30.4 二次函数的应用课时练（含解析）

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2024冀教版数学九年级下学期
第三十章　二次函数
30.4　二次函数的应用
基础过关全练
知识点1　应用二次函数解决实际问题
1.【跨学科·体育与健康】【新独家原创】学校举办篮球比赛,运动员佳佳跳起投篮,如图,已知球出手时(A点)离地面2.25米,设篮球运动轨迹为抛物线y=-x2+3.5,篮圈中心距地面3.05米.此时,对方队员琪琪上前拦截盖帽,且队员琪琪最大摸高为3.1米,若队员琪琪盖帽成功,则琪琪距运动员佳佳至多　　　　米(=1.414,结果精确到0.1).(说明:在球出手后,未达到最高点时,被防守队员拦截下来,称为盖帽,但球到达最高点后,处于下落过程时,防守队员再出手拦截,属于犯规)
2.【新课标例71变式】如图,用一段长30 m的篱笆围成一个一边(AD)靠墙(无需篱笆)的矩形菜园ABCD,并且中间用篱笆EF隔开,EF∥AB,墙长12 m.设AB=x m,矩形ABCD的面积为y m2,则y关于x的函数关系式为　　　　　　　　,当BC=　　　　时,矩形ABCD的面积取得最大值.
3.【跨学科·体育与健康】(2023河南周口一模)掷实心球是中考体育选考项目,实心球的运动路线可以看做是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x-m)2+h,其中x(m)是实心球运动的水平距离,y(m)是实心球运动的竖直高度.
(1)第一次投掷时,实心球的水平距离x与竖直高度y的数据记录如下:
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7
竖直高度y/m 1.75 3 3.75 4 3.75 3 1.75 0
请直接写出实心球运动过程中竖直高度的最大值,并求y关于x的函数关系式.
(2)第二次投掷时,调整了投掷动作,实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足关系式y=-x2+x+,第二次投掷的水平距离较第一次投掷的水平距离长了多少 (精确到0.1 m)
知识点2　二次函数取得最大(或最小)值的条件
4. 竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt,其图像如图所示,若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是 (　　)
A.第3秒　　　　B.第3.5秒　　　　C.第4秒　　　　D.第4.5秒
5.【教材变式·P44例2】如图,一块矩形土地ABDC用不锈钢材料围着,其横档和竖档分别与AB,AC平行.已知不锈钢材料的总长为24 m(不锈钢材料的厚度忽略不计),当AC=　　　　m时,矩形土地ABDC的面积最大.
6.【项目式学习试题】根据以下素材,探索完成任务.
如何设计实体店和网上的销售价格方案
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品,成本价为40元/件
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件,平均每天的销售量是200件;在实体店的销售价定为80元/件,平均每天的销售量是100件.按公司规定,实体店的销售价保持不变,网上销售价可按实际情况进行适当调整,且网上销售价始终高于成本价
素材3 网上销售价每降低1元/件,网上销售平均每天多售出20件,同时,实体店的销售受网上影响,平均每天销售量减少2件
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时,求公司在网上销售该商品与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润(总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润)达到8 160元,求每件商品的网上销售价是多少
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价为每件　　　　元时,该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大
能力提升全练
7.(2022四川自贡中考,11,★★☆)九年级2班的师生计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形,等腰三角形(底边靠墙),半圆形这三种方案,最佳方案是 (　　)
方案1
方案2
方案3
A.方案1　　　　B.方案2
C.方案3　　　　D.方案1或方案2
8.(2023河北石家庄二十八中一模,16,★★☆)如图,动点P在线段AB上(不与点A,B重合),AB=1,分别以AB,AP,BP为直径作半圆,记图中所示的阴影部分面积为y,线段AP的长为x.当点P从点A移动到点B时,y随x的变化而变化,则阴影部分面积y的最大值是 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
9.(2023河北石家庄四十二中模拟,19,★☆☆)小亮经营一家微店商铺,销售一款小型LED护眼台灯,成本是20元/盏.在“双十一”前20天进行了网上销售后发现,该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系,且第1天销售了78盏,第2天销售了76盏,护眼台灯的销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数关系式y=x+25(1≤x≤20,且x为整数).
(1)日销售量p(盏)与时间x(天)之间的一次函数关系为　　　　　　;
(2)这20天中最大日销售利润是　　　　元.
10.【跨学科·体育与健康】(2023河北中考,23,★★☆)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.
如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分.淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值;
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值(即嘉嘉可以接住回传的沙包).
11.【社会主义先进文化】(2023湖北黄冈中考,22,★★☆)加强劳动教育,落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下,建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中1 000 m2的土地全部用于种植甲、乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本y(单位:元/m2)与其种植面积x(单位:m2)的函数关系如图所示,其中200≤x≤700;乙种蔬菜的种植成本为50元/m2.
(1)当x=　　　　m2时,y=35元/m2.
(2)设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使W最小
(3)学校计划今后每年在这1 000 m2土地上,均按(2)中方案种植蔬菜,因技术改进,预计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%,乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%,当a为何值时,2025年的总种植成本为28 920元
素养探究全练
12.【模型观念】(2022河北石家庄一模)如图1所示的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地,在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置,另一侧建有圆柱形小球接收装置.图2为实验场地的纵截面示意图,小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分,以小山丘纵截面与地面的交线为x轴,以过发射装置所在的直线AB为y轴,建立平面直角坐标系,发射装置底部在轮廓线的点A处,距离地面1米,距离发射装置底部3米的点B处是发射点.已知小山丘纵截面的外部轮廓线为C1:y=-x2+x+1,从发射装置的发射点弹射一个小球(忽略空气阻力)时,小球的飞行路线为一段抛物线C2:y=-x2+bx+c.
(1)直接写出c的值,若运动过程中某时刻小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米,求b的值,并求小球到小山丘的竖直距离为1米时,小球离B处的水平距离;
(2)若小球最远着陆点到y轴的距离为15米,当小球飞行到小山丘顶的正上方,且与顶部距离不小于米时,求b的取值范围,并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值;
(3)圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF,已知点E在C1上,其横坐标为14,CF∥x轴,CD=1.5,DE=1,若小球恰好落入该装置内(不触碰装置侧壁),请直接写出b的取值范围.
答案全解全析
基础过关全练
1.1
解析　令y=-x2+3.5=2.25,解得x=-2.5或2.5(舍),∴A(-2.5,2.25).令y=-x2+3.5=3.1,解得x=±,∴--(-2.5)≈1.1.
因为只能在球上升阶段拦截,所以若队员琪琪盖帽成功,则琪琪距运动员佳佳至多1.1米.
2.y=-3x2+30x;12 m
解析　∵AB=x m,∴BC=(30-3x)m,
∴矩形ABCD的面积y=AB·BC=x(30-3x)=-3x2+30x.
∵∴6≤x<10,
∵a=-3<0,∴抛物线开口向下,抛物线对称轴为直线x=-=-=5,
∵6≤x<10,∴y随x的增大而减小,
∴当x=6时,y取得最大值,为-3×62+30×6=72,
此时BC的长为30-3x=30-3×6=12 m.
3.解析　(1)根据表格中的数据可知,点(2,3.75)与(4,3.75)的纵坐标相等,
∴抛物线的对称轴为直线x==3,
∴抛物线的顶点坐标为(3,4),∴m=3,h=4,实心球运动过程中竖直高度的最大值为4 m,
根据表格中的数据可知,当x=1时,y=3,
代入y=a(x-3)2+4,得3=a×(1-3)2+4,
解得a=-,∴函数关系式为y=-(x-3)2+4.
(2)第一次投掷时,y=-(x-3)2+4,
由题意知,当y=0时,x=7(负值舍去),
第二次投掷时,y=-x2+x+,
当y=0时,-x2+x+=0,整理,得9x2-72x-112=0,即(3x-28)(3x+4)=0,解得x1=≈9.3,x2=-(舍),
∴9.3-7=2.3(m),
故第二次投掷的水平距离较第一次投掷的水平距离长了2.3 m.
4.C　因为h=at2+bt,且小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等,所以此抛物线的对称轴为直线t==4,又因为此抛物线的开口向下,所以当t=4时,h取得最大值,即小球发射后第4秒的高度最高.
5. 4
解析　设AC=x m,矩形土地ABDC的面积为y m2,由题意,得y=x·=-(x-4)2+12,∵-<0,∴该函数图像开口向下,当x=4时,该函数取得最大值,即AC=4 m时,矩形土地ABDC的面积最大.
6.解析　任务1:网上销售的毛利润=(50-40)×[200+20×(60-50)]=10×400=4 000(元),
实体店销售的毛利润=(80-40)×[100-2×(60-50)]=40×80=3 200(元).
任务2:设网上销售价下降x元/件,总毛利润为y元,则网上销售的毛利润=(60-40-x)×(200+20x)=(-20x2+200x+4 000)元,实体店销售的毛利润=(80-40)×(100-2x)=(4 000-80x)元,故y=-20x2+200x+4 000+4 000-80x=-20x2+120x+8 000,
根据题意,得y=-20x2+120x+8 000=8 160,
解得x=2或x=4,∴60-x=58或56,
故该商品的网上销售价是每件58元或56元.
任务3:y=-20x2+120x+8 000=-20(x-3)2+8 180,
当x=3时,y取得最大值8 180,
∴网上销售价每件下降3元时,每天销售这种小商品的总毛利润最大,此时网上销售价为每件60-3=57(元).
故答案为57.
能力提升全练
7.C　方案1如图,设AD=x米,则AB=(8-2x)米,
则菜园的面积=x(8-2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8,
当x=2时,菜园的面积最大,为8平方米.
方案2如图,当∠BAC=90°时,菜园面积最大,为×4×4=8平方米.
方案3,半圆的半径=,此时菜园面积==平方米.>8,故选C.
8.D　∵AB=1,AP=x,∴BP=AB-AP=1-x,
∴y=S半圆AB-S半圆AP-S半圆BP
=×-×-×
=--
=-x2+x=-+,
∵-<0,∴当x=时,y最大,为,故选D.
9.(1)p=-2x+80　(2)450
解析　(1)设日销售量p(盏)与时间x(天)之间的一次函数关系式为p=kx+b(k≠0),
由题意,得解得
∴p=-2x+80,故答案为p=-2x+80.
(2)设日销售利润为w元,
则w=(y-20)p=(-2x+80)
=-x2+10x+400=-(x-10)2+450,
∵-<0,1≤x≤20,且x为整数,
∴当x=10时,w取得最大值,最大值是450,
∴在这20天中,最大日销售利润是450元,
故答案为450.
10.解析　(1)∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2,
∴C1的最高点坐标为(3,2).
∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上,
∴1=a(6-3)2+2,解得a=-,
∴抛物线C1的解析式为y=-(x-3)2+2,
令x=0,则y=c=-×(0-3)2+2=1.
(2)∵嘉嘉在到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,
∴符合条件的落点在点(5,1)和点(7,1)之间,
当经过点(5,1)时,1=-×52+×5+1+1,
解得n=;
当经过点(7,1)时,1=-×72+×7+1+1,
解得n=,∴≤n≤,
∴符合条件的n的整数值为4和5.
11.解析　(1)当200≤x≤600时,设甲种蔬菜种植成本y(单位:元/m2)与其种植面积x(单位:m2)的函数关系式为y=kx+b,把(200,20),(600,40)代入,得解得∴当200≤x≤600时,y=x+10,当600(2)当200≤x≤600时,W=x+50(1 000-x)=x2-40x+50 000=(x-400)2+42 000,
∵>0,∴抛物线开口向上,∴当x=400时,W取得最小值,最小值为42 000.
当60042 000,
∴当甲种蔬菜的种植面积为400 m2,乙种蔬菜的种植面积为600 m2时,W最小.
(3)由题意可得400××(1-10%)2+600×50(1-a%)2=28 920,
解得a1=20,a2=180(不合题意,舍去),
∴当a为20时,2025年的总种植成本为28 920元.
素养探究全练
12.解析　(1)由题意可得点B的坐标为(0,4),
将(0,4)代入C2:y=-x2+bx+c中,解得c=4.
由题意可知,抛物线C2:y=-x2+bx+c经过点(4,8),∴-×42+4b+4=8,解得b=,
∴抛物线C2的函数表达式为y=-x2+x+4.
∵小球与小山丘的竖直距离为1米,
∴-=1,
解得x1=-4(不合题意,舍去),x2=12,
∴当小球与小山丘的竖直距离为1米时,小球离B处的水平距离为12米.
(2)将x=15代入抛物线C1,得y=-×152+×15+1=-<0,
∴最远着陆点在小山丘外的平地上,其坐标为(15,0),
将x=15代入抛物线C2,得y=-×152+15b+4≤0,
解得b≤,
∵抛物线C1:y=-x2+x+1=-(x-7)2+,
∴小山丘顶的坐标为,
∵当小球飞行到小山丘顶正上方时,与顶部距离不小于米,∴y=-×72+7b+4≥+,解得b≥,
∴b的取值范围是≤b≤.
∵抛物线C2:y=-x2+bx+4,
∴C2的顶点坐标为(4b,2b2+4),
∵≤b≤,
∴当b=时,2b2+4有最小值,为,
∴小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值为米.
(3)∵抛物线C1:y=-x2+x+1,
当x=14时,y=-×142+×14+1=1,
∴E(14,1),∵DE=1,CD=1.5,∴C(13,2.5),
当x=13时,y=-×132+×13+1=,
∴C点在C1的上方.
若小球恰好落入该装置内(不触碰装置侧壁),
则当x=13时,y=-×132+13b+4>2.5,解得b>,
当x=14时,y=-×142+14b+4<1,解得b<,
故b的取值范围是21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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