P,使得∠BCO+2∠PCB=90° 若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
20.【跨学科·体育与健康】(2023河北石家庄四十四中模拟)(10分)甲、乙两人打乒乓球,让乒乓球沿着球台的中轴线运动,如图所示的是从侧面看乒乓球台得到的视图,MN为球台,EF为球网,点E为MN中点,MN=28 dm,EF=1.5 dm,甲从M正上方的A处击中球完成发球,球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处,从C处再次弹起到P,乙接球.以MN所在直线为x轴,M为原点建立平面直角坐标系,x(dm)表示球与M的水平距离,y(dm)表示球到球台的高度,将乒乓球看成点,两次弹起的路径均为抛物线的一部分,BC段抛物线的解析式为y1=-(x-t)(x-t-12).设CP段抛物线的解析式为y2=-(x-h)2+k.
(1)点F的坐标为　　　　;点C的坐标为　　　　(用含t的式子表示);
(2)若球在球网EF正上方时到达最高点,
①求此时球与F的距离;
②要使球从C弹起后落在N或N的右侧,求k的最小值;
(3)若球第二次的落点C在球网右侧5 dm处,球再次弹起时离桌面最高1.25 dm,乙的球拍在N处正上方的线段GH上,GH=1.5 dm,HN=0.8 dm,将球拍向前(即x轴负方向)水平推出n dm接球,恰好接住了球,直接写出n的取值范围.
答案全解全析
1.A　∵y=(a-b)x2+1是二次函数,∴a-b≠0,
解得a≠b,故选A.
2.D　y=x2-4x-4=x2-4x+4-8=(x-2)2-8,故选D.
3.D　∵矩形一边长为x米,∴其邻边长为(80-6x)米,
∴矩形养羊场的面积y=x×(80-6x).故选D.
4.A　∵抛物线的顶点坐标为(6,-4),开口向上,
∴二次函数有最小值,为-4,
∴当m≥-4时,直线y=m与二次函数y=ax2+bx+c的图像有公共点,∴方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是m≥-4.故选A.
5.B　∵A=x2+6x+n2,B=2x2+4x+n2,
∴B-A=2x2+4x+n2-(x2+6x+n2)
=x2-2x=(x-1)2-1,
∴当x=1时,B-A取得最小值-1;
当B=2A时,2x2+4x+n2=2(x2+6x+n2),
∴-8x=n2≥0,∴x≤0,即x是非正数.故选B.
6.D　观察题中图像,可知抛物线开口向下,与y轴交于负半轴,∴a<0,c<0,故A说法正确,不符合题意;
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,
∴-=2,∴4a+b=0,故B说法正确,不符合题意;
设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为(m,0),∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(1,0),∴2-1=m-2,解得m=3,
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的实数根为x1=1,x2=3,故C说法正确,不符合题意;
由题图及C选项可知,当x<1或x>3时,二次函数的图像位于x轴的下方,∴不等式ax2+bx+c<0的解集为x<1或x>3,故D说法不正确,符合题意.故选D.
7.B　如图,取AB的中点D,连接CD,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°,
当P在线段AD上时,由∠A=45°,∠APQ=90°知AP=QP=x,
∴y=PQ·AP=x2,函数图像是开口向上的抛物线,排除A,C选项.
当P在线段DB上时,AP=x,BP=2-x,由∠B=45°,∠BPQ=90°可知PQ=BP=2-x,
∴y=AP·PQ=x(2-x)=-x2+x,函数图像是开口向下的抛物线,只有B选项符合,故选B.
8.B　①∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),∴对称轴为直线x==2,∴->0,∴b<0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,故①不正确;
②∵抛物线对称轴为直线x=2,开口向上,
∴x>2时,y随x的增大而增大,故②不正确;
③由题图可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1有2个交点,∴方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根,故③正确;
④∵对称轴为直线x=2,开口向上,∴当x=2时,y取得最小值,为4a+2b+c,∴4a+2b+c≤am2+bm+c,即4a+2b≤am2+bm(m为任意实数),故④正确.
正确结论有2个,故选B.
9.y=-x2+1(答案不唯一)
解析　∵二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴左侧部分是上升的,∴抛物线开口向下,即a<0,
∵二次函数y=ax2+bx+c图像的顶点在y轴正半轴上,∴b=0,c>0,
∴二次函数的解析式可以是y=-x2+1(答案不唯一).
10.<
解析　抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1,
∵-1<1<2,∴点M,N在抛物线对称轴的两侧,∵-1<0,∴抛物线开口向下,又∵1-(-1)>2-1,
∴点M离对称轴较远,∴y111.1.6
解析　根据函数的图像可得抛物线的对称轴为直线x==0.8,
因为抛物线与x轴的一个交点的横坐标为0,
所以抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为0.8×2=1.6,所以足球从踢出到落地所需的时间是1.6 s,故答案为1.6.
12.-12解析　∵抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1,∴-=-1,解得b=-2,
∴y=-x2-2x+3,
一元二次方程-x2+bx+3-t=0的实数根是函数y=-x2-2x+3与y=t的图像的交点的横坐标.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,且a=-1<0,
∴当x=-1时,y取得最大值,为4,
又∵当x=-2时,y=-x2-2x+3=3;当x=3时,y=-x2-2x+3=-12,
∴当-2∵方程在-2∴t的取值范围是-1213.-2
解析　W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3
=4x2-4xy+y2+4x-2y+1+x2+4x+4-2
=(2x-y)2+2(2x-y)+1+(x+2)2-2
=(2x-y+1)2+(x+2)2-2,
∵x、y为实数,∴(2x-y+1)2≥0,(x+2)2≥0,
∴W的最小值为-2,故答案为-2.
14.y=-x2+x+;
解析　设抛物线l的解析式为y=a(x-4)2+6,根据题意,得点(10,0)在抛物线上,
∴a(10-4)2+6=0,解得a=-,
∴抛物线l的解析式为y=-(x-4)2+6=-x2+x+,与直线y=x+n联立,得方程x+n=-x2+x+,整理,得-x2+x+-n=0,
∵直线y=x+n与抛物线l:y=-x2+x+有唯一公共点,∴Δ=-4××=0,解得n=.故答案为y=-x2+x+;.
15.②③④
解析　选取部分x值,列表如下,
x … -2.5 -2 -1 -0.5 0.5 1 2 …
y … 5.45 3 -1 -3.75 4.25 3 5 …
描点、连线,函数图像大致如下,
根据图像知:
当x<-1时,x越小,函数值越大,结论①错误;当-11时,x越大,函数值越大,结论④正确.故答案为②③④.
16.2-;-2
解析　本题结合勾股定理、正方形的性质和二次函数求三角形面积的最值.
如图,过点A作AH⊥BC,垂足为点H,
∵△ABC是等边三角形,AB=4,
∴BH=HC=BC=AB=2,AH=AB·sin 60°=4×=2,
设BD=x,则DH=2-x,CD=4-x,
S正方形ADEF=AD2=DH2+AH2=(2-x)2+(2)2=x2-4x+16,
S△ACD=CD·AH=×(4-x)×2=4-x,
在正方形ADEF中,AD=DE=EF=AF,过点C作NM⊥AF于点M,交DE于点N,
∵AF∥DE,MN⊥AF,∴MN⊥DE,
∴四边形ADNM为矩形,∴MN=AD=DE=EF=AF,
∴S△ACF+S△DCE=AF·MC+DE·CN=DE×(MC+CN)=DE×MN=DE2=S正方形ADEF,
∴S△ADC+S△EFC=S正方形ADEF,
∴S△CEF=S正方形ADEF-S△ACD=(x2-4x+16)-(4-x)=x2-(2-)x+8-4,
当x=2-时,S△CEF最小,为(2-)2-(2-)2+8-4=-2.
故答案为2-;-2.
17.解析　(1)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
将这条抛物线向左平移3个单位,再向下平移2个单位,新抛物线对应的函数关系式为y=-(x+2)2+2,
所以新抛物线的开口向下,顶点坐标为(-2,2),对称轴为直线x=-2.当x<-2时,y随x的增大而增大,当x>-2时,y随x的增大而减小.
(2)列表如下,
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -2 1 2 1 -2 …
描点、连线,函数图像如图所示.
18.解析　(1)设甲种红灯笼的进价为x元/对,则乙种红灯笼的进价为(x+9)元/对,
由题意得=,解得x=26,
经检验,x=26是原方程的解,且符合题意,
∴x+9=26+9=35.
答:甲种红灯笼的进价为26元/对,乙种红灯笼的进价为35元/对.
(2)①y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1 470,故答案为y=-2x2+68x+1 470.
②∵a=-2<0,∴函数y有最大值,
该二次函数图像的对称轴为直线x=-=17,
∵物价部门规定其售价不高于每对65元,
∴x+50≤65,∴x≤15,
∵x<17时,y随x的增大而增大,
∴当x=15时,y取得最大值,为-2×152+68×15+1 470=2 040.
x+50=15+50=65.
答:乙种红灯笼的售价为65元/对时,一天获得的利润最大,最大利润是2 040元.
19.解析　(1)令x=0,则y=4,∴C(0,4).
令y=0,则-x2+x+4=0,
∴x=-2或x=3,∴A(-2,0),B(3,0).
故答案为(-2,0);(3,0);(0,4).
(2)①∵CP∥x轴,C(0,4),点C,P在抛物线上,
∴-m2+m+4=4,解得m=0(舍)或1,
∴P(1,4),∴CP=1.易知AB=3+2=5,
∵CP∥x轴,∴△PCD∽△ABD,∴==.
②如图,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,
易得直线BC的解析式为y=-x+4.
∵点P的横坐标为m,
∴Pm,-m2+m+4,Qm2-m,-m2+m+4,
∴PQ=m-=-m2+m,
∵PQ∥AB,∴△PQD∽△ABD,
∴===-+,
∴当m=时,的值最大,为.
(3)假设存在点P,使得∠BCO+2∠PCB=90°,
已知0如图,延长CP交x轴于点M,过点C作CF∥x轴,交抛物线于点F,
∵∠BCO+2∠PCB=90°,∠BCO+∠BCM+∠MCF=90°,∴∠MCF=∠BCP,
∵CF∥x轴,∴∠PCF=∠BMC,
∴∠BCP=∠BMC,∴△CBM为等腰三角形,BC=BM,
∵BC==5,∴BM=5,∴OM=3+5=8,
∴M(8,0),易得直线CM的解析式为y=-x+4,
令-x2+x+4=-x+4,解得x=或x=0(舍),
∴存在点P满足题意,此时m=.
20.解析　(1)根据平面直角坐标系和已知条件,可知ME=MN=14 dm,故F(14,1.5).
∵BC段抛物线的解析式为y1=-(x-t)(x-t-12),且B,C为x轴上的点,
∴令y1=0,则-(x-t)(x-t-12)=0,
解得x1=t+12,x2=t,故B(t,0),C(t+12,0).
(2)①当球在球网EF正上方到达最高点时,EF所在的直线为BC段抛物线的对称轴,
∴=14,∴t=8,
∴BC段抛物线的解析式为y1=-(x-8)(x-20),
令x=14,得y1=-×(14-8)×(14-20)=,
-1.5=,故当球在球网EF正上方到达最高点时,在最高点球与F的距离是 dm.
②由①可得t=8,故B(8,0),C(20,0),
∴CN=MN-MC=28-20=8.
当球从C弹起后落在N点时,将N(28,0),C(20,0)的坐标代入CP段抛物线的解析式,
得解得
故当球从C弹起后落在N点时,CP段抛物线的解析式为y2=-(x-24)2+,
所以要使球从C弹起后落在N或N的右侧,k的最小值为.
(3)根据题意可知CE=5,k=1.25,
∴C(19,0),y2=-(x-h)2+,
将(19,0)代入y2=-(x-h)2+,得0=-(19-h)2+,解得h1=24,h2=14(不符合题意,舍去),
故CP段抛物线的解析式为y2=-(x-24)2+.
当P与从H点水平推进后的点重合时,设P(28-n,0.8),
将P(28-n,0.8)的坐标代入y2=-(x-24)2+,
得0.8=-(28-n-24)2+,解得n1=7,n2=1,
G的纵坐标为2.3,大于CP段抛物线的最高点的纵坐标,
结合二次函数的图像,知当1≤n≤7时,能够接住球.
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