2024鲁教版五四制数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(四)与扇形有关的不规则图形面积的计算课时练（含解析）

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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
圆
专项素养综合全练(四) 与扇形有关的不规则图形面积的计算
方法一　和差法
1.(2023江苏连云港中考)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是(　　)
A.π-20　　　B.π-20
C.20π　　　D.20
第1题图
第2题图
2.(2022山东淄博博山二模)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C,D,O都在格点(小正方形的顶点)上,和所在圆的圆心均为点O,则阴影部分的面积为(　　)
A.-2　　　　B.π-2　　　　C.2π　　　　D.π
3.(2020四川攀枝花中考)如图,直径AB=6的半圆绕B点顺时针旋转30°,此时点A到了点A'的位置,则图中阴影部分的面积是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.π　　　　D.3π
第3题图
第4题图
4.(2023四川广安中考)如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点A为圆心,AC为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AB于点F,则图中阴影部分的面积是(　　)
A.π-2　　　　B.2π-2　　　　C.2π-4　　　　D.4π-4
5.(2022河南中考)如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为　　　　.
6.如图,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=120°,以点A为圆心,1为半径作弧,分别交AB、AC于点D、E,以点C为圆心,3为半径作弧,分别交AC、BC于点A、F.若图中阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1-S2的值为　　　　.
7.(2023湖北十堰中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,以O为圆心,OA为半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且点E是弧DF的中点.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若CE=,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
方法二　割补法
8.【一题多解】(2023山东泰安岱岳一模)如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为(　　)
A.π　　　　B.π-2　　　　C.π+2　　　　D.π+4
9.(2022贵州遵义中考)如图,在正方形ABCD中,AC和BD交于点O,过点O的直线EF交AB于点E(E不与A,B重合),交CD于点F.以点O为圆心,OC长为半径的圆交直线EF于点M,N.若AB=1,则图中阴影部分的面积为(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
10.(2023山东济南历下一模)如图,已知扇形AOB,点D在上,将扇形沿直线CD折叠,点A恰好落在点O处,作DE⊥DA交OB于点E,若∠AOB=150°,OA=4,则图中阴影部分的面积是　　　.
11.(2022四川广元中考)如图,将☉O沿弦AB折叠,恰经过圆心O,若AB=2,则阴影部分的面积为　　　　.
方法三　等积变形法
12.(2020山东泰安中考)如图,点O是半圆圆心,BE是半圆的直径,点A,D在半圆上,且AD∥BO,∠ABO=60°,AB=8,过点D作DC⊥BE于点C,则阴影部分的面积是　　　　.
13.(2023山东枣庄中考)如图,AB为☉O的直径,点C是的中点,过点C作射线BD的垂线,垂足为E.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若BE=3,AB=4,求BC的长;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积(用含有π的式子表示).
答案全解全析
1.D　如图,连接BD,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,∴BD是直径,即BD过点O.
在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2.
∴S阴影=S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD-S以BD为直径的圆
=π×+π×+4×5-π×
=(AD2+AB2-BD2)+20=20.故选D.
2.D　连接OC、OD(图略),由图形可知,阴影部分的面积=扇形AOB的面积+△OBD的面积-△ACO的面积-扇形COD的面积=扇形AOB的面积-扇形COD的面积=-=π.故选D.
3.D　∵半圆AB绕B点顺时针旋转30°,
∴S阴影=S半圆A'B+S扇形ABA'-S半圆AB=S扇形ABA'==3π.故选D.
4.C　在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴∠A=∠B=45°.
∴阴影部分的面积=S扇形CAE+S扇形CBF-S△ABC=×2-×2×2=2π-4.故选C.
5.答案+
解析如图,设O'A'交于点T,连接OT.
∵OT=OB=OA=2,OO'=O'B=OB=1,
∴OT=2OO'.又∵∠OO'T=90°,
∴∠O'TO=30°,∴∠TOO'=60°.
∴O'T=OT·sin∠TOO'=.
∴S阴影=S扇形A'O'B'-(S扇形TOB-S△OTO')
=-=+.
6.答案-
解析∵在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
过A作AH⊥BC于H(图略),∵AB=3,
∠B=30°,∴AH=,∴BH=,∴BC=3,
∵△ABC的面积=扇形ACF的面积+扇形DAE的面积-S2+S1,
∴S1-S2=△ABC的面积-扇形ACF的面积-扇形DAE的面积=×3×--
=--=-.
7.解析(1)证明:连接OE,OD,如图.
∵∠C=90°,AC=BC,∴∠OAD=∠B=45°.
∵OA=OD,∴∠ADO=∠OAD=45°.
∴∠AOD=∠DOF=90°.
∵点E是弧DF的中点,
∴∠DOE=∠EOF=∠DOF=45°.
∴∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°.
∴OE⊥BC.∵OE是半径,∴BC是☉O的切线.
(2)∵OE⊥BC,∠B=45°,
∴△OEB是等腰直角三角形,
设BE=OE=x,则AO=x,OB=x,∴AB=x+x.
∵AB=BC,∴x+x=(+x),解得x=2.
∴S阴影=S△OEB-S扇形EOF=×2×2-=2-.
8.A　解法一(和差法):连接OE,如图,易得AD=BC=4,AB=CD=2,∠ADC=∠C=90°,
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,
∴OD=2,OE⊥BC.
易得四边形OECD为正方形,
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的图形的面积
=S正方形OECD-S扇形EOD=22-=4-π.
∴阴影部分的面积=×2×4-(4-π)=π.故选A.
解法二(割补法):连接OE交BD于F点,如图.
由解法一可知四边形OECD是正方形,∴OD=EC=BE,易证△ODF≌△EBF,∴S△ODF=S△EBF.
∴阴影部分的面积=S扇形DOE==π.故选A.
9.B　∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OD=OC=,∠BOC=90°.
∴∠BOM+∠CON=180°-∠BOC=90°,
∴S阴影=-××1=-.故选B.
10.答案
解析如图,连接OD.
∵将扇形沿直线CD折叠,点A恰好落在点O处,
∴=,AD=OD.∴S弓形AD=S弓形OD.∴S阴影=S△ODE.
∵AO=OD,∴OA=OD=AD.∴∠AOD=∠ADO=60°.
∵∠AOB=150°,∴∠DOE=90°.
∵DE⊥DA,∴∠ADE=90°.∴∠ODE=30°.
∵AO=OD=4,∴OE=OD·tan∠ODE=.
∴图中阴影部分的面积=S△ODE=××4=.
11.答案
解析如图,过点O作AB的垂线,垂足为C,交☉O于点D,连接AO,AD,
则AC=AB=×2=.
由折叠的性质知OA=DA,∵OA=OD,
∴OA=OD=AD,
∴△AOD是等边三角形.∴∠D=∠AOD=60°.
∴AD=OA==2.易证△ACD≌△BCO,
∴S△ACD=S△BCO,
∴阴影部分的面积=S扇形ADO=×π×22=.
12.答案-8
解析如图,连接OA.
∵∠ABO=60°,OA=OB,∴△AOB是等边三角形.
∴∠AOB=60°,OA=AB=8.
∵AD∥OB,∴∠DAO=∠AOB=60°.
∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.
∴∠AOD=60°.∴∠DOE=60°.∵DC⊥BE,
∴CD=OD·sin∠DOC=8×=4,OC=OD·cos∠DOC=8×=4.∵AD∥BO,∴S△AOD=S△ADB.
∴S阴影=S扇形AOD+S扇形DOE-S△OCD
=2×-×4×4=-8.
13.解析(1)证明:如图,连接OC.
∵点C是的中点,∴=.∴∠ABC=∠EBC.
∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB.
∴∠EBC=∠OCB.∴OC∥BE.
∵BE⊥CE,∴∠E=90°.∴∠ECO=180°-90°=90°.
∴半径OC⊥CE.∴CE是☉O的切线.
(2)如图,连接AC.
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ACB=∠E=90°.
∵∠ABC=∠EBC,∴△ACB∽△CEB.
∴=,即=.∴BC=2.
(3)如图,连接OC,OD,CD.
∵AB=4,∴OC=OB=2.
在Rt△BCE中,BC=2,BE=3,
∴cos∠CBE===.
∴∠CBE=30°.∴∠COD=60°.∴∠AOC=60°.
∵OC=OD,∴△COD是等边三角形.
∴∠DCO=60°.∴∠DCO=∠AOC.
∴CD∥AB.∴S△COD=S△CBD.
∴S阴影=S扇形COD==π.
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