30.5 二次函数与一元二次方程的关系课时练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024冀教版数学九年级下学期
第三十章　二次函数
30.5　二次函数与一元二次方程的关系
基础过关全练
知识点1　二次函数与一元二次方程的关系
1.【一题多变·已知a、b、c】抛物线y=-x2+2x-3与x轴相交的情况是 (　　)
A.没有公共点　 　　　B.有一个公共点
C.有两个公共点　　　　D.有三个公共点
[变式1·求出a、b、c]小明在解二次函数y=ax2+bx+c时,只抄对了a=1,b=4,求得图像过点(-1,0).他核对时发现所抄的c值比原来的c值大2,则抛物线与x轴交点的情况是(　　)
A.只有一个交点　　　　B.有两个交点
C.没有交点　　　　 D.不确定
[变式2·条件与结论互换]已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴有两个交点A(-1,0),B(3,0),抛物线y=a(x-h-m)2+k与x轴的一个交点是(4,0),则m的值是 (　　)
A.5　　　　B.-1　　　　C.5或1　　　　D.-5或-1
2.(2023湖南郴州中考)抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点,则c=　　　　.
3.【一题多解】【新独家原创】已知二次函数y=(x+a+2)(x-a)(a为常数,且a≠-1).
(1)求证:无论a取何值,二次函数的图像与x轴总有两个交点;
(2)点M(n-3,y1),N(n,y2)在二次函数的图像上,且y1>y2,直接写出n的取值范围.
知识点2　利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的对称轴是直线x=-1,其部分图像如图所示,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=(　　)
A.-1.3　　　　B.-2.3　　　　C.-3.3　　　　D.-4.3
5.下表是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x与y的部分对应值,判断方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是 (　　)
X … 6.17 6.18 6.19 6.20 …
Y … -0.03 -0.01 0.02 0.06 …
A.6C.6.18能力提升全练
6.(2023河北中考,16,★★☆)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图像与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图像对称轴之间的距离为 (　　)
A.2　　　　B.m2　　　　C.4　　　　D.2m2
7.(2023湖南衡阳中考,12,★★☆)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的根为x1,x2(x1A.x3C.x18.(2022四川自贡中考,26,★★★)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)若a=-1,且函数图像经过(0,3),(2,-5)两点,求此二次函数的解析式,直接写出抛物线与x轴的交点及顶点的坐标;
(2)在下图中画出(1)中函数的大致图像,并根据图像写出函数值y≥3时自变量x的取值范围;
(3)若a+b+c=0且a>b>c,一元二次方程ax2+bx+c=0两根之差等于a-c,函数图像经过P,Q(1+3c,y2)两点,试比较y1,y2的大小.
备用图
素养探究全练
9.【推理能力】(2023河北武邑二模)在平面直角坐标系中，拋物线
y=-x(x-2t)+t+1的顶点为A,与y轴相交于点B,点C(2t-1,m)在拋物线
上.
(1)当t=0时,求点A的坐标.
(2)抛物线上点B,C之间的部分记作M(包含B,C两点).
①若M与x轴只有一个公共点,求t的取值范围;
②已知D(2,t-1),E(2,t+3),F(-2,t+3),G(-2,t-1),顺次连接DE,EF,FG,GD,若M落在四边形DEFG内(不包含边界)的部分随着x的增大,y先增大再减小,求t的取值范围.
答案全解全析
基础过关全练
1.A　∵b2-4ac=22-4×(-1)×(-3)=-8<0,
∴抛物线与x轴没有公共点,故选A.
[变式1]　B　根据题意得解得
∵所抄的c值比原来的c值大2,∴原来c的值为1,
∴抛物线的解析式应该为y=x2+4x+1,
∵Δ=42-4×1×1=12>0,
∴抛物线与x轴有两个交点.故选B.
[变式2]　C　已知抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴为直线x=h,抛物线y=a(x-h-m)2+k的对称轴为直线x=h+m,当点A(-1,0)平移后的对应点为(4,0)时,m=4-(-1)=5;当点B(3,0)平移后的对应点为(4,0)时,m=4-3=1.故m的值为5或1.
9
解析　∵抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点,
∴Δ=b2-4ac=(-6)2-4c=0,解得c=9.故答案为9.
3.解析　(1)证法一:令y=0,则(x+a+2)(x-a)=0,解得x1=-a-2,x2=a,∵a≠-1,∴-a-2≠a,
∴无论a取何值,二次函数的图像与x轴总有两个交点.
证法二:二次函数y=(x+a+2)(x-a)=x2+2x-(a2+2a)的图像与x轴总有两个交点,即方程x2+2x-(a2+2a)=0总有两个不相等的实数根,Δ=22-4×1×(-a2-2a)=4a2+8a+4=4(a+1)2,∵a≠-1,∴4(a+1)2>0,即方程x2+2x-(a2+2a)=0总有两个不相等的实数根,故二次函数y=(x+a+2)(x-a)的图像与x轴总有两个交点.
(2)n<.
详解:二次函数图像的对称轴是直线x==-1,图像开口向上,∵点M(n-3,y1),N(n,y2)在二次函数的图像上,且y1>y2,∴|n-3-(-1)|>|n-(-1)|,解得n<.∴n的取值范围是n<.
4.C　由函数图像关于对称轴对称,对称轴为直线x=-1,方程一根为x1=1.3,可知方程另一根满足-1-x2=1.3-(-1),∴x2=-3.3,故选C.
5.C　根据表格得到,当x=6.18时,y=-0.01,当x=6.19时,y=0.02,则在6.18和6.19之间,必有一个x的值使得y=0,∴方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是6.18能力提升全练
6.A　令y=0,则-x2+m2x=0①,x2-m2=0②,
解①得x=0或x=m2,
解②得x=-m或x=m,
由于四个交点中每相邻两点间的距离都相等,所以m2=2|m|,解得m=±2或0(舍去),
∵抛物线y=x2-m2的对称轴为直线x=0,抛物线y=-x2+m2x的对称轴为直线x==2,
∴这两个函数图像对称轴之间的距离为2,故选A.
7.B　∵m>n>0,关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1根据草图(如图)可得x1,x2,x3,x4分别是点A,B,C,D的横坐标,
∴x18.解析　(1)∵a=-1,且函数图像经过(0,3),(2,-5)两点,
∴解得
∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3,
当y=0时,0=-x2-2x+3,
解得x1=1,x2=-3,
∴抛物线与x轴交点的坐标为(1,0),(-3,0).
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(-1,4).
(2)函数的大致图像如图所示:
当y=3时,3=-x2-2x+3,解得x1=0,x2=-2,
由图像可知当-2≤x≤0时,函数值y≥3.
(3)∵a+b+c=0且a>b>c,∴a>0,c<0,b=-a-c,且一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为x1=1,
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之差等于a-c,且x1x2=<0,∴方程的另一个根为x2=1+c-a,
∴抛物线的对称轴为直线x=1+,
∴-=1+,∴-b=2a+ac-a2,
∴a+c=-b=2a+ac-a2,∴(a-1)(a-c)=0,
∵a>c,∴a=1,∴b=-1-c,∴y=x2-(1+c)x+c,
∵P,Q(1+3c,y2),
∴y1=-(1+c)+c=2c2+c-,
y2=(1+3c)2-(1+c)(1+3c)+c=6c2+3c,
∴y2-y1=(6c2+3c)-=4-,
∵b>c,∴-1-c>c,∴c<-,∴4->0,
∴y2>y1.
素养探究全练
9.解析　(1)当t=0时,抛物线的解析式为y=-x(x-2×0)+0+1=-x2+1,
∴抛物线的对称轴为y轴,当x=0时,y=1,
∴点A的坐标为(0,1).
(2)①令-x(x-2t)+t+1=0,
即-x2+tx+t+1=0,
∵Δ=t2-4×(t+1)=(t+1)2+1>0,
∴抛物线y=-x(x-2t)+t+1与x轴有两个交点,
当x=0时,y=t+1,当x=2t-1时,y=-(2t-1)(2t-1-2t)+t+1=2t+,
∴点B的坐标为(0,t+1),点C的坐标为,
当M与x轴只有一个公共点时,分两种情况:
当点B在x轴上方,点C在x轴上或x轴下方时,有解得-1当点C在x轴上方,点B在x轴上或x轴下方时,有不等式组无解,即这种情况不存在.
∴t的取值范围是-1②∵y=-x(x-2t)+t+1=-(x-t)2+,
∴抛物线顶点A的坐标为.
∵D(2,t-1),E(2,t+3),F(-2,t+3),G(-2,t-1),
∴四边形DEFG是边长为4的正方形,线段EF所在直线为y=t+3,线段GD所在直线为y=t-1,线段GF所在直线为x=-2,线段DE所在直线为x=2.
∵M落在四边形DEFG内(不包含边界)的部分随着x的增大,y先增大再减小,
∴点A在正方形DEFG内,点B和点C在对称轴两侧,
由点A在正方形DEFG内,
可得
解得-2如图1,当点B在对称轴左侧,点C在对称轴右侧时,01,∴1　
如图2,当点B在对称轴右侧,点C在对称轴左侧时,2t-1综上可知,t的取值范围为-221世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)