32.1 投影课时练（含解析）
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2024冀教版数学九年级下学期
第三十二章 投影与视图
32.1 投 影
基础过关全练
知识点1 平行投影
1.【数学文化】如图,日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器,晷针在晷面上所形成的投影属于 投影.
知识点2 正投影
2.【新独家原创】如图所示,当投影线由上到下照射该几何体时,几何体的正投影是 ( )
A B C D
知识点3 平行投影的应用
3.小刚身高1.7 m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为1.11 m,那么小刚举起的手臂超出头顶 .
4.如图,小华想利用太阳光测量楼AB的高,他带着尺子来到楼下,发现地面和对面斜坡(坡角为45°)上都有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:先测得在此时刻1.2 m高的物体垂直于地面放置时,影长是1 m;楼AB落在地面上的影长AD=20 m,落在斜坡上的影长CD=12 m,请你帮小华求出楼AB的高.
知识点4 中心投影
5.下列属于中心投影的有 ( )
①中午用来乘凉的树影;②灯光下小明读书的影子;③晚上10点时,走在路灯下的人的影子;④升国旗时,地上旗杆的影子;⑤用投影仪放电影时在幕布上的画面.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.【社会主义先进文化】在乡村振兴中,农村也装上了路灯,照亮了村民夜晚回家的路.某天夜晚,一棵树和某人在路灯照射下的影子如图所示,则路灯的位置为( )
A.a处 B.b处
C.c处 D.d处
知识点5 中心投影的性质
7.晚上,在一间屋子的屋顶上挂着一盏白炽灯,在它的正下方有一个球,有下列说法:(1)球在地面上的影子是圆;(2)当球向上移动时,它的影子会变大;(3)当球向下移动时,它的影子会变大;(4)当球向上或向下移动时,它的影子大小不变.其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.如图,小芸用灯泡O照射一个平行于墙的矩形相框ABCD,在墙上形成影子矩形A'B'C'D'.现测得OA=20 cm,OA'=50 cm,相框ABCD的面积为80 cm2,则影子矩形A'B'C'D'的面积为 cm2.
9.【数学文化】我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法,至今仍有借鉴意义.如图1,身高1.5 m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步,他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度,具体作法如下:先从路灯底部A向东走20步到M处,发现自己的影子端点落在点P处,作好记号后,继续沿之前的方向走4步恰好到达点P处,此时影子的端点在点Q处,已知小王和灯柱的底端在同一水平线上,小王的步间距保持一致.
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置.
(2)估计路灯AO的高,并求影长PQ的步数.
(3)无论点光源还是视线,其本质是相同的,日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题.如图2,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.测得DF=0.5 m,EF=0.3 m,CD=10 m,小明的眼睛到地面的距离为1.5 m,则树高AB为 m.
知识点6 中心投影与平行投影的联系与区别
10.【教材变式·P93A组T2】如图所示的是两根标杆在地面上的影子,根据这些投影,在灯光下形成的影子是 ( )
A.①和② B.②和④
C.③和④ D.②和③
能力提升全练
11.(2023河北石家庄四十二中模拟,10,★☆☆)如图,小明在A时测得某树的影长为3 m,B时又测得该树的影长为2 m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 ( )
A. m B.2 m C.6 m D. m
12.(2023山东枣庄中考,8,★☆☆)如图,太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若∠1=44°,则∠2的度数为 ( )
A.14° B.16° C.24° D.26°
13.(2022浙江杭州中考,14,★☆☆)某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18 m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47 m,则AB= m.
14.(2023河北石家庄四十中二模,23,★★☆)问题背景:在某次活动课中,甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得学校旗杆的影长为900 cm,在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为53°.乙组:如图2,在同一时刻,测得校园景观灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200 cm,影长为156 cm.
任务要求:
(1)请根据以上信息计算出学校旗杆的高度;
(2)如图2,设太阳光线NH与☉O相切于点M,请根据以上信息,求景观灯灯罩的半径(景观灯的影长等于线段NG的影长).参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈
素养探究全练
15.【几何直观】【项目式学习试题】根据收集的素材,探索完成任务,展示成果与反思.
素材1:为了了解房屋南北楼间距对采光的影响,经查资料:南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离,按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离(即最小楼间距),最小楼间距d=(h1表示南面房屋顶部至地面高度,h2表示北面房屋最底层窗台至地面高度,α表示某地冬至日正午时的太阳高度角,h1,h2单位为m).
素材2:温州某开发区一期有若干幢大厦,每幢最底层窗台到地面高度均为1.2 m.其中有南北两幢大厦,位于南侧的大厦共有15层,每层高为2.8 m,小明根据冬至日正午的太阳高度角,算得南北两幢大厦最小楼间距为51 m.
素材3:小明住在一期某大厦,因该开发区进行二期开发,在她家南向新建了一幢大厦,她在自家离地面32 m高的窗台C处测得大厦顶部E的仰角为15.75°和大厦底部A的俯角为30°(如图所示).
(参考数据:tan 15.75°≈0.282,≈1.73)
【任务探究】
(1)任务1:该开发区冬至日正午时的太阳高度角为α,求tan α的值.
(2)任务2:该开发区二期新建的大厦高度约为多少 (结果精确到0.1 m)【成果与反思】
(3)二期新建的大厦共有17层,每层楼高都相等.按国家规范设计冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时满窗日照的标准,请通过计算判断二期开发是否违规,如违规,请计算至少需要拆除几层才能符合国家规范设计.
答案全解全析
基础过关全练
1.平行
解析 因为太阳光属于平行光线,而日晷利用日影测定时刻,所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影.故答案为平行.
2.D 根据题意知,当投影线由上到下照射几何体时,几何体的正投影应是两个圆.故选D.
3.0.52 m
解析 如图,由题意得AC∥DE,
AB=1.7 m,BC=0.85 m,BD=1.11 m,
∴CD=BD-BC=1.11-0.85
=0.26(m),
∵AC∥DE,∴=,∴=,∴AE=0.52 m.故答案为0.52 m.
4.解析 如图,过点C作CM⊥AB于点M,作CN⊥AD交AD的延长线于点N,
则四边形AMCN是矩形,
∴AM=CN,AN=CM,
∵∠CDN=45°,CD=12 m,∴CN=CD·sin 45°=6 m,DN=CD·cos 45°=6 m,∴AM=6 m,∵AD=20 m,∴CM=AN=AD+DN=(20+6)m,∵测得在此时刻1.2 m高的物体垂直于地面放置时,影长是1 m,∴=,∴=1.2,解得BM=(24+7.2)m,则AB=AM+BM=(24+13.2)m.
答:楼AB的高为(24+13.2)m.
5.C 根据中心投影的定义,找到光源是解题的关键.②③⑤的光源射出的光线不是平行的,①④的光源均为太阳,所以②③⑤属于中心投影,故选C.
6.B 树的顶端和其影子顶端所在的直线与人物头顶和其影子顶端所在直线交于b处,可知路灯应该在b处.故选B.
7.C 在此中心投影中,物体距离点光源越近形成的影子越大,反之越小.(1)因为点光源在球的正上方,所以影子是圆,正确;(2)球向上移动,靠近点光源,影子变大,正确;(3)球向下移动,远离点光源,影子变小,错误;(4)影子的大小与距离点光源的远近有关系,错误.故选C.
8. 500
解析 由题意知△AOB∽△A'OB',∴OA∶OA'=AB∶A'B'=2∶5,∴矩形ABCD的面积∶矩形A'B'C'D'的面积=4∶25,又矩形ABCD的面积为80 cm2,
∴则矩形A'B'C'D'的面积为500 cm2.故答案为500.
9.解析 (1)路灯O和影子端点Q的位置如图所示.
(2)∵MN∥OA,∴△PMN∽△PAO,∴=,即=,解得OA=9.∵PB∥OA,∴△QPB∽△QAO,∴=,即=,解得PQ=,
∴路灯AO的高为9 m,影长PQ为步.
(3)过点D作垂直于地面的直线,交地面于点G,易知四边形ACDG是矩形,
∵DF=0.5 m,EF=0.3 m,∠DEF=90°,
∴DE==0.4 m,∴tan∠EDF===,∴tan∠BDC===,∴BC=7.5 m,∵四边形ACDG是矩形,∴DG=AC=1.5 m,∴AB=AC+BC=1.5+7.5=9(m),
故答案为9.
10.D 连接并延长每个标杆影子的末端与标杆的顶端,射线相交的是灯光下形成的影子,不相交的不是灯光下形成的影子.故选D.
能力提升全练
11.A 设题中两垂直光线的交点为F,∵CF⊥EF,∴∠CFD+∠EFD=90°,∵FD⊥CE,∴∠FCD+∠CFD=90°,∴∠EFD=∠FCD,∵∠FDC=∠FDE=90°,∴△CDF∽△FDE,∴=,∵CD=2,DE=3,∴=,解得DF=(舍负),∴树的高度为 m,故选 A.
12.B 如图:
∵正六边形的一个外角的度数为=60°,
∴正六边形的一个内角的度数为180°-60°=120°,即∠4=60°,∠2+∠5=120°,
∵太阳光线是平行的,∠1=44°,∴∠3=∠1=44°,∴∠5=∠3+∠4=104°,∴∠2=120°-∠5=16°.
故选B.
13.9.88
解析 ∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,
∵∠ABC=∠DEF=90°,∴Rt△ABC∽Rt△DEF,
∴=,即=,解得AB=9.88 m,
即AB的长为9.88 m.
14.解析 (1)在Rt△DEF中,∠EFD=53°,DF=900 cm,∴ED=DF·tan 53°≈900×=1 200(cm)=12(m),∴学校旗杆的高度约为12 m.
(2)连接OM,由题意得∠NHG=∠EFD=53°.
在Rt△NGH中,GH=156 cm,
∴NG=GH·tan 53°≈156×=208(cm),
∴NK=NG-GK=8 cm,
设景观灯灯罩的半径为 r cm,
在Rt△NGH中,NH==260,
∵太阳光线 NH与☉O相切于点M,
∴∠OMN=90°,∴∠OMN=∠NGH=90°,
∵∠MNO=∠GNH,∴△NMO∽△NGH,
∴=,∴=,∴r=12,
∴景观灯灯罩的半径为12 cm.
素养探究全练
15.解析 (1)由公式得51=,∴tan α=0.8.
(2)由题意得AF=BC=32 m,
∴AB=FC==32≈55.36 m,
∴EF=FC·tan 15.75°≈15.6 m,
∴大厦高AE=15.6+32=47.6(m).
(3)最小楼间距d==58>55.36,
∴二期开发存在违规建设.
设应拆除x个楼层,而每个楼层高47.6÷17=2.8(m),则≤55.36,解得x≥0.75,
∵x为正整数,∴x至少为1,
∴至少要拆除1个楼层.
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第三十二章 投影与视图
32.1 投 影
基础过关全练
知识点1 平行投影
1.【数学文化】如图,日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器,晷针在晷面上所形成的投影属于 投影.
知识点2 正投影
2.【新独家原创】如图所示,当投影线由上到下照射该几何体时,几何体的正投影是 ( )
A B C D
知识点3 平行投影的应用
3.小刚身高1.7 m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为1.11 m,那么小刚举起的手臂超出头顶 .
4.如图,小华想利用太阳光测量楼AB的高,他带着尺子来到楼下,发现地面和对面斜坡(坡角为45°)上都有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:先测得在此时刻1.2 m高的物体垂直于地面放置时,影长是1 m;楼AB落在地面上的影长AD=20 m,落在斜坡上的影长CD=12 m,请你帮小华求出楼AB的高.
知识点4 中心投影
5.下列属于中心投影的有 ( )
①中午用来乘凉的树影;②灯光下小明读书的影子;③晚上10点时,走在路灯下的人的影子;④升国旗时,地上旗杆的影子;⑤用投影仪放电影时在幕布上的画面.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.【社会主义先进文化】在乡村振兴中,农村也装上了路灯,照亮了村民夜晚回家的路.某天夜晚,一棵树和某人在路灯照射下的影子如图所示,则路灯的位置为( )
A.a处 B.b处
C.c处 D.d处
知识点5 中心投影的性质
7.晚上,在一间屋子的屋顶上挂着一盏白炽灯,在它的正下方有一个球,有下列说法:(1)球在地面上的影子是圆;(2)当球向上移动时,它的影子会变大;(3)当球向下移动时,它的影子会变大;(4)当球向上或向下移动时,它的影子大小不变.其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.如图,小芸用灯泡O照射一个平行于墙的矩形相框ABCD,在墙上形成影子矩形A'B'C'D'.现测得OA=20 cm,OA'=50 cm,相框ABCD的面积为80 cm2,则影子矩形A'B'C'D'的面积为 cm2.
9.【数学文化】我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法,至今仍有借鉴意义.如图1,身高1.5 m的小王晚上在路灯灯柱AH下散步,他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度,具体作法如下:先从路灯底部A向东走20步到M处,发现自己的影子端点落在点P处,作好记号后,继续沿之前的方向走4步恰好到达点P处,此时影子的端点在点Q处,已知小王和灯柱的底端在同一水平线上,小王的步间距保持一致.
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置.
(2)估计路灯AO的高,并求影长PQ的步数.
(3)无论点光源还是视线,其本质是相同的,日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题.如图2,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.测得DF=0.5 m,EF=0.3 m,CD=10 m,小明的眼睛到地面的距离为1.5 m,则树高AB为 m.
知识点6 中心投影与平行投影的联系与区别
10.【教材变式·P93A组T2】如图所示的是两根标杆在地面上的影子,根据这些投影,在灯光下形成的影子是 ( )
A.①和② B.②和④
C.③和④ D.②和③
能力提升全练
11.(2023河北石家庄四十二中模拟,10,★☆☆)如图,小明在A时测得某树的影长为3 m,B时又测得该树的影长为2 m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 ( )
A. m B.2 m C.6 m D. m
12.(2023山东枣庄中考,8,★☆☆)如图,太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若∠1=44°,则∠2的度数为 ( )
A.14° B.16° C.24° D.26°
13.(2022浙江杭州中考,14,★☆☆)某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18 m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47 m,则AB= m.
14.(2023河北石家庄四十中二模,23,★★☆)问题背景:在某次活动课中,甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得学校旗杆的影长为900 cm,在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为53°.乙组:如图2,在同一时刻,测得校园景观灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200 cm,影长为156 cm.
任务要求:
(1)请根据以上信息计算出学校旗杆的高度;
(2)如图2,设太阳光线NH与☉O相切于点M,请根据以上信息,求景观灯灯罩的半径(景观灯的影长等于线段NG的影长).参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈
素养探究全练
15.【几何直观】【项目式学习试题】根据收集的素材,探索完成任务,展示成果与反思.
素材1:为了了解房屋南北楼间距对采光的影响,经查资料:南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离,按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离(即最小楼间距),最小楼间距d=(h1表示南面房屋顶部至地面高度,h2表示北面房屋最底层窗台至地面高度,α表示某地冬至日正午时的太阳高度角,h1,h2单位为m).
素材2:温州某开发区一期有若干幢大厦,每幢最底层窗台到地面高度均为1.2 m.其中有南北两幢大厦,位于南侧的大厦共有15层,每层高为2.8 m,小明根据冬至日正午的太阳高度角,算得南北两幢大厦最小楼间距为51 m.
素材3:小明住在一期某大厦,因该开发区进行二期开发,在她家南向新建了一幢大厦,她在自家离地面32 m高的窗台C处测得大厦顶部E的仰角为15.75°和大厦底部A的俯角为30°(如图所示).
(参考数据:tan 15.75°≈0.282,≈1.73)
【任务探究】
(1)任务1:该开发区冬至日正午时的太阳高度角为α,求tan α的值.
(2)任务2:该开发区二期新建的大厦高度约为多少 (结果精确到0.1 m)【成果与反思】
(3)二期新建的大厦共有17层,每层楼高都相等.按国家规范设计冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时满窗日照的标准,请通过计算判断二期开发是否违规,如违规,请计算至少需要拆除几层才能符合国家规范设计.
答案全解全析
基础过关全练
1.平行
解析 因为太阳光属于平行光线,而日晷利用日影测定时刻,所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影.故答案为平行.
2.D 根据题意知,当投影线由上到下照射几何体时,几何体的正投影应是两个圆.故选D.
3.0.52 m
解析 如图,由题意得AC∥DE,
AB=1.7 m,BC=0.85 m,BD=1.11 m,
∴CD=BD-BC=1.11-0.85
=0.26(m),
∵AC∥DE,∴=,∴=,∴AE=0.52 m.故答案为0.52 m.
4.解析 如图,过点C作CM⊥AB于点M,作CN⊥AD交AD的延长线于点N,
则四边形AMCN是矩形,
∴AM=CN,AN=CM,
∵∠CDN=45°,CD=12 m,∴CN=CD·sin 45°=6 m,DN=CD·cos 45°=6 m,∴AM=6 m,∵AD=20 m,∴CM=AN=AD+DN=(20+6)m,∵测得在此时刻1.2 m高的物体垂直于地面放置时,影长是1 m,∴=,∴=1.2,解得BM=(24+7.2)m,则AB=AM+BM=(24+13.2)m.
答:楼AB的高为(24+13.2)m.
5.C 根据中心投影的定义,找到光源是解题的关键.②③⑤的光源射出的光线不是平行的,①④的光源均为太阳,所以②③⑤属于中心投影,故选C.
6.B 树的顶端和其影子顶端所在的直线与人物头顶和其影子顶端所在直线交于b处,可知路灯应该在b处.故选B.
7.C 在此中心投影中,物体距离点光源越近形成的影子越大,反之越小.(1)因为点光源在球的正上方,所以影子是圆,正确;(2)球向上移动,靠近点光源,影子变大,正确;(3)球向下移动,远离点光源,影子变小,错误;(4)影子的大小与距离点光源的远近有关系,错误.故选C.
8. 500
解析 由题意知△AOB∽△A'OB',∴OA∶OA'=AB∶A'B'=2∶5,∴矩形ABCD的面积∶矩形A'B'C'D'的面积=4∶25,又矩形ABCD的面积为80 cm2,
∴则矩形A'B'C'D'的面积为500 cm2.故答案为500.
9.解析 (1)路灯O和影子端点Q的位置如图所示.
(2)∵MN∥OA,∴△PMN∽△PAO,∴=,即=,解得OA=9.∵PB∥OA,∴△QPB∽△QAO,∴=,即=,解得PQ=,
∴路灯AO的高为9 m,影长PQ为步.
(3)过点D作垂直于地面的直线,交地面于点G,易知四边形ACDG是矩形,
∵DF=0.5 m,EF=0.3 m,∠DEF=90°,
∴DE==0.4 m,∴tan∠EDF===,∴tan∠BDC===,∴BC=7.5 m,∵四边形ACDG是矩形,∴DG=AC=1.5 m,∴AB=AC+BC=1.5+7.5=9(m),
故答案为9.
10.D 连接并延长每个标杆影子的末端与标杆的顶端,射线相交的是灯光下形成的影子,不相交的不是灯光下形成的影子.故选D.
能力提升全练
11.A 设题中两垂直光线的交点为F,∵CF⊥EF,∴∠CFD+∠EFD=90°,∵FD⊥CE,∴∠FCD+∠CFD=90°,∴∠EFD=∠FCD,∵∠FDC=∠FDE=90°,∴△CDF∽△FDE,∴=,∵CD=2,DE=3,∴=,解得DF=(舍负),∴树的高度为 m,故选 A.
12.B 如图:
∵正六边形的一个外角的度数为=60°,
∴正六边形的一个内角的度数为180°-60°=120°,即∠4=60°,∠2+∠5=120°,
∵太阳光线是平行的,∠1=44°,∴∠3=∠1=44°,∴∠5=∠3+∠4=104°,∴∠2=120°-∠5=16°.
故选B.
13.9.88
解析 ∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,
∵∠ABC=∠DEF=90°,∴Rt△ABC∽Rt△DEF,
∴=,即=,解得AB=9.88 m,
即AB的长为9.88 m.
14.解析 (1)在Rt△DEF中,∠EFD=53°,DF=900 cm,∴ED=DF·tan 53°≈900×=1 200(cm)=12(m),∴学校旗杆的高度约为12 m.
(2)连接OM,由题意得∠NHG=∠EFD=53°.
在Rt△NGH中,GH=156 cm,
∴NG=GH·tan 53°≈156×=208(cm),
∴NK=NG-GK=8 cm,
设景观灯灯罩的半径为 r cm,
在Rt△NGH中,NH==260,
∵太阳光线 NH与☉O相切于点M,
∴∠OMN=90°,∴∠OMN=∠NGH=90°,
∵∠MNO=∠GNH,∴△NMO∽△NGH,
∴=,∴=,∴r=12,
∴景观灯灯罩的半径为12 cm.
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15.解析 (1)由公式得51=,∴tan α=0.8.
(2)由题意得AF=BC=32 m,
∴AB=FC==32≈55.36 m,
∴EF=FC·tan 15.75°≈15.6 m,
∴大厦高AE=15.6+32=47.6(m).
(3)最小楼间距d==58>55.36,
∴二期开发存在违规建设.
设应拆除x个楼层,而每个楼层高47.6÷17=2.8(m),则≤55.36,解得x≥0.75,
∵x为正整数,∴x至少为1,
∴至少要拆除1个楼层.
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