29.4 切线长定理课时练（含解析）

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2024冀教版数学九年级下学期
第二十九章　直线与圆的位置关系
29.4　切线长定理*
基础过关全练
知识点1　切线长定理
1.【教材变式·P14T3】如图,四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA分别与☉O相切于点E,F,G,H,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为　　　　.
2.【新考向·尺规作图】【新课标例76变式】下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程.
已知:☉O及☉O外一点P.
求作:☉O的一条切线,且这条切线经过点P.
(1)根据小芸尺规作图的痕迹补全作法.
作法:①连接OP,作OP的　　　　l,交OP于点A;
②以点　　　　为圆心,　　　　为半径作圆,交☉O于点M(两个);
③作直线PM,则直线PM即为☉O的切线.
(2)①结合作法证明PM1为☉O的切线;
②由作图知过圆外一点作已知圆的切线可作两条,且PM1　　　　PM2.
知识点2　三角形的内切圆
3.【河北常考·尺规作图】(2023河北石家庄四十二中模拟)小雨同学要找到三角形的内心,根据下列各图中尺规作图的痕迹,可用直尺成功找到此点的是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
4.【中华优秀传统文化】(2022湖南娄底中考)如图,等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是 (　　)
A.π　　　　B.　　　　C.π　　　　D.
5.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是△ABC的内切圆,三个切点分别为D,E,F,若BF=2,AF=3,则△ABC的面积是　　　　.
6.如图,在△ABC中,点O是△ABC的内心,连接OB,OC.过点O作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F.若AB=5,AC=6,求△AEF的周长.
7. 如图,AB=AC,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,连接DE、CD,CD交☉O于点G,连接EG并延长交BC于H.
(1)求证:DE∥BC;
(2)连接AG,若EH⊥BC,求sin∠DAG的值.
能力提升全练
8.【新考法】(2023河北石家庄长安质检,11,★☆☆)如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕AD.将△ABC再次折叠,使BC边落在BA边上,展开后得到折痕BE,BE,AD交于点O,则以下结论一定成立的是 (　　)
A.AO=2OD
B.S△ABO=S四边形ODCE
C.点O到△ABC三边的距离相等
D.点O到△ABC三个顶点的距离相等
9.(2023江苏南通海门一模,23,★☆☆)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,∠BAC=30°.
(1)求∠P的度数;
(2)若AC=6,计算图中阴影部分的面积.
素养探究全练
10.【几何直观】(2023辽宁抚顺东洲三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O与BC,AC分别相切于点E,F,BO平分∠ABC,连接OA.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若BE=AC=3,☉O的半径是1,求图中阴影部分的面积.
答案全解全析
基础过关全练
1.50
解析　∵四边形ABCD的四边分别与☉O相切,
∴AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,
∴AD+BC=AB+CD=25,
∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=25+25=50,故答案为50.
2.解析　(1)答案为垂直平分线;A;OA(或AP)的长.
(2)①证明:连接OM1,根据作图过程可知OP为☉A的直径,
∴∠OM1P=90°,∴OM1⊥PM1,又∵OM1为☉O的半径,∴PM1为☉O的切线.
②=.
3.B　三角形内心为三角形内角平分线的交点,选项B中作了三角形两个内角的平分线.故选B.
4.A　设内切圆与BC相切于点D,内切圆的圆心为O,连接AD,OB,如图,易知圆中黑色部分的面积是圆面积的一半,
令BC=2a,则BD=a,
在等边三角形ABC中,
AD⊥BC,BO平分∠ABC,
∴∠OBD=∠ABC=30°,
由勾股定理,得AD==a,
在Rt△BOD中,OD=BD×tan 30°=a,
∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比为=π.故选A.
5.6
解析　连接DO,EO,
∵☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∴OE⊥AC,OD⊥BC,OD=OE,BD=BF=2,AF=AE=3,又∵∠C=90°,∴四边形OECD是矩形,又∵EO=DO,∴矩形OECD是正方形,设EO=x,则EC=CD=x,在Rt△ABC中,BC2+AC2=AB2,即(x+2)2+(x+3)2=52,解得x=1(舍负),∴BC=3,AC=4,∴S△ABC=×3×4=6,故答案为6.
6.解析　∵点O是△ABC的内心,
∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO.
∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,
∴∠ABO=∠EOB,∠ACO=∠FOC,
∴BE=OE,CF=OF,∴△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=11.
7.解析　 (1)证明:如图,O为内切圆的圆心.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∵AB、AC切☉O于点D、E,
∴AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∵2∠ADE+∠DAE=180°,2∠B+∠BAC=180°,
∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC.
(2)如图,连接DF.∵EH⊥BC,DE∥BC,∴EH⊥DE,∴DG是☉O的直径,
∵FC、CE是☉O的切线,
∴∠DCF=∠DCE,
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠DCF,
∴∠EDC=∠ECD,∴DE=EC=CF,同法可证BD=BF=CE=DE=CF,
∵DE∥BC,DE=BC,∴DE是△ABC的中位线,
∴AD=BD=BF=CF,
∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠ECG=∠EDC=30°,∠CEG=90°-∠ACB=30°,∴∠CEG=∠ECG,∴GE=GC.设GE=GC=m,则DG=2EG=2m,∴CD=DG+CG=3m,∴AD=CD·tan∠ECD=m,
∴AG===m,
∴sin∠DAG==.
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8.C　结合角平分线的探究过程求三角形的内心.
由题意知AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,点O为△ABC的内切圆的圆心,
即点O到△ABC三边的距离相等,故C选项符合题意.其他选项的结论通过现有条件均无法推出.故选C.
9.解析　(1)如图,连接OB,
∵PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∴∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,
∵∠BAO=30°,∴∠PAB=90°-30°=60°,∴△PAB是等边三角形,∴∠APB=60°.
(2)如图,连接OP,
∵OP=OP,OA=OB,∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL),∴S△AOP=S△BOP,∠OPA=∠OPB=30°,∴∠AOP=∠BOP=60°,∴∠AOB=120°,∵AC=6,∴OA=AC=3,∴AP=OA=3,∴S△AOP=AO·AP=×3×3=.∵S扇形AOB==3π,
∴S阴影=2×S△AOP-S扇形AOB=9-3π.
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10.解析　(1)证明:如图,连接OE,OF,过点O作OD⊥AB于点D,
∵BC与☉O相切于点E,
∴OE⊥BC,∵BO是∠ABC的平分线,∴OD=OE,∴OD是☉O的半径,∴AB是☉O的切线.
(2)解法一:∵∠OEC=∠OFC=∠C=90°,OE=OF,
∴四边形OECF是正方形,∴EC=OE=1,∴BC=4,∴AB===5,由(1)得OD=OE=OF,∴AO平分∠BAC,
∴∠AOB=180°-(∠ABC+∠BAC)=180°-(180°-∠ACB)=180°-×(180°-90°)=135°,
设AO,BO与☉O交于点G,H,则S阴影=S△AOB-S扇形GOH=×5×1-=-.
解法二:同解法一可知四边形OECF是正方形,
∴∠EOF=90°,EC=OE=1,∴BC=4,∵AB,BC是☉O的切线,∴∠BEO=∠BDO=90°,BD=BE.
又∵BO=BO,∴△ODB≌△OEB,
同理可证△ODA≌△OFA,
∴S阴影=(S△ABC-S正方形OECF-S优弧EDF所对的扇形)
=×=-.
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