2024冀教版数学九年级下学期课时练--期末素养综合测试（二）（含解析）

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2024冀教版数学九年级下学期
期末素养综合测试(二)
(满分120分,限时100分钟)
一、选择题(1~10小题各3分,11~16小题各2分,共42分)
1.(2023山东滨州中考)按如图所示的方式摆放的水杯,其俯视图为 (　　)
　　　　　　　　　 　　
B. C. D.
2.(2023四川南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距 (　　)
A.米　　　 　B.米
C.x·sin α米　　　　D. x·cos α米
3.(2023贵州中考)在学校科技宣传活动中,某科技活动小组将3个标有“北斗”,2个标有“天眼”,5个标有“高铁”的小球(除标记外其他都相同)放入盒中,小红从盒中随机摸出1个小球,并对小球标记的内容进行介绍,下列叙述正确的是 (　　)
A.摸出“北斗”小球的可能性最大
B.摸出“天眼”小球的可能性最大
C.摸出“高铁”小球的可能性最大
D.摸出三种小球的可能性相同
4.(2023湖南岳阳中考)在5月份跳绳训练中,妍妍同学一周成绩(单位:次/分钟)记录如下:176,178,178,180,182,185,189,这组数据的众数和中位数分别是 (　　)
A.180,182　　　　B.178,182　　　　C.180,180　　　　D.178,180
5.(2023内蒙古包头中考)几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示,图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数,该几何体的主视图是 (　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
6.(2023四川泸州中考)关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是 (　　)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
7.(2023四川自贡中考改编)端午节早上,小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽,3个鲜肉粽,她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶,请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
8.(2023贵州中考)已知,二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则点P(a,b)所在的象限是(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
9.(2023四川凉山州中考)若一组数据x1,x2,x3,…,xn的方差为2,则数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的方差是 (　　)
A.2　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.11
10.(2023四川凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.4
11.(2023湖南湘潭中考)如图,AC是☉O的直径,CD为弦,过点A的切线与CD的延长线相交于点B,若AB=AC,则下列说法不正确的是 (　　)
A.AD⊥BC　　　　B.∠CAB=90°
C.DB=AB　　　　D.AD=BC
12.(2023浙江金华中考)如图,一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=的图像交于点A(2,3),B(m,-2),则不等式ax+b>的解集是 (　　)
A.-32　　　　B.x<-3或0C.-22　　　　D.-33
13.(2023四川内江中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,Q是的中点,则∠CPQ的度数为 (　　)
A.30°　　　　B.36°　　　　C.45°　　　　D.60°
14.(2023安徽中考)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,EF⊥AB于点F,连接DE并延长,交边BC于点M,交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG= (　　)
A.2　　　　B.　　　　C.+1　　　　D.
15.【新考向·规律探究题】(2023山东烟台中考)如图,在直角坐标系中,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,……,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为 (　　)
A.(31,34)　　　　B.(31,-34)　　　　C.(32,35)　　　　D.(32,0)
16.(2023湖北鄂州中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,且过点(-1,0),顶点在第一象限,给出以下结论:①ab<0;②4a+2b+c>0;③3a+c>0;④若A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x12,则y1>y2.其中正确的有 (　　)
A.①②③　　　　B.①③④　　　　C.②③④　　　　D.①②④
二、填空题(本大题共3个小题,每小题3分,共9分.其中18小题第一空2分,第二空1分;19小题每空1分)
17.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,若DE∶EC=1∶2,则BF∶BE=　　　　.
18.(2023河北石家庄四十七中质检)如图,点O是正八边形A1A2…A8的外接圆的圆心,连接A4A6.
(1)∠A8=　　　　°;
(2)若☉O的半径长为4 cm,则A4A6=　　　　cm.
19.(2023河北石家庄长安质检) 将等腰直角三角形ABC按如图所示方式放在平面直角坐标系中,其中点C(1,0),点A(0,2),点B在反比例函数y=(x>0)的图像L上.
(1)k=　　　　;
(2)将△ABC沿着x轴正方向平移m(m>0)个单位得到△A1B1C1.
①当双曲线L过线段B1C1的中点时,点C1的坐标是　　　　;
②当线段A1B1和双曲线L有公共点时,m的取值范围是　　　　.
三、解答题(共69分)
20.[含评分细则]【新独家原创】(8分)已知关于x的一元二次方程3x2+kx+2=0(k>0)有实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若k=5,求(x1-3)(x2-3)的值.
21.[含评分细则]【社会主义先进文化】(2023山东枣庄中考)(9分)《义务教育课程方案(2022年版)》和《义务教育劳动课程标准(2022年版)》正式发布,劳动课正式成为中小学的一门独立课程,日常生活劳动设定四个任务群:A.清洁与卫生,B.整理与收纳,C.家用器具使用与维护,D.烹饪与营养.学校为了较好地开设课程,对学生最喜欢的任务群进行了调查,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.
请根据统计图解答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了　　　　名学生,其中选择“C.家用器具使用与维护”的女生有　　　　名,选择“D.烹饪与营养”的男生有　　　　名;
(2)补全条形统计图和扇形统计图;
(3)学校想从选择“C.家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者,请用画树形图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率.
22.[含评分细则]【新考法】(2023湖南衡阳中考)(10分)如图,正比例函数y=x的图像与反比例函数y=(x>0)的图像相交于点A.
(1)求点A的坐标;
(2)分别以点O、A为圆心,大于OA一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点B和点C,作直线BC,交x轴于点D,求线段OD的长.
23.[含评分细则](2023湖北十堰中考)(10分)“端午节”吃粽子是中国传统习俗,在“端午节”来临前,某超市购进一种品牌粽子,每盒进价是40元,并规定每盒售价不得少于50元,日销售量不低于350盒,根据以往销售经验发现,当每盒售价定为50元时,日销售量为500盒,每盒售价每提高1元,日销售量减少10盒,设每盒售价为x元,日销售量为p盒.
(1)当x=60时,p=　　　　.
(2)当每盒售价定为多少元时,日销售利润W(元)最大 最大利润是多少
(3)小强说:“当日销售利润最大时,日销售额不是最大.”小红说:“当日销售利润不低于8 000元时,每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗 若正确,请说明理由;若不正确,请直接写出正确的结论.
24.[含评分细则]【真实情境】(2023山东烟台中考)(10分)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机,如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图2为测量示意图.已知斜坡CD长16米,在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°,利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°,求该风力发电机塔杆PD的高度.(参考数据:sin 18°≈0.309,cos 18°≈0.951,tan 18°≈0.325)
图1 图2
25.[含评分细则](2023湖北荆州中考)(10分)如图,在菱形ABCD中,DH⊥AB于H,以DH为直径的☉O分别交AD,BD于点E,F(异于点D),连接EF.
(1)求证:①CD是☉O的切线;
②△DEF∽△DBA;
(2)若AB=5,DB=6,求sin∠DFE.
26.[含评分细则](2023湖南湘潭中考)(12分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,其中B(1,0),C(0,3).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在二次函数图像上是否存在点P,使得S△PAC=S△ABC 若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点Q是对称轴l上一点,且点Q的纵坐标为a,当△QAC是锐角三角形时,求a的取值范围.
答案全解全析
1.D　俯视图是从上面看到的图形,故选D.
2.B　小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,∴∠ABC=90°,AB=x米.∵cos α=,∴AC==米.
故选B.
3.C　盒中小球的总量为3+2+5=10(个),
摸出“北斗”小球的概率为,
摸出“天眼”小球的概率为=,
摸出“高铁”小球的概率为=,
因此摸出“高铁”小球的可能性最大.故选C.
4.D　数据从小到大排列为176,178,178,180,182,185,189,中位数为180,出现次数最多的是178,共出现2次,故这组数据的众数是178.故选D.
5.D　根据俯视图可知,这个几何体中,主视图有三列:左边一列有1个小正方形,中间一列有2个小正方形,右边一列有2个小正方形,
所以该几何体的主视图如下:
故选D.
6.C　∵Δ=(2a)2-4(a2-1)=4a2-4a2+4=4>0,
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有两个不相等的实数根,故选C.
7.B　设蛋黄粽为A,鲜肉粽为B,画树形图如下:
共有20种等可能的结果,其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种,
∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是=,故选B.
8.D　由题图可知二次函数的图像开口向上,对称轴在y轴右侧,∴a>0,->0,∴b<0,∴P(a,b)位于第四象限,故选D.
9.A　当一组数据都加上同一个数(或减去同一个数)时,平均数也加或减这个数.设原平均数为,则现在的平均数为+3,
原来的方差=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=2,
现在的方差=[(x1+3--3)2+(x2+3--3)2+…+(xn+3--3)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=2.故选A.
10.B　连接OB,设AO与BC交于点E,如图所示,
∵∠ADB=30°,
∴∠AOB=2∠ADB=2×30°=60°,
∵OA⊥BC,∴∠COE=∠BOE=60°,CE=BE=BC=×2=,在Rt△OCE中,∠COE=60°,CE=,∴OC===2,故选B.
11.C　∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,即AD⊥BC,故A选项正确;
∵AB是☉O的切线,∴AC⊥AB,
∴∠CAB=90°,故B选项正确;
∵AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形,
∵AD⊥BC,∴CD=DB=AD,∴AD=BC,故D选项正确;
∵△ADB是直角三角形,AB是斜边,∴AB>DB,故C选项错误.故选C.
12.A　∵A(2,3)在反比例函数图像上,∴k=3×2=6,
∴反比例函数的解析式为y=,∵B(m,-2)在反比例函数图像上,∴m==-3,∴B(-3,-2),
由题意得关于x的不等式ax+b>的解集即为一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围,∴关于x的不等式ax+b>的解集为-32,故选A.
13.C　如图,连接OC,OD,OQ,OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,Q是的中点,
∴∠COD=∠DOE==60°,∠DOQ=∠EOQ=∠DOE=30°,
∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=90°,
∴∠CPQ=∠COQ=45°,故选C.
14.B　∵四边形ABCD是正方形,AF=2,FB=1,
∴AD=BC=AB=AF+FB=2+1=3,AD∥CB,AD⊥AB,CB⊥AB,又EF⊥AB,∴AD∥EF∥BC,∴==2,△ADE∽△CME,∴==2,则CM=AD=,∴MB=,∵BC∥AD,
∴△GMB∽△GDA,∴===,∴BG=3,
在Rt△BGM中,MG===,故选B.
15.A　∵A1(-2,1),A4(-1,2),A7(0,3),A10(1,4),……,
∴A3n-2(n-3,n),
∵100=3×34-2,∴A100(31,34),
故选A.
16.D　抛物线的开口向下,则a<0,
抛物线的对称轴为直线x=1,则-=1,b=-2a,b>0,∴ab<0,故①正确;
∵抛物线过点(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一交点为(3,0),
由函数图像可得,当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,故②正确;
∵当x=-1时,y=0,∴a-b+c=0,把b=-2a代入,得3a+c=0,故③错误;
∵对称轴是直线x=1,∴当=1,即x1+x2=2时,y1=y2,
∴当x1+x2>2,x1∵抛物线的开口向下,∴y1>y2,故④正确.综上所述,正确的是①②④.故选D.
17.3∶5
解析　由DE∶EC=1∶2,可知==,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴CE∥AB.
由CE∥AB,可得△ABF∽△CEF,可知==,故BF∶BE=3∶5.
18.(1)135　(2)4
解析　(1)∠A8==135°,
故答案为135.
(2)如图,连接OA6,OA4,
易知∠A6OA4=×2=90°,
∴A4A6==4 cm,
故答案为4.
19.(1)3　(2)①(5,0)　②0解析　(1)如图,作BE⊥x轴于点E,
则∠AOC=∠CEB=90°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠BCE=∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠BCE=∠OAC,
∴△BCE≌△CAO(AAS),
∴BE=OC=1,CE=OA=2,
∴B(3,1),
∵点B在反比例函数y=(x>0)的图像L上,
∴k=1×3=3.故答案为3.
(2)①设BC的中点为D,
则yD=(yB+yC)=×(1+0)=,xD=(xB+xC)=2,
∴D,
∵将△ABC沿着x轴正方向平移m(m>0)个单位得到△A1B1C1,
∴点D平移后的坐标为,
依题意得(2+m)=3,解得m=4,
∴点C1的坐标是(5,0).
②易知平移后A1的坐标为(m,2),B1的坐标为(3+m,1),
当A1(m,2)在双曲线L上时,有2m=3,
解得m=,
当B1(3+m,1)在双曲线L上时,有(3+m)×1=3,
解得m=0,
∴线段A1B1与双曲线L有公共点时,m的取值范围是020.解析　(1)∵一元二次方程3x2+kx+2=0有实数根,
∴Δ≥0,
即k2-4×3×2≥0,
k2≥24,2分
∵k>0,
∴k≥2.4分
(2)∵k=5,
∴3x2+5x+2=0.5分
∵方程的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-,x1·x2=,6分
∴(x1-3)(x2-3)
= x1·x2-3(x1+x2)+97分
=-3×+9
=.8分
21.解析　(1)(1+2)÷15%=20(名),
∴一共调查了20名学生.1分
∴选择C任务群的学生有20×25%=5(名),
∴选择C任务群的学生中有女生5-3=2(名).2分
由扇形统计图可知D任务群的百分比为1-15%-25%-50%=10%,
∴选择D任务群的学生有20×10%=2(名),
∴选择D任务群的学生中有男生2-1=1(名).3分
故答案为20;2;1.
(2)补全图形如下:6分
(3)用A,B,C表示3名男生,用D,E表示两名女生,列表如下:
A B C D E
A (A,B) (A,C) (A,D) (A,E)
B (B,A) (B,C) (B,D) (B,E)
C (C,A) (C,B) (C,D) (C,E)
D (D,A) (D,B) (D,C) (D,E)
E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D)
7分
共有20种等可能的结果,其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种,
∴P==.9分
22.解析　本题结合线段垂直平分线的尺规作图求线段的长度.
(1)解方程组得3分
∵x>0,
∴A(3,4).4分
(2)由题意可得CD垂直平分OA,5分
连接AD,过A作AE⊥OD于点E,如图,则AD=OD,6分
设D(m,0),
在Rt△AED中,AD2=ED2+AE2,即m2=(m-3)2+42,8分
解得m=,9分
∴OD=.10分
23.解析　(1)当x=60时,p=500-10×(60-50)=400(盒),
故答案为400.2分
(2)由题意得W=p(x-40)=[500-10(x-50)](x-40)=-10x2+1 400x-40 000=-10(x-70)2+9 000,3分
又∵p≥350,∴500-10(x-50)≥350,4分
解得x≤65,
∵-10<0,
∴当x=65时,W最大,最大值为8 750,
∴当每盒售价定为65元时,日销售利润W(元)最大,最大利润是8 750元.6分
(3)他们的说法正确,理由如下:
设日销售额为y元,则
y=[500-10(x-50)]x=-10x2+1 000x=-10(x-50)2+25 000,7分
∵-10<0,
∴当x=50时,y最大,最大值为25 000,
∴当日销售利润最大时,日销售额不是最大,
即小强的说法正确.8分
当W=8 000时,8 000=-10(x-70)2+9 000,解得x1=60,x2=80,
∵抛物线开口向下,
∴当60≤x≤80时,8 000≤W≤9 000,9分
∴当日销售利润不低于8 000元时,每盒售价x的范围为60≤x≤80.
故小红的说法正确.10分
24.解析　如图,过点P作PF⊥AB于点F,延长PD交AC的延长线于点E,1分
根据题意可得AB、PD垂直于水平面,∠DCE=30°,∠PAC=45°,∠GBP=18°,
∴PE⊥AE,3分
∵CD=16米,
∴DE=CD=16×=8(米),4分
设PD=x米,则PE=PD+DE=(8+x)米,
∵∠PAC=45°,PE⊥AE,
∴AE==(8+x)米,5分
∵AB⊥AE,PE⊥AE,PF⊥AB,
∴四边形FAEP为矩形,6分
∴PF=AE=(8+x)米,AF=PE=(8+x)米,7分
∵AB=53米,
∴BF=AB-AF=53-(8+x)=(45-x)米,8分
易得BG∥PF,
∵∠GBP=18°,
∴∠BPF=18°,
∴=tan 18°,即≈0.325,9分
解得x≈32.
答:该风力发电机塔杆PD的高度约为32米.10分
25.解析　(1)证明:①∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD.
∵DH⊥AB,
∴∠CDH=∠DHA=90°,则CD⊥OD.1分
又∵OD为☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.2分
②如图,连接HF,
∵=,
∴∠DEF=∠DHF.3分
∵DH为☉O的直径,
∴∠DFH=90°,
∵∠DHB=90°,
∴∠DHF=∠DBA=∠DEF,4分
又∵∠EDF=∠BDA,
∴△DEF∽△DBA.5分
(2)如图,连接AC交BD于G.
∵四边形ABCD为菱形,BD=6,
∴AC⊥BD,AG=GC,DG=GB=3,6分
∴在Rt△AGB中,AG==4,
∴AC=2AG=8,7分
∵S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH,
∴DH==.8分
在Rt△ADH中,sin∠DAH===,9分
由△DEF∽△DBA得∠DFE=∠DAH,
∴sin∠DFE=sin∠DAH=.10分
26.解析　(1)将点B(1,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c,
得1分
解得
∴这个二次函数的表达式为y=x2-4x+3.2分
(2)存在.
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴该抛物线的顶点坐标为(2,-1).
当y=0时,x2-4x+3=0,
解得x1=1,x2=3,
∴A(3,0),则OA=3,
∵C(0,3),则OC=3,
∴△AOC是等腰直角三角形,3分
∵S△PAC=S△ABC,
∴P到AC的距离等于B到AC的距离.
∵C(0,3),∴可设直线AC的解析式为y=kx+3,
∵A(3,0),∴3k+3=0,解得k=-1,
∴直线AC的解析式为y=-x+3.4分
如图所示,过点B作AC的平行线,交抛物线于点P,
设直线BP的解析式为y=-x+d,将点B(1,0)代入,得
-1+d=0,解得d=1,
∴直线BP的解析式为y=-x+1,
联立
解得或
∴P(2,-1).5分
∵PA==,PB==,AB=3-1=2,
∴PA2+PB2=AB2,
∴△ABP是等腰直角三角形,且∠APB=90°.
如图所示,延长PA至D,使得AD=PA,过点D作AC的平行线DE,交x轴于点E,则符合题意的点P在直线DE上,
∵△APB是等腰直角三角形,DE∥AC,AC⊥PD,
∴∠DAE=∠BAP=45°,PD⊥DE,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=AD=AP=2,
∴E(5,0).
设直线DE的解析式为y=-x+e,把E(5,0)代入,
得-5+e=0,
解得e=5,
∴直线DE的解析式为y=-x+5,6分
联立
解得或
∴P或P.
综上所述,P点的坐标为(2,-1)或或.7分
(3)①当a>0时,如图所示,过点C作CG⊥AC交直线x=2于点G,
当点Q与点G重合时,△ACQ是直角三角形,
当∠AQC=90°时,△ACQ是直角三角形,8分
设直线AC交直线x=2于点H,
∵直线AC的解析式为y=-x+3,
则H(2,1),
∴CH==2,
∵∠CHG=∠OCH=45°,
∴△CHG是等腰直角三角形,
∴HG=CH=×2=4,
∴G(2,5).9分
设Q(2,q),则AQ2=12+q2,CQ2=22+(q-3)2=q2-6q+13.
∵AC2=32+32=18,
∴18=q2-6q+13+12+q2,
解得q=(舍去)或q=,
∴Q.
∵△QAC是锐角三角形,
∴当a<0时,如图所示,
同理可得AQ2+QC2=AC2,
即18=q2-6q+13+12+q2,
解得q=或q=(舍去),11分
同(2)可得AM⊥AC时,M(2,-1),
∴-1综上所述,当△QAC是锐角三角形时,
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