30.2 二次函数的图像和性质课时练（含解析）

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2024冀教版数学九年级下学期
第三十章　二次函数
30.2　二次函数的图像和性质
基础过关全练
知识点1　二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质
1.【一题多变】如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出①y=3x2;②y=x2;③y=x2的图像,则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　　　　.(填序号)
[变式1·变开口方向]已知两个二次函数的图像如图所示,那么a1　　　　a2.(填“>”“=”或“<”)
[变式2·同时考查开口方向、大小]已知四个二次函数的图像如图所示,那么a1,a2,a3,a4的大小关系是　　　　　　　　　.(请用“>”连接)
2.想象函数y=3x2的图像,并填空:(M9230002)
(1)图像的开口向　　　　,顶点坐标是　　　　;
(2)图像的对称轴是　　　　,对称轴与函数图像的交点坐标是　　　　;
(3)当x<0时,y随x的增大而　　　　,当x>0时,y随x的增大而　　　　.
知识点2　二次函数y=a(x-h)2+k(a、h、k是常数,且a≠0)的图像与性质
3.对于抛物线y=2(x+3)2+1,下列说法错误的是 (　　)
A.开口向上
B.对称轴是直线x=-3
C.当x>-3时,y随x的增大而减小
D.当x=-3时,函数取得最小值1
4.【教材变式·P35B组T1】(2023河北石家庄四十二中模拟)把抛物线y=-x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,得到新的抛物线为
(　　)
A.y=-(x-2)2-3　　　　 B.y=-(x+2)2+3
C.y=-(x+2)2-3　　　 　D.y=-(x-2)2+3
5.抛物线y=-(x-4)2+10上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>4,则y1 　　　y2.
6.【一题多解】【新独家原创】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=(x-h)2+k经过点A(-1,4),B(5,4),且y最小值=-5.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点,如果点D的横坐标为-2,试求点E的坐标.
知识点3　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质
7.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图像可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
8.(2023北京清华附中一模)在平面直角坐标系xOy中,已知点(n-2,y1),(n-1,y2),(n+1,y3)在抛物线y=ax2-2ax-2(a<0)上,若09.【配方法】如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD长度的最小值为　　　　.
10.【数形结合思想】如图,抛物线y=ax2-2ax+3(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线,交抛物线于点M,P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则线段PB的长为　　　　.
11.【分类讨论思想】已知二次函数y=-x2+bx+c(b,c是常数).
(1)当b=2,c=3时,求该函数图像的顶点坐标;
(2)设该二次函数图像的顶点坐标是(m,n),当该函数图像经过点(1,-3)时,求n关于m的函数解析式;
(3)已知b=2c+1,当0≤x≤2时,该函数有最大值8,求c的值.
知识点4　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b、c的作用
12.(2023贵州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则点P(a,b)所在的象限是 (　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
13.(2023湖南株洲中考)如图所示,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴,则下列说法正确的是 (　　)
A.b恒大于0　　　　B.a,b同号
C.a,b异号　　　　 D.以上说法都不对
14.(2022四川成都中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(-1,0),B两点,对称轴是直线x=1,下列说法正确的是 (　　)
A.a>0
B.当x>-1时,y的值随x值的增大而增大
C.点B的坐标为(4,0)
D.4a+2b+c>0
能力提升全练
15.(2023河北石家庄四十七中质检,8,★☆☆)下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值:
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … 4 0 -2 -2 0 a …
其中,a的值为 (　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1
16.(2023四川成都中考,8,★☆☆)如图,二次函数y=ax2+x-6的图像与x轴交于A(-3,0),B两点,下列说法正确的是 (　　)
A.抛物线的对称轴为直线x=1
B.抛物线的顶点坐标为
C.A,B两点之间的距离为5
D.当x<-1时,y的值随x值的增大而增大
17.(2023浙江杭州中考,8,★☆☆)设二次函y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k是实数),则 (　　)
A.当k=2时,函数y的最小值为-a
B.当k=2时,函数y的最小值为-2a
C.当k=4时,函数y的最小值为-a
D.当k=4时,函数y的最小值为-2a
18.(2023河北石家庄新华质检,14,★★☆)二次函数y=x2-2x+n+1的图像经过点A(m-1,y1)和B(m,y2).当y1A.m<1　　　　B.m>　　　　C.m>2　　　　D.19.(2023四川凉山州中考,12,★★☆)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示,则下列结论中正确的是 (　　)
A.abc<0　　　　
B.4a-2b+c<0
C.3a+c=0　　　　
D.am2+bm+a≤0(m为实数)
20.(2023湖南邵阳中考,10,★★☆)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数,a≠0)上的点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴是直线x=-2;②点(0,3)在抛物线上;③若x1>x2>-2,则y1>y2;④若y1=y2,则x1+x2=-2.其中,正确结论的个数为 (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
21.(2023四川广元中考改编,10,★★☆)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a<0)过(-1,0)和(m,0)两点,且30;②3a+c>0;③若抛物线过点(1,4),则-1A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.0个
22.(2023河北唐山路南二模,16,★★☆)如图,DE是边长为4的等边△ABC的中位线,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点A出发,沿折线AD—DE向点E运动;同时动点Q以相同的速度,从点B出发,沿BC向点C运动.当点P到达终点时,点Q同时停止运动.设运动时间为t s,B,D,P,Q四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图像是 (　　)
A　　　　B　　　　
C　　　　D
23.(2023福建中考,16,★★☆)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y1),B(n-1,y2)两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且y124.(2023内蒙古赤峰中考,18,★★★)如图,抛物线y=x2-6x+5与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点D(2,m)在抛物线上,点E在直线BC上,若∠DEB=2∠DCB,则点E的坐标是　　　　.
25.(2022河北中考,23,★☆☆)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值;
(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P',C'.平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9,求点P'移动的最短路程.
26.【跨学科·物理】(2023河北石家庄一模,25,★★☆)在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面图上,建立如图所示的平面直角坐标系.
已知点A在斜坡上,OA=5 m,从点A向右发射出的小球沿抛物线y=-x2+bx+c运动,解决下列问题.
(1)点A的坐标是　　　　;
(2)①求b,c所满足的数量关系;
②当小球恰好落到原点时,求抛物线的函数表达式;
(3)在点O右侧5 m处有一堵高为2 m的墙BC,若要小球能触碰到墙面,求b的取值范围.
素养探究全练
27. 【几何直观】(2022湖南怀化中考)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF∥AB交BC于点F.
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式;
(2)当△PEF的周长有最大值时,求点P的坐标和△PEF的周长;
(3)若点G是抛物线上的一个动点,点M是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形 若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
答案全解全析
基础过关全练
1.①③②
解析　在函数①y=3x2,②y=x2,③y=x2中,二次项系数分别为3、、1,
∵3>1>,∴抛物线②y=x2的开口最宽,抛物线①y=3x2的开口最窄.
故从里到外的三条抛物线对应的函数依次是①③②.
[变式1]　答案 >
解析　由题图可知函数y=a1x2的图像的开口大于函数y=a2x2的图像的开口,且开口向下,则a2故答案为>.
[变式2]　答案 a1>a2>a3>a4
解析　对于x轴上方的图像,开口向上,函数y=a1x2的图像的开口小于函数y=a2x2的图像的开口,则a1>a2>0.
对于x轴下方的图像,开口向下,函数y=a3x2的图像的开口大于函数y=a4x2的图像的开口,则a4故a1>a2>a3>a4.故答案为a1>a2>a3>a4.
2.(1)上;(0,0)　(2)y轴;(0,0) (3)减小;增大
解析　自变量x的取值范围是全体实数,列表如下:
x … -1 -0.5 0 0.5 1 …
y=3x2 … 3 0 3 …
描点连线,函数图像如图所示,根据图像作答即可.
3.C　A.由a=2>0得抛物线开口向上,故A正确,不符合题意;
B.由抛物线顶点式可知顶点坐标为(-3,1),对称轴为直线x=-3,故B正确,不符合题意;
C.由抛物线对称轴以及开口方向可知,当x>-3时,y随x的增大而增大,故C错误,符合题意;
D.当x=-3时,函数取得最小值1,故D正确,不符合题意.故选C.
4.D　二次函数图像的平移规律:左加右减自变量,上加下减常数项.把抛物线y=-x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,得到新的抛物线为y=-(x-2)2+3.故选D.
5. <
解析　a=-1<0,抛物线开口向下,对称轴为直线x=4,∵x1>x2>4,在对称轴右侧y随x的增大而减小,∴y16.解析　(1)解法一:∵y最小值=-5,∴k=-5.∵A(-1,4),B(5,4)两点均在抛物线上,且纵坐标相同,∴两点关于抛物线对称轴(直线x=h)对称,∴h==2,∴这个抛物线的表达式为y=(x-2)2-5.
解法二:∵y最小值=-5,∴k=-5,∴y=(x-h)2-5.把A点坐标代入y=(x-h)2-5,解得h=2或-4.把B点坐标代入y=(x-h)2-5,解得h=2或8,∴h=2, ∴这个抛物线的表达式为y=(x-2)2-5.
(2)由(1)得y=(x-2)2-5,
∴该抛物线的对称轴是直线x=2.
∵点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点,点D的横坐标为-2,
∴点E的横坐标是2×2-(-2)=6.
当x=6时,y=(6-2)2-5=11,∴E(6,11).
7.D　当m>0时,抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧,一次函数图像经过第一、二、三象限;当m<0时,抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,一次函数图像经过第二、三、四象限.故选D.
8.y1解析　∵y=ax2-2ax-2,
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1,
∵0设点(n+1,y3)关于直线x=1对称的点的坐标为(x3,y3),则0∵a<0,∴当x<1时,y随x的增大而增大,
∴y19.　1
解析　∵AC⊥x轴,
∴当点A为抛物线顶点时,AC有最小值,
∵抛物线y=x2-2x+2=(x-1)2+1,
∴顶点坐标为(1,1),∴AC的最小值为1.
∵四边形ABCD为矩形,∴BD=AC,
∴BD的最小值为1,故答案为1.
10.
解析　∵抛物线y=ax2-2ax+3(a>0)与y轴交于点A,∴A(0,3),抛物线的对称轴为直线x=1,
∴顶点P的坐标为(1,3-a),点M的坐标为(2,3).
∵点M为线段AB的中点,∴点B的坐标为(4,3).
设直线OP的解析式为y=kx(k为常数,且k≠0),
将点B的坐标代入,得4k=3,解得k=,
∴直线OP的解析式为y=x,
当x=1时,y=x=,∴P,
∴PB==.
11.解析　(1)当b=2,c=3时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴该函数图像的顶点坐标为(1,4).
(2)∵该函数图像经过点(1,-3),
∴-1+b+c=-3,∴c=-2-b,
∵该二次函数图像的顶点坐标是(m,n),
∴m=-=,n===c+,∴b=2m,∴c=-2-b=-2-2m,
∴n=-2-2m+,即n=m2-2m-2.
(3)当b=2c+1时,二次函数y=-x2+(2c+1)x+c图像的对称轴为直线x==c+,开口向下,
当0≤c+≤2,即-≤c≤时,∵0≤x≤2,∴y的最大值为函数图像顶点的纵坐标,故=c+=8,即4c2+8c-31=0,解得c1=-1+,c2=-1-,不合题意,舍去;
当c+<0,即c<-时,∵0≤x≤2,∴y随x的增大而减小,
∴当x=0时,y取得最大值,故有c=8,不合题意,舍去;
当c+>2,即c>时,∵0≤x≤2,∴y随x的增大而增大,
∴当x=2时,y取得最大值,有-22+2(2c+1)+c=8,
解得c=2,符合题意.
综上,满足条件的c的值为2.
12.D　∵二次函数的图像的开口向上,对称轴在y轴的右侧,
∴a>0,->0,∴b<0,∴P(a,b)在第四象限.故选D.
13.C　∵直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴,∴对称轴在y轴右侧,
又∵对称轴为直线x=-,∴->0,∴当a<0时,b>0,当a>0时,b<0,∴a,b异号,故选C.
14.D　A.由题图可知抛物线开口向下,∴a<0,故选项A错误,不符合题意;
B.∵抛物线对称轴是直线x=1,开口向下,
∴当x>1时,y随x的增大而减小,当x<1时,y随x的增大而增大,故选项B错误,不符合题意;
C.由A(-1,0),抛物线对称轴是直线x=1可知,B点的坐标为(3,0),故选项C错误,不符合题意;
D.抛物线y=ax2+bx+c过点(2,4a+2b+c),由B(3,0)可知抛物线上横坐标为2的点在第一象限,
∴4a+2b+c>0,故选项D正确,符合题意.故选D.
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15.A　∵x=-2时,y=-2;x=-3时,y=-2,
∴该二次函数图像的对称轴为直线x==-,∴x=0和x=-5时的y值相等.
∵当x=-5时,y=4,∴当x=0时,y=4,
∴a的值为4.故选A.
16.C　二次函数y=ax2+x-6的图像与x轴交于A(-3,0),B两点,把A点坐标代入解析式,得0=9a-3-6,∴a=1,∴二次函数解析式为y=x2+x-6=-,∴图像的对称轴为直线x=-,顶点坐标为,故A,B选项不正确,不符合题意;
抛物线开口向上,当x<-1时,y的值随x值的增大而减小,故D选项不正确,不符合题意;
当y=0时,x2+x-6=0,解得x1=-3,x2=2,∴B(2,0),∴AB=5,故C选项正确,符合题意.故选C.
17.A　令y=0,则0=a(x-m)(x-m-k),
解得x1=m,x2=m+k,
∴抛物线对称轴为直线x==,
当k=2时,抛物线对称轴为直线x=m+1,
把x=m+1代入y=a(x-m)(x-m-2),得y=-a,
∵a>0,∴当x=m+1时,y取得最小值,最小值为-a,
故A正确,B错误;
当k=4时,抛物线对称轴为直线x=m+2,
把x=m+2代入y=a(x-m)(x-m-4),得y=-4a,
∵a>0,∴当x=m+2时,y取得最小值,最小值为-4a,故C、D错误.故选A.
18.B　根据题意可得该二次函数图像的对称轴为直线x=-=-=1,∵a=1>0,∴图像开口向上,∴离对称轴越远,函数值越大,∵y11,解得m>,故选B.
19.C　∵抛物线开口向上,与y轴交于负半轴,
∴a>0,c<0,∵抛物线对称轴为直线x=1,
∴-=1,∴b=-2a<0,∴abc>0,故A中结论错误;
∵当x=4时,y>0,抛物线对称轴为直线x=1,∴当x=-2时,y>0,∴4a-2b+c>0,故B中结论错误;
∵当x=3时,y=0,抛物线对称轴为直线x=1,∴当x=-1时,y=0,∴a-b+c=0,又∵b=-2a,∴3a+c=0,故C中结论正确;
∵抛物线对称轴为直线x=1,且抛物线开口向上,
∴二次函数的最小值为a+b+c=a-2a+c=-a+c,
∴am2+bm+c≥-a+c,
∴am2+bm+a≥0,故D中结论错误.故选C.
20.B　已知抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数,a≠0),
∴抛物线的对称轴为直线x=-=-2,故①正确;
当x=0时,y=3,∴点(0,3)在抛物线上,故②正确;当a>0时,y1>y2,当a<0时,y1由P1,P2是抛物线上的点且y1=y2,可知点P1,P2关于直线x=-2对称,故=-2,∴x1+x2=-4,故④错误.有2个正确结论,故选B.
21.B　已知抛物线过(-1,0)和(m,0)两点,则对称轴为直线x==,
∵3对于①,∵a<0,∴b>0,
当x=-1时,y=a-b+c=0,则c>0,∴abc<0,故结论①错误;
对于②,∵->1,∴2a>-b,∴3a+c=a+2a+c>a-b+c=0,即3a+c>0,故结论②正确;
对于③,已知抛物线过(-1,0)和(1,4)两点,可得a-b+c=0,a+b+c=4,两式相减得2b=4,解得b=2,由1<-<可得1<-<,解得-122.C　∵DE是边长为4的等边△ABC的中位线,
∴AD=DB=DE=2,AB=4,∠B=60°.
分两种情况:①当0∵AP=BQ=t,∴BP=AB-AP=4-t,∵BQ边上的高h=BP·sin∠B=(4-t),∴△BPQ的面积S=BQ·h=t·(4-t)=-t2+t;
②当2DP=t-2,BQ=t,梯形的高h1=BD·sin∠B=,
∴梯形BDPQ的面积=(DP+BQ)·h1=(t-2+t)×=t-.
只有C选项中的函数图像符合.故选C.
23.-1解析　∵y=ax2-2ax+b,a>0,∴抛物线的对称轴为直线x=-=1,抛物线开口向上,
已知A(2n+3,y1),B(n-1,y2)分别位于抛物线对称轴的两侧,假设点B在对称轴的右侧,则n-1>1,解得n>2,∴2n+3>7>1,
∴A点也在对称轴的右侧,与已知矛盾,故点A在对称轴的右侧,∴解得-1∴2n+2<2-n,解得n<0,∴-124.
解析　根据D点坐标,有m=22-6×2+5=-3,
所以D(2,-3).易得C(0,5),B(5,0).
设BC所在直线解析式为y=kx+b(k≠0),其过点C(0,5),B(5,0),
得解得∴BC所在直线的解析式为y=-x+5.
当E点在线段BC上时,如图1,设E(a,-a+5),
∠DEB=∠DCE+∠CDE,∵∠DEB=2∠DCB,
∴∠DCE=∠CDE,∴CE=DE.
已知E(a,-a+5),C(0,5),D(2,-3),
∴=,
解得a=,-a+5=,∴E点的坐标为.
　　
在△BDC中,BD2=(5-2)2+32=18,BC2=52+(-5)2=50,DC2=(5+3)2+(-2)2=68,
∴BD2+BC2=DC2,∴BD⊥BC,
如图2,延长EB至E',取BE'=BE,连接DE'.
则△DEE'为等腰三角形,DE=DE',∴∠DEE'=∠DE'E.又∵∠DEB=2∠DCB,∴∠DE'E=2∠DCB,∴E'为符合题意的点,且E点与E'点关于点B对称,∵OC=OB=5,∴∠OBC=45°,
则E'的横坐标为5+=,纵坐标为-=-,∴E'.
综上,E点的坐标为或.
25.解析　(1)∵y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,∴对称轴为直线x=6.∵-1<0,∴抛物线开口向下,有最大值,y的最大值为4.把P(a,3)的坐标代入y=4-(6-x)2中,得4-(6-a)2=3,解得a=5或a=7,
∵点P(a,3)在抛物线C的对称轴右侧,∴a=7.
(2)∵y=-x2+6x-9=-(x-3)2,
∴抛物线y=-x2+6x-9是由抛物线y=-(x-6)2+4向左平移3个单位,再向下平移4个单位得到的,平移距离为=5,∴P'移动的最短路程为5.
26.解析　 (1)过A点作AD⊥x轴于点D,如图,
已知斜坡的坡度为3∶4,设AD=3a m,则OD=4a m,∵OA=5 m,∴(3a)2+(4a)2=52,解得a=1(舍负),∴AD=3 m,OD=4 m,∴点A的坐标是(-4,3).
(2)①∵点A在抛物线上,∴3=-×(-4)2-4b+c,
∴c=4b+7或4b-c=-7或b=c-.
②当小球落到原点时,点O(0,0)在抛物线上,
∴c=0,∴4b=-7,∴b=-,
∴抛物线的函数表达式为y=-x2-x.
(3)根据题意知B(5,2),C(5,0),
∵c=4b+7,∴y=-x2+bx+4b+7.
当抛物线过点B(5,2)时,有2=-×52+5b+4b+7,解得b=.
当抛物线过点C(5,0)时,有0=-×52+5b+4b+7,解得b=-.
故当小球能触碰到墙面时,b的取值范围是-≤b≤.
素养探究全练
27.解析　(1)将点A(-1,0),B(3,0)坐标代入y=ax2+2x+c,得解得所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,∴C(0,3).设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k≠0),将B(3,0),C(0,3)坐标代入,得解得所以直线BC的函数表达式为y=-x+3.
(2)由OB=OC可知∠OBC=45°,∵PF∥AB,
∴∠PFE=∠OBC=45°,∴△PEF为等腰直角三角形,∴当PE取最大值时,△PEF的周长有最大值.如图,设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为y=-x+p,
移动后的直线BC与抛物线联立得整理得x2-3x+p-3=0,∴Δ=(-3)2-4(p-3)=0,解得p=,将p=代入x2-3x+p-3=0,解得x1=x2=,将x=代入y=-x2+2x+3得y=,即△PEF的周长取最大值时,点P的坐标为,将y=代入y=-x+3得x=-,则此时PF=+=.因为△PEF为等腰直角三角形,PE=FE=PF=,所以△PEF的周长最大为PE+EF+PF=(+1).
(3)存在.
已知B(3,0),C(0,3),设点G(m,-m2+2m+3),M(1,n),
当BC为平行四边形对角线时,根据中点公式得m+1=3,∴m=2,则G点坐标为(2,3);
当BC为平行四边形的边时,有|xB-xC|=|xG-xM|,∴|1-m|=3,解得m=-2或m=4,则G点坐标为(-2,-5)或(4,-5).
故点G的坐标为(2,3)或(-2,-5)或(4,-5).
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