30.1 二次函数课时练（含解析）
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2024冀教版数学九年级下学期
第三十章 二次函数
30.1 二次函数
基础过关全练
知识点1 二次函数的相关概念
1.(2023上海金山一模)下列y关于x的函数中,属于二次函数的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=
C.y=3x2+1 D.y=
2.【教材变式·P27练习T1】已知二次函数y=2 024-x2,其中二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数c= .
知识点2 由二次函数定义求参数的值
3.【一题多变·二次项系数不为0】函数y=(a2-b2)x2+ax+b是二次函数的条件是 ( )
A.a,b是常数,且a≠0
B.a,b是常数,且a≠±b
C.a,b是常数,且b≠0
D.a,b可以是任意常数
[变式1·增加二次项指数为2]已知函数y=(m+3)·,当m为何值时,y是x的二次函数
[变式2·增加解方程的难度]已知函数y=(m2+m).
(1)当函数是二次函数时,求m的值;
(2)当函数是一次函数时,求m的值.
知识点3 建立二次函数模型
4.(2023北京广渠门中学一模)用绳子围成周长为10 m的矩形,记矩形的一边长为x m,它的邻边长为y m,矩形的面积为S m2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则S与x满足的函数关系是 ( )
A.一次函数关系 B.反比例函数关系
C.正比例函数关系 D.二次函数关系
5.【新独家原创】某年5月榴莲价格经历了一轮疯涨,江南市场榴莲批发价突破了每箱千元大关.某水果超市购进一批榴莲,每千克进价是45元,超市规定每千克售价不得少于50元.根据以往销售经验发现:当售价定为每千克55元时,每天可以卖出100千克,每千克售价每降低1元,每天可以多卖出15千克.试求出每天榴莲的销售利润y(元)与每千克售价x(元)(x≤55)之间的函数关系式.
能力提升全练
6.(2022北京门头沟二模,8,★☆☆)如图,用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙(墙长不限)的矩形花园,设该矩形花园平行于墙的一边长为x m,其邻边的长为y m,花园的面积为S m2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,那么y与x,S与x满足的函数关系分别是 ( )
A.一次函数关系,二次函数关系
B.反比例函数关系,二次函数关系
C.一次函数关系,反比例函数关系
D.反比例函数关系,一次函数关系
7.(2023河北石家庄四十七中质检,13,★★☆)某农户要改造部分农田种植蔬菜,经调查,平均每块标准农田的改造费用是900元,添加辅助设备费用(元)与改造标准农田的块数的平方成正比,比例系数为18,每块标准农田种植蔬菜还需种子、人工费用600元.若每块标准农田的蔬菜年销售额为7 000元,设改造x块标准农田,改造当年收益为y元,则y与x之间的数量关系可列式为 ( )
A.y=7 000x-(900x+18x+600x)
B.y=7 000x-(900x+18x2+600x)
C.y=7 000-(900x+18x2+600x)
D.y=7 000x-(900x+18x2+600)
8.(2023湖北随州中考节选,22(1)(2),★☆☆)为了振兴乡村经济,增加村民收入,某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品,在试销售的30天中,第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式为p=(且x为整数),销量q(千克)与x的函数关系式为q=x+10.已知第5天售价为50元/千克,第10天售价为40元/千克,设第x天的销售额为W元.
(1)m= ,n= ;
(2)求第x天的销售额W与x之间的函数关系式.
9.【社会主义先进文化】(2021湖北武汉中考节选,22(1)(2),★★☆)在“乡村振兴”行动中,某村办企业以A,B两种农作物为原料开发了一种有机产品,A原料的单价是B原料单价的1.5倍,若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg.生产该产品每盒需要A原料2 kg和B原料4 kg,每盒还需其他成本9元.市场调查发现:该产品每盒的售价是60元时,每天可以销售500盒;每涨价1元,每天少销售10盒.
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本);
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数),每天的利润是w元,求w关于x的函数解析式.(不需要写出自变量的取值范围)
素养探究全练
10.【模型观念】(2020河北中考)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,试验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.
(1)求W与x的函数关系式;
(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.
①求Q与x的函数关系式;
②x为何值时,Q是W薄的3倍
[注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]
答案全解全析
基础过关全练
1.C y=2x+1是一次函数,A选项不符合题意;
y=是反比例函数,B选项不符合题意;
y=3x2+1中x的指数是2,且3x2+1是整式,y=3x2+1是二次函数,∴C选项符合题意;
y=中,x2+1在根号下,故不是二次函数,D选项不符合题意.故选C.
-1; 0 ; 2 024
解析 y=2 024-x2=-x2+2 024,可得a=-1,b=0,c=2 024.
3.B 由二次项系数不为0,得a2-b2≠0,即a≠±b.
[变式1] 解析 依题意,得
解得m=1.故当m=1时,y是x的二次函数.
[变式2] 解析 (1)依题意,得m2-2m+2=2,解得m=2或m=0.又因为m2+m≠0,所以m≠0且m≠-1,因此m=2.
(2)依题意,得m2-2m+2=1,解得m=1.又因为m2+m≠0,所以m≠0且m≠-1,因此m=1.
4.D 由题意可得2x+2y=10,S=xy,
整理,得y=5-x,S=x(5-x)=-x2+5x,
∴S与x是二次函数关系,故选D.
5.解析 每天的销售量=100+15(55-x)=(925-15x)千克,根据利润=每千克榴莲所获得的利润×销售量,可得y=(x-45)(925-15x)=-15x2+1 600x-41 625(50≤x≤55).
能力提升全练
6.A 由题意可知x+2y=18,∴y=9-x,y与x满足一次函数关系;
花园面积S=xy=x·=-x2+9x,S与x满足二次函数关系.故选A.
7.B 改造x块标准农田,改造费用、添加辅助设备费用、种子和人工费用的和为(900x+18x2+600x)元,总销售额为7 000x元,
∴y=7 000x-(900x+18x2+600x).故选B.
8.解析 (1)∵第5天售价为50元/千克,第10天售价为40元/千克,
∴解得
故答案为-2;60.
(2)由题意得,当1≤x<20时,
W=pq=(-2x+60)(x+10)=-2x2+40x+600,
当20≤x≤30时,W=pq=30(x+10)=30x+300,
故W=
9.解析 (1)设B原料单价为m元,则A原料单价为1.5m元,根据题意,得-=100,解得m=3,
∴1.5m=4.5,∴4.5×2+3×4+9=30(元).
答:每盒产品的成本为30元.
(2)根据题意,得w=(x-30)[500-10(x-60)]=-10x2+1 400x-33 000,∴w关于x的函数解析式为w=-10x2+1 400x-33 000.
素养探究全练
10.解析 (1)设W=kx2(k≠0),∵x=3时,W=3,∴3=9k,∴k=,∴W与x的函数关系式为W=x2.
(2)①∵薄板的厚度为x cm,原木板的厚度为6 cm,
∴厚板的厚度为(6-x)cm,∴Q=×(6-x)2-x2=-4x+12,∴Q与x的函数关系式为Q=-4x+12.
②∵Q是W薄的3倍,∴-4x+12=3×x2,
解得x1=2,x2=-6(不符合题意,舍去),
∴x=2时,Q是W薄的3倍.
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第三十章 二次函数
30.1 二次函数
基础过关全练
知识点1 二次函数的相关概念
1.(2023上海金山一模)下列y关于x的函数中,属于二次函数的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=
C.y=3x2+1 D.y=
2.【教材变式·P27练习T1】已知二次函数y=2 024-x2,其中二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数c= .
知识点2 由二次函数定义求参数的值
3.【一题多变·二次项系数不为0】函数y=(a2-b2)x2+ax+b是二次函数的条件是 ( )
A.a,b是常数,且a≠0
B.a,b是常数,且a≠±b
C.a,b是常数,且b≠0
D.a,b可以是任意常数
[变式1·增加二次项指数为2]已知函数y=(m+3)·,当m为何值时,y是x的二次函数
[变式2·增加解方程的难度]已知函数y=(m2+m).
(1)当函数是二次函数时,求m的值;
(2)当函数是一次函数时,求m的值.
知识点3 建立二次函数模型
4.(2023北京广渠门中学一模)用绳子围成周长为10 m的矩形,记矩形的一边长为x m,它的邻边长为y m,矩形的面积为S m2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则S与x满足的函数关系是 ( )
A.一次函数关系 B.反比例函数关系
C.正比例函数关系 D.二次函数关系
5.【新独家原创】某年5月榴莲价格经历了一轮疯涨,江南市场榴莲批发价突破了每箱千元大关.某水果超市购进一批榴莲,每千克进价是45元,超市规定每千克售价不得少于50元.根据以往销售经验发现:当售价定为每千克55元时,每天可以卖出100千克,每千克售价每降低1元,每天可以多卖出15千克.试求出每天榴莲的销售利润y(元)与每千克售价x(元)(x≤55)之间的函数关系式.
能力提升全练
6.(2022北京门头沟二模,8,★☆☆)如图,用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙(墙长不限)的矩形花园,设该矩形花园平行于墙的一边长为x m,其邻边的长为y m,花园的面积为S m2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,那么y与x,S与x满足的函数关系分别是 ( )
A.一次函数关系,二次函数关系
B.反比例函数关系,二次函数关系
C.一次函数关系,反比例函数关系
D.反比例函数关系,一次函数关系
7.(2023河北石家庄四十七中质检,13,★★☆)某农户要改造部分农田种植蔬菜,经调查,平均每块标准农田的改造费用是900元,添加辅助设备费用(元)与改造标准农田的块数的平方成正比,比例系数为18,每块标准农田种植蔬菜还需种子、人工费用600元.若每块标准农田的蔬菜年销售额为7 000元,设改造x块标准农田,改造当年收益为y元,则y与x之间的数量关系可列式为 ( )
A.y=7 000x-(900x+18x+600x)
B.y=7 000x-(900x+18x2+600x)
C.y=7 000-(900x+18x2+600x)
D.y=7 000x-(900x+18x2+600)
8.(2023湖北随州中考节选,22(1)(2),★☆☆)为了振兴乡村经济,增加村民收入,某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品,在试销售的30天中,第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式为p=(且x为整数),销量q(千克)与x的函数关系式为q=x+10.已知第5天售价为50元/千克,第10天售价为40元/千克,设第x天的销售额为W元.
(1)m= ,n= ;
(2)求第x天的销售额W与x之间的函数关系式.
9.【社会主义先进文化】(2021湖北武汉中考节选,22(1)(2),★★☆)在“乡村振兴”行动中,某村办企业以A,B两种农作物为原料开发了一种有机产品,A原料的单价是B原料单价的1.5倍,若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg.生产该产品每盒需要A原料2 kg和B原料4 kg,每盒还需其他成本9元.市场调查发现:该产品每盒的售价是60元时,每天可以销售500盒;每涨价1元,每天少销售10盒.
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本);
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数),每天的利润是w元,求w关于x的函数解析式.(不需要写出自变量的取值范围)
素养探究全练
10.【模型观念】(2020河北中考)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,试验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.
(1)求W与x的函数关系式;
(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.
①求Q与x的函数关系式;
②x为何值时,Q是W薄的3倍
[注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]
答案全解全析
基础过关全练
1.C y=2x+1是一次函数,A选项不符合题意;
y=是反比例函数,B选项不符合题意;
y=3x2+1中x的指数是2,且3x2+1是整式,y=3x2+1是二次函数,∴C选项符合题意;
y=中,x2+1在根号下,故不是二次函数,D选项不符合题意.故选C.
-1; 0 ; 2 024
解析 y=2 024-x2=-x2+2 024,可得a=-1,b=0,c=2 024.
3.B 由二次项系数不为0,得a2-b2≠0,即a≠±b.
[变式1] 解析 依题意,得
解得m=1.故当m=1时,y是x的二次函数.
[变式2] 解析 (1)依题意,得m2-2m+2=2,解得m=2或m=0.又因为m2+m≠0,所以m≠0且m≠-1,因此m=2.
(2)依题意,得m2-2m+2=1,解得m=1.又因为m2+m≠0,所以m≠0且m≠-1,因此m=1.
4.D 由题意可得2x+2y=10,S=xy,
整理,得y=5-x,S=x(5-x)=-x2+5x,
∴S与x是二次函数关系,故选D.
5.解析 每天的销售量=100+15(55-x)=(925-15x)千克,根据利润=每千克榴莲所获得的利润×销售量,可得y=(x-45)(925-15x)=-15x2+1 600x-41 625(50≤x≤55).
能力提升全练
6.A 由题意可知x+2y=18,∴y=9-x,y与x满足一次函数关系;
花园面积S=xy=x·=-x2+9x,S与x满足二次函数关系.故选A.
7.B 改造x块标准农田,改造费用、添加辅助设备费用、种子和人工费用的和为(900x+18x2+600x)元,总销售额为7 000x元,
∴y=7 000x-(900x+18x2+600x).故选B.
8.解析 (1)∵第5天售价为50元/千克,第10天售价为40元/千克,
∴解得
故答案为-2;60.
(2)由题意得,当1≤x<20时,
W=pq=(-2x+60)(x+10)=-2x2+40x+600,
当20≤x≤30时,W=pq=30(x+10)=30x+300,
故W=
9.解析 (1)设B原料单价为m元,则A原料单价为1.5m元,根据题意,得-=100,解得m=3,
∴1.5m=4.5,∴4.5×2+3×4+9=30(元).
答:每盒产品的成本为30元.
(2)根据题意,得w=(x-30)[500-10(x-60)]=-10x2+1 400x-33 000,∴w关于x的函数解析式为w=-10x2+1 400x-33 000.
素养探究全练
10.解析 (1)设W=kx2(k≠0),∵x=3时,W=3,∴3=9k,∴k=,∴W与x的函数关系式为W=x2.
(2)①∵薄板的厚度为x cm,原木板的厚度为6 cm,
∴厚板的厚度为(6-x)cm,∴Q=×(6-x)2-x2=-4x+12,∴Q与x的函数关系式为Q=-4x+12.
②∵Q是W薄的3倍,∴-4x+12=3×x2,
解得x1=2,x2=-6(不符合题意,舍去),
∴x=2时,Q是W薄的3倍.
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