2024冀教版数学九年级下学期课时练--期中素养综合测试（含解析）

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2024冀教版数学九年级下学期
期中素养综合测试
(满分120分,限时100分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.【新独家原创】☉O是以原点为圆心,2为半径的圆,抛物线y=x2-x-2与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),顶点为C,则A、B、C 与☉O的位置关系是 (　　)
A.都在圆内　　　　
B.A在圆内,B、C在圆上
C.A在圆内,B、C在圆外　　　　
D.A在圆内,B在圆上,C在圆外
2.【新独家原创】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像(如图)及顶点坐标(-1,2),由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=0.5和x2= (　　)
A.-1.5　　　　B.-2.5　　　　C.-3　　　　D.-3.3
3.(2022湖南长沙中考)如图,PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为 (　　)
A.32°　　　　B.52°　　　　C.64°　　　　D.72°
4.【跨学科·物理】(2023福建厦门一模)根据物理学规律,如果把一个小球从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么小球经过x s离地面的高度(单位:m)为10x-4.9x2.根据该规律,下列对方程10x-4.9x2=5的两根x1≈0.88与x2=1.16的解释正确的是 (　　)
A.小球上抛约1.02 s离地面的高度为5 m
B.小球离地面的高度为5 m时,时间约为0.88 s
C.小球上抛约1.16 s离地面的高度为5 m,并将继续上升
D.小球两次到达离地面高度为5 m的位置,其时间间隔约为0.28 s
5.二次函数y=-x2+mx的图像如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1A.t>-5　　　 　B.-5C.36.(2023河北石家庄裕华质检)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠BAC=40°,点I是△ABC的内心,BI的延长线交☉O于点D,连接AD,则∠CAD的度数为 (　　)
A.35°　　　　B.30°　　　　C.25°　　　　D.20°
7.(2023广东佛山一模)某特许零售店发现某款纪念品的销售日益火爆,每个纪念品的进价为40元,销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300个;销售单价每上涨1元,每天销量就减少10个.现商家决定提价销售,设每天销售量为y个,销售单价为x元(x>44),商家每天销售纪念品获得的利润是w元,则下列等式正确的是 (　　)
A.y=10x+740　　　　
B.y=10x-140
C.w=(-10x+700)(x-40)　　　　
D.w=(-10x+740)(x-40)8.(2023河北秦皇岛海港一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,下列5个结论:①2a+b=0;②b0;④a+b≥m(am+b)(m为任意实数);⑤方程ax2+bx+c=n有实数根的条件是n≤1.其中正确的结论有 (　　)
A.2个　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　D.5个
9.如图,直线l1∥l2,☉O与l1和l2分别相切于点A和点B,点M和点N分别是l1和l2上的动点,连接MN.若☉O的半径为1,∠AMN=60°,则下列结论不正确的是 (　　)
A.l1和l2之间的距离为2
B.当MN与☉O相切时,AM=
C.MN=
D.当∠MON=90°时,MN与☉O相切
10.(2023河北石家庄四十二中二模)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点为A、B,其横坐标分别为3和-1,其图像与x轴围成封闭图形L,图形L内部(不包含边界)恰有4个整点(横、纵坐标均为整数的点),二次函数中系数a的值可以是 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
二、填空题(每小题3分,共30分)
11.(2023河北石家庄四十七中质检)将抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后得到一条新的抛物线,其表达式为　　　　　　　,顶点坐标为　　　　.
12.(2022江苏泰州中考)如图,PA与☉O相切于点A,PO与☉O相交于点B,点C在上,且与点A,B不重合,若∠P=26°,则∠C的度数为　　　　°.
13.【跨学科·物理】(2023黑龙江哈尔滨一模)某男生参加抛实心球测试,已知球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=-x2+x+,则这名男生抛实心球的成绩是　　　　m.
14.【新考法】(2023河北景县二中二模)将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张,得到新的六边形,它们的对应边之间的距离均为.
(1)新的六边形与原六边形　　　　;(填“相似”或“不相似”)
(2)扩张后六边形的周长比原来增加了　　　　.
15.(2023福建龙岩二模)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,c<0)经过A(-1,3),B(2,9)两点,则下列结论:①abc>0;②a+b+c>0;③当x>时,函数值y随x的增大而增大.其中结论一定正确的有　　　　.(写出所有正确结论的序号)
16.如图,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的☉O交AB于E点,直线EF⊥AC于F点,则直线EF与☉O的位置关系是　　　　.
17.(2023江苏扬州模拟)如图,已知函数y=-与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图像交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x的不等式ax2+bx+<0的解集为　　　　.
18.如图,☉O的半径OA=1,B是☉O上的动点(不与点A重合),过点B作☉O的切线BC,且BC=OA,连接OC,AC.当△OAC是直角三角形时,其斜边长为　　　　.
19.如图,抛物线y=a(x+1)(x-3)与x轴交于A,B两点(点A在B的左侧),点C为抛物线上任意一点(不与A,B重合),BD为△ABC的边AC上的高线,抛物线顶点E与点D的最小距离为1,则抛物线的解析式为　　　　　　.
20.【新考法】(2023广东佛山一模)如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,☉D是过A,B,C三点的圆,P点是☉D上一动点,连接PO,PC,则PC+PO的最小值是　　　　.
三、解答题(共60分)
21.[含评分细则](2023天津河西一模)(8分)在☉O中,AB为直径,C,D为☉O上两点,连接CD.
(1)如图1,过点C,点D分别作☉O的切线交于点P,当∠CPD=72°时,求∠CPA和∠A的度数;
(2)如图2,若∠BAC=38°,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,DP∥AC,求∠ACD的度数.
　
22.[含评分细则](2023河北承德一模)(10分)如图所示的是某位同学设计的动画,随着音乐节奏起伏变化,屏幕上就会闪现不同的抛物线.抛物线的统一形式为y=ax2+bx(x≥0,y≥0),且顶点始终在直线y=kx(k≠0)上.
(1)若k=1,且抛物线顶点纵坐标为3,求a,b的值;
(2)试推断k与b的数量关系;
(3)横、纵坐标都是整数的点被称为整点,当抛物线的顶点恰好是整点时,抛物线就会改变颜色,那么,当k=6时,这组抛物线中有几条会改变颜色
23.[含评分细则](10分)某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出60件.假定每月的销售件数y是销售单价x(单位:元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数解析式.
(2)当销售单价定为多少元时,每月获得的利润最大 并求此最大利润.
24.[含评分细则](2023河北滦州摸底)(10分)如图,在△AEF中,∠F=∠AEF,以AE为直径作☉O,分别交边AF和边EF于点G和点D,过点D作DC⊥AF交AF于点C,延长CD交AE的延长线于点B,过点E作EH⊥BC于点H.
(1)试判断BD与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)证明:EH=CF;
(3)若∠B=30°,AE=12,求图中阴影部分的面积.
25.[含评分细则]【项目式学习试题】(2023广东深圳模拟)(10分)深圳地铁16号线,又称“深圳地铁龙坪线”,是深圳市第16条建成运营的地铁线路,于2022年12月28日开通运营一期工程(大运站至田心站).
数学小组成员了解到16号线地铁进入某站时在距离停车线400米处开始减速.他们想了解地铁从减速开始,经过多少秒在停车线处停下.为解决这一问题,数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离s(米)与时间t(秒)的函数关系,再应用该函数解决相应问题.
(1)【建立模型】
①收集数据,如下表:
t(秒) 0 4 8 12 16 20 24 28 …
s(米) 400 324 256 196 144 100 64 36 …
②绘制图像:如图,在平面直角坐标系中描出所收集数据对应的点,并用光滑的曲线依次连接.
　③猜想模型:观察这条曲线,它可能是　　　　函数的图像.(请填写选项)
A.一次　　　B.二次　　　C.反比例
④求解析式:请根据表格的数据,求出s关于t的解析式(自变量t的取值范围不作要求).
⑤验证结论:将数据中的其余几对值代入所求的解析式,发现它们　　　　满足该函数解析式.(填“都”或“不都”)
(2)【问题解决】
地铁从减速开始,经过　　　　秒在停车线处停下.
(3)【拓展应用】
已知16号线地铁列车在该地铁站经历的过程如下:
进站:车头从进站那一刻起到停车线处停下,用时24秒;
停靠:列车停靠时长为40秒(即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒);
出站:列车再次启动到列车车头刚好出站,用时5秒.
数学小组经计算得知,在地铁列车出站过程中,列车车头离停车线的距离s(米)与时间t(秒)的函数关系式变为s=(t-80)2(80≤t≤100),请结合函数图像,求出该地铁站的长度是多少米.
26.[含评分细则](2023湖北十堰中考)(12分)已知抛物线y=ax2+bx+8过点B(4,8)和点C(8,4),与y轴交于点A.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接AB,BC,点D在线段AB上(与点A,B不重合),点F是OA的中点,连接FD,过点D作DE⊥FD交BC于点E,连接EF,当△DEF面积是△ADF面积的3倍时,求点D的坐标;
(3)如图2,点P是抛物线上对称轴右侧的点,H(m,0)是x轴正半轴上的动点,若线段OB上存在点G(与点O,B不重合),使得∠GBP=∠HGP=∠BOH,求m的取值范围.
　
答案全解全析
1.D　抛物线y=x2-x-2=-,故抛物线顶点C的坐标为,OC>>2,故点C在圆外.令y=0,则x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,∴A(-1,0),B(2,0),∴OA=1,OB=2,∴点A在☉O内,点B在☉O上,故选D.
2.B　由二次函数图像的顶点坐标可知抛物线的对称轴为直线x=-1,∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=0.5,x2,∴=-1,解得x2=-2.5,故选B.
3.B　∵PA、PB是☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠PAO=∠PBO=90°,∴∠P=360°-∠PAO-∠PBO-∠AOB=360°-90°-90°-128°=52°,故选B.
4.D　A.小球经过约1.02 s离地面的高度为10×1.02-4.9×1.022≈5.1(m),故选项错误,不符合题意;
B.小球离地面的高度为5 m时,时间约为0.88 s或1.16 s,故选项错误,不符合题意;
C.小球上抛约1.16 s离地面的高度为5 m,并将继续下降,故选项错误,不符合题意;
D.小球两次到达离地面高度为5 m的位置,其时间间隔约为1.16-0.88=0.28(s),故选项正确,符合题意.故选D.
5.D　关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标,
由题图可知函数图像过点(4,0),
∴-42+4m=0,∴m=4,∴y=-x2+4x.结合图像,在1故直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间(包括直线y=4),∴-56.C　∵点I是△ABC的内心,∴BI平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°,
∵∠BAC=40°,∴∠ABC=180°-90°-40°=50°,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°,
∴∠CAD=∠CBD=25°,故选C.
7.D　由题意可得y=300-10(x-44)=-10x+740,w=y×(x-40)=(-10x+740)(x-40).故选D.
8.C　由图像可知,抛物线对称轴为直线x=1,∴-=1,∴b=-2a,即2a+b=0,故①正确;
当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,∴b>a+c,故②错误;
由抛物线的对称性可知,当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,故③正确;
当x=1时,y取得最大值,为a+b+c,当x=m时,y=am2+bm+c,∴a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥m(am+b)(m为任意实数),故④正确;
由图像可知,y>1时,函数图像上找不到与之对应的x值,∴方程ax2+bx+c=n有实数根的条件是n≤1,故⑤正确.
综上所述,正确的结论有①③④⑤,共4个,故选C.
9.B　连接OA,OB,如图1,
图1
∵☉O与l1和l2分别相切于点A和点B,∴OA⊥l1,OB⊥l2,∵l1∥l2,∴点A,O,B三点共线,∴AB为☉O的直径,∴l1和l2之间的距离为2.
过N点作NH⊥AM于H,如图1,则NH=AB=2,
∵∠AMN=60°,∴sin 60°=,∴MN==.
图2
如图2,当MN与☉O相切时,设MN与☉O相切于E点,连接OE,OM,ON,OA,OB,
MN在AB左侧,易证△MAO≌△MEO,△ENO≌△BNO,∴∠AMO=∠EMO,∠ENO=∠BNO,
∴∠AMO=∠AMN=30°,∠BNO=∠BNM=(180°-∠AMN)=60°,
在Rt△AMO中,tan∠AMO=,∴AM==,
在Rt△OBN中,tan∠ONB=,∴BN==,
由此时N点的情况易得当MN在AB右侧与☉O相切时,AM=,∴AM的长为或.
当∠MON=90°时,作OE⊥MN于E,延长NO交l1于F,连接OA,OB,OM,如图3,
图3
易证△OAF≌△OBN,
∴OF=ON,∴MO垂直平分NF,∴MN=MF,∴MO平分∠NMF,∴OE=OA,即OE为☉O的半径,∴MN为☉O的切线,当MN在AB的右侧时同理可证.故选B.
10.B　∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点为A、D,其横坐标分别为3,-1,
∴可设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3),对称轴为直线x=1,
当x=1时,y=-4a,当x=0时,y=-3a,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-4a),与y轴的交点坐标为(0,-3a),
如图所示,∵图形L内部(不包含边界)恰有4个整点(横、纵坐标均为整数的点),
∴解得∴四个选项中只有B选项符合题意,
故选B.
11.y=2(x-1)2-3;(1,-3)
解析　二次函数图像平移规律:左加右减自变量,上加下减常数项.将抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,平移后得到一条新的抛物线y=2(x-1)2-3,其顶点坐标为(1,-3).
12.32
解析　连接OA,∵PA与☉O相切于点A,∴∠PAO=90°,∴∠O=90°-∠P=64°,∴∠C=∠O=32°.故答案为32.
13.10
解析　依题意,令y=0,即-x2+x+=0,
整理,得x2-8x-20=0,解得x1=10,x2=-2(舍去),
∴这名男生抛实心球的成绩是10 m.
14.(1)相似　(2)12
解析　本题综合考查了相似多边形和正六边形的定义与性质.
(1)∵正六边形的每个内角都等于120°,
∴原正六边形和新正六边形的内角都相等,
∵正六边形的边长都相等,
∴原正六边形和新正六边形的边长都成比例,
∴新的六边形与原六边形相似.
(2)如图所示,过C点作CB⊥AE于点B,过D点作DF⊥AE于点F,
易知∠CAB=60°,BC=,∴AB===1,
由题意易得BF=CD=2,EF=AB=1,
∴AE=AB+BF+EF=4,
∴新六边形的周长为4×6=24,
∵原六边形的周长为2×6=12,24-12=12,
∴扩张后六边形的周长比原来增加了12.
15.①③
解析　∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,c<0)经过A(-1,3),B(2,9)两点,
∴解得
∵c<0,∴5-2a<0,∴a>>0,∴b=2-a<0,
∴abc>0,故①正确.
将b=2-a,c=5-2a代入a+b+c,可得a+b+c=a+(2-a)+(5-2a)=7-2a,
当0;
当a≥时,a+b+c=7-2a≤0,
∴a+b+c>0不一定成立,即②不一定正确.
抛物线的对称轴为直线x=-=-=-,-<,∴对称轴在直线x=的左侧,
又∵a>>0,∴抛物线开口向上,∴当x>时,函数值y随x的增大而增大,故③正确.
故答案为①③.
16.相切
解析　如图,连接OE,CE,
∵BC为☉O的直径,∴∠BEC=90°,
∴CE⊥AB,
又AC=BC,
∴E为AB的中点,
又O为线段BC的中点,
∴OE为△ABC的中位线,
∴OE∥AC,∴∠AFE=∠OEF,
又EF⊥AC,∴∠AFE=90°,∴∠OEF=90°,
∴EF为☉O的切线.故答案为相切.
17.-3解析　ax2+bx+<0可变形为ax2+bx<-,
当y=-=1时,x=-3,
∴不等式的解集是反比例函数图像在二次函数图像上方部分所对应的x的取值范围,即-318.
解析　连接OB,∵BC是☉O的切线,
∴∠OBC=90°,
∵BC=OA=OB=1,∴△OBC是等腰直角三角形,
∴∠BCO=45°,∴∠ACO≤45°,
当△OAC是直角三角形时,分两种情况,
①∠AOC=90°,如图1,
由△OBC是等腰直角三角形可知OC=OB=,
∴AC===.
　
②∠OAC=90°,如图2,
OC是Rt△OAC的斜边,由①知OC=.
综上,斜边长为或.故答案为或.
19.y=x2-x-
解析　如图所示,当DE的长度最小时,D点必在对称轴x==1上,过点E作EF⊥AB于点F,则AF=BF,∴AD=BD,
∵BD为△ABC的边AC上的高线,∴∠ADB=90°,
∴DF=AB=×(3+1)=2.
当x=1时,y=-4a,
∵抛物线开口向上,∴a>0,∴EF=4a.
∵EF-DF=DE,DE=1,
∴4a-2=1,解得a=,
∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-x-,故答案为y=x2-x-.
20.3
解析　本题综合考查了抛物线、圆、相似三角形和两点间距离等知识.通过抛物线与坐标轴的交点求出圆的相关信息,并通过构造相似三角形求和两条线段长度相关的代数式的最小值.
如图所示,连接DA,DB,DC,DP,OD,过点D作DE⊥AB交AB于E,
∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),-x2+2x+3=-(x+1)(x-3),
∴A(-1,0),B(3,0),
∵☉D过A,B两点,
∴E是AB的中点,
∴E点的横坐标为1,假设D点的坐标为(1,y),易知C(0,3),
∵CD=BD,BD=,CD=,
∴=,
解得y=1,
∴D(1,1),∴OD==,BD==,
∵P点在☉D上,∴DP=BD=.
延长DO到F,使得DF=,连接PF,
∵直线DF经过点D(1,1),O(0,0),
∴直线DF的解析式是y=x,
∴OF=|xF|=|yF|,
∵OF=DF-OD=,∴|xF|=|yF|=,
∴F.
∵==,==,
∴=,又∵∠PDO=∠FDP,
∴△DOP∽△DPF,∴=,∴PF=PO,
∴PC+PO==(PC+PF),
∴当P,C,F三点共线时,PC+PO取得最小值,
为CF=×=3,故答案为3.
21.解析　(1)如图,连接OC,OD.
∵PC,PD为☉O的切线,
∴PC=PD,∠OCP=∠ODP=90°.1分
又∵OC=OD,
∴△OCP≌△ODP(SAS),
∴∠CPO=∠DPO,
∴∠CPA=∠CPD=36°,2分
在Rt△OCP中,∠COP=90°-∠CPA=54°,
∴∠A=∠COB=27°.4分
(2)如图,连接OD.
∵PD为☉O的切线,∴∠ODP=90°.5分
∵DP∥AC,∴∠P=∠BAC=38°,
∴∠AOD=∠ODP+∠P=90°+38°=128°.7分
∴∠ACD=∠AOD=64°.8分
22.解析　(1)∵k=1,∴y=x,
∴抛物线顶点的坐标为(3,3),1分
∴2分
解得3分
(2)依题意,抛物线顶点始终在直线y=kx(k≠0)上,顶点坐标为,
∴-=k×,5分
已知a≠0,b≠0,
对上式进行变形,得b=2k.6分
(3)∵k=6,∴b=2k=12,顶点在直线y=6k上,8分
∵对称轴为直线x=-=-=-,∴-是整数,
∴a=±1,±2,±3,±6,9分
∴当k=6时,这组抛物线中有8条会改变颜色.10分
23.解析　(1)设y=kx+b(k≠0),把x=20,y=360和x=30,y=60代入,可得2分
解得3分
则y=-30x+960(10≤x≤32).5分
(2)每月获得的利润=(-30x+960)(x-10)6分
=30(-x+32)(x-10)=30(-x2+42x-320)
=-30(x-21)2+3 630.8分
∵-30<0,
∴当x=21时,每月利润取得最大值,为3 630元.
答:当销售单价为21元时,每月获得的利润最大,最大利润为3 630元.10分
24.解析　(1)BD与☉O相切,1分
理由:如图1,连接OD,
∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE.
∵∠F=∠AEF,∴∠ODE=∠F,
∴OD∥AC,∴∠ODB=∠ACB,2分
∵DC⊥AF,∴∠ACB=90°,
∴∠ODB=∠ACB=90°,∴OD⊥BD,
∵OD是☉O的半径,∴BD与☉O相切.3分
　
(2)证明:如图2,连接AD,OD,
∵AE为直径,∴∠ADE=90°,
∵∠AEF=∠F,∴AE=AF,∴△AEF是等腰三角形,
∴ED=DF.4分
∵EH⊥BC,DC⊥AF,∴∠FCD=∠EHD=90°,
在△DEH和△DFC中,
∴△DEH≌△DFC(AAS),5分
∴EH=CF.6分
(3)如图3,连接OG,OD,过点O作OK⊥AC于点K,
则∠OKG=90°,
图3
∵∠ACB=90°,∴∠OKG+∠ACB=180°,
∴OK∥BC,∴∠AOK=∠B=30°,
∵AE=12,∴OA=6,
∴OK=OA·cos 30°=6×=3,8分
∵OA=OG,OK⊥AG,∴∠KOG=∠AOK=30°,
∴KG=OK·tan∠KOG=3×=3.
∵∠ODC=∠DCK=∠OKG=90°,
∴四边形ODCK是矩形,∴∠DOK=90°,
∴∠DOG=∠DOK-∠KOG=90°-30°=60°,9分
∴S阴影=S矩形ODCK-S扇形DOG-S△KOG,
=6×3--×3×3,
=-6π.10分
25.解析　(1)③观察题中函数图像,它可能是二次函数的图像(图像与坐标轴有交点,不可能是反比例函数图像).故选B.1分
④设函数解析式为s=at2+bt+c(a≠0),把(0,400),(4,324),(8,256)代入,
可得解得
∴s=t2-20t+400.3分
⑤当t=12时,s=×122-20×12+400=196;
当t=16时,s=×162-20×16+400=144;
当t=20时,s=×202-20×20+400=100;
当t=24时,s=×242-20×24+400=64;
当t=28时,s=×282-20×28+400=36.
故答案为都.5分
(2)令s=0,即t2-20t+400=0,解得t1=t2=40,
∴地铁从减速开始,经过40秒在停车线处停下.
故答案为40.6分
(3)由题意可得:地铁从减速开始,经过40秒在停车线处停下.车头从进站那一刻起到停车线处停下,用时24秒,
∴当t=16时,列车开始进站,由题表可知此时s=144,
∴列车进站口到停车线的距离为144米,8分
∵在地铁列车出站过程中,列车车头离停车线的距离s(米)与时间t(秒)的函数关系式变为s=(t-80)2(80≤t≤100),列车再次启动到列车车头刚好出站用时5秒,
∴当t=85时,s=×(85-80)2=12.5,
即停车线到列车出站口的距离为12.5米,9分
∴该地铁站的长度为144+12.5=156.5(米).10分
26.解析　(1)∵抛物线y=ax2+bx+8过点B(4,8)和点C(8,4),
∴1分
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+8.2分
(2)易知A(0,8),则OA=8,
∵B(4,8),∴AB∥x轴,AB=4,
∵点F是OA的中点,∴F(0,4),
∴AB=AF=4,
设直线BC的解析式为y=kx+d(k≠0),
把点B(4,8)和点C(8,4)的坐标代入,
得解得
∴直线BC的解析式为y=-x+12,3分
设E(m,-m+12)(4如图所示,过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G,则∠G=90°,G的坐标为(m,8),
∴GE=8-(-m+12)=m-4,BG=m-4,
∴BG=GE,∴△BGE是等腰直角三角形,4分
设D(t,8)(0∵DE⊥FD,∴∠FDE=90°,
∵∠FAD=∠G=∠FDE=90°,
∴∠AFD=90°-∠ADF=∠GDE,∴△AFD∽△GDE,
∴=,∴=,整理,得(t-4)m=(t-4)(t+4),5分
∵t-4≠0,∴m=t+4,即m-t=4,
∴DG=AF,∴△AFD≌△GDE,
∴DF=DE,又DE⊥DF,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴△DEF的面积为DF2,6分
∵△ADF的面积为AD×AF,△DEF的面积是△ADF面积的3倍,∴DF2=AD×AF×3,
化简,得DF2=12AD=12t.
在Rt△ADF中,DF2=AD2+AF2=t2+42,
∴t2+42=12t,解得t=6-2或t=6+2(舍去),
∴D(6-2,0).7分
(3)∵∠GBP=∠HGP=∠BOH,∠OGP=∠OGH+∠HGP=∠GBP+∠BPG,
∴∠OGH=∠BPG,∴△OGH∽△BPG,
∴=,8分
设BP交x轴于点S,过点B作BT⊥x轴于点T,如图,
∵∠GBP=∠BOH,
∴SB=SO,
由B(4,8)得OT=4,BT=8,∴OB==4,
设BS=OS=k,则TS=k-4,
在Rt△TBS中,SB2=ST2+BT2,
∴k2=(k-4)2+82,解得k=10,∴S(10,0),
设直线BS的解析式为y=ex+f(e≠0),
代入B,S的坐标,有解得
∴直线BS的解析式为y=-x+,9分
联立直线BS和抛物线,有
解得或
∴P,10分
∴PB==,
设OG=n,则BG=OB-OG=4-n,∵=,
∴=,
整理,得m=-=-n2+n=-(n-2)2+,11分
∵G在线段OB上(与点O,B不重合),
∴0∴当n=2时,m取得最大值,为,
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