2024鲁教版五四制数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(一)圆性质中辅助线的添加（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024鲁教版五四制数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(一)圆性质中辅助线的添加（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 445.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-02 19:20:24 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024鲁教版五四制数学九年级下学期
第五章 圆
专项素养综合全练(一) 圆性质中辅助线的添加
方法一 连半径,构造圆心角
1.(2023山东淄博博山二模)如图,A,B,C是☉O上的三点,若∠C=35°,则∠ABO的度数是 °.
2.(2023山东泰安岱岳期末)如图,AD=BC,AC=1,∠D=30°.
(1)求证:AB=CD;
(2)求☉O的半径.
方法二 作(找)垂径,构造直角三角形
3.(2023山东淄博张店一模改编)如图,△ABC内接于☉O,∠ABC=120°,AC=2,则☉O的半径的长为 .
第3题图
第4题图
4.(2022四川凉山州中考)如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 .
方法三 作直径所对圆周角,构造直角三角形
5.(2023山东淄博周村一模)如图,线段AB是☉O的直径,C,D为☉O上两点,如果AB=6,AC=3,那么∠ADC的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.(2022山东泰安中考)如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O的半径为( )
A.2 B.3 C.2 D.
7.【新独家原创】如图,AB是☉O的直径,点C,D是☉O上的点,作点D关于弦BC的对称点D',点D'恰好落在AB上,若sin∠ABC=,AB=5,求BD的长.
8.(2022湖南张家界中考)如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB是半圆O的直径,点C是的中点,延长AD交BC的延长线于点E.
(1)求证:CE=CD;
(2)若AB=3,BC=,求AD的长.
方法四 构造同弧所对的圆周角
9.(2023四川成都中考)如图,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.
(1)求证:AC=BC;
(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.
方法五 作(找)直径,转移角度
10.如图,点A,B,C在☉O上,若AC=5,tan B=,则☉O的半径为 .
11.(2020四川凉山州中考)如图,☉O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠BAC,∠ABC,∠ACB所对的边分别是a,b,c.
(1)求证:===2R;
(2)若∠BAC=60°,∠ACB=45°,BC=4,利用(1)的结论求AB的长和sin∠ABC的值.
答案全解全析
1.答案55
解析连接OA(图略).∵∠C=35°,∴∠AOB=70°.
∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO,∴∠ABO==55°.
2.解析(1)证明:∵BC=AD,∴=.
∴+=+,即=.∴AB=CD.
(2)如图,连接OA,OC,则OA=OC.
∵∠D=30°,∴∠AOC=2∠D=60°.
∴△AOC是正三角形.
∴OA=AC=1,即☉O的半径为1.
3.答案2
解析如图,在弦AC所对优弧上取一点D,连接OA,OC,DA,DC,作OH⊥AC于H.
∴AH=AC=×2=.∵∠D+∠B=180°,
∴∠D=180°-∠B=180°-120°=60°.
∴∠AOC=2∠D=120°.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,
∴cos∠OAH==.∴AO=2.
4.答案
解析连接OD(图略).
∵AB是☉O的直径,且经过弦CD的中点H,
∴AB⊥CD.∴∠OHD=∠BHD=90°.
∵cos∠CDB==,BD=5,∴DH=4.∴BH=3.
设OH=x,则OD=OB=x+3.在Rt△ODH中,由勾股定理得x2+42=(x+3)2,
解得x=.∴OB=OH+BH=+3=.
5.B 连接BC(图略).
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵AB=6,AC=3,∴sin∠ABC==.
∴∠ABC=30°.∴∠ADC=∠ABC=30°,故选B.
6.D 连接CB(图略).
∵∠ACD=∠CAB,∴=.∴AD=BC=2.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ACB中,BC=2,AC=4,
∴AB===2.
∴☉O的半径为.故选D.
7.解析如图,连接CA,CD,CD',过点C作CE⊥AB,垂足为E.
∵点D关于弦BC的对称点为D',
∴CD'=CD,BD'=BD,∠D'BC=∠DBC.
∴=.∴AC=CD=CD'.
∵CE⊥AB,∴D'E=AE.
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ACE+∠ECB=90°.
∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°.∴∠ABC+∠ECB=90°.
∴∠ACE=∠ABC.∴sin∠ACE=sin∠ABC=.
在Rt△ABC中,AB=5,sin∠ABC==,∴AC=3.
在Rt△AEC中,sin∠ACE==,∴AE=.
∴BD'=AB-AD'=AB-2AE=5-2×=.∴BD=.
8.解析(1)证明:如图,连接AC.
∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=∠ACE=90°.
∵点C是的中点,∴=,
∴∠CAE=∠CAB,CD=CB.
∵AC=AC,∴△ACE≌△ACB(ASA).
∴CE=CB.∴CE=CD.
(2)∵△ACE≌△ACB,AB=3,BC=,
∴AE=AB=3,CE=BC=.∴BE=2.
∵四边形ABCD内接于半圆O,∴∠CDE=∠ABE.
∵∠E=∠E,∴△EDC∽△EBA.
∴=,即=,解得DE=2.
∴AD=AE-DE=1.
9.解析(1)证明:∵∠ADE=∠ACE,∠ADE=∠B,
∴∠B=∠ACE.∵CE∥AB,∴∠BAC=∠ACE.
∴∠B=∠BAC,∴AC=BC.
(2)∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠ADB=90°.
在Rt△ABD中,tan B==2,∴AD=2BD.
∵CD=3,∴AC=BC=BD+CD=BD+3.
∵在Rt△ADC中,∠ADC=90°,
∴AD2+CD2=AC2,∴(2BD)2+32=(BD+3)2,
解得BD=2或BD=0(舍去).
∴AD=2BD=4,AB===2,BC=2+3=5.
如图,连接AE,
∵∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC.
∴=,即=.∴DE=2.
∴AB和DE的长均为2.
10.答案6.5
解析如图,过点A作直径AD,连接DC,则∠ACD=90°.
∵∠D=∠B,tan B=,
∴tan D=.
∵tan D==,AC=5,∴CD=12.
∴AD==13.∴☉O的半径为6.5.
11.解析(1)证明:如图,作直径BE,连接CE,则∠BCE=90°,∠BEC=∠BAC.
∴sin∠BAC=sin∠BEC==.∴=2R.
同理可得,=2R,=2R.
∴===2R.
(2)如图,过B作BH⊥AC于H.
由(1)知==2R,
即==2R,∴AB=4,2R=8.∵∠AHB=∠BHC=90°,
∴AH=AB·cos∠BAC=4·cos 60°=4×=2.
同理可得,CH=2.∴AC=AH+CH=2(+),
∴sin∠ABC===.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2024鲁教版五四制数学九年级下学期
第五章 圆
专项素养综合全练(一) 圆性质中辅助线的添加
方法一 连半径,构造圆心角
1.(2023山东淄博博山二模)如图,A,B,C是☉O上的三点,若∠C=35°,则∠ABO的度数是 °.
2.(2023山东泰安岱岳期末)如图,AD=BC,AC=1,∠D=30°.
(1)求证:AB=CD;
(2)求☉O的半径.
方法二 作(找)垂径,构造直角三角形
3.(2023山东淄博张店一模改编)如图,△ABC内接于☉O,∠ABC=120°,AC=2,则☉O的半径的长为 .
第3题图
第4题图
4.(2022四川凉山州中考)如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 .
方法三 作直径所对圆周角,构造直角三角形
5.(2023山东淄博周村一模)如图,线段AB是☉O的直径,C,D为☉O上两点,如果AB=6,AC=3,那么∠ADC的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.(2022山东泰安中考)如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O的半径为( )
A.2 B.3 C.2 D.
7.【新独家原创】如图,AB是☉O的直径,点C,D是☉O上的点,作点D关于弦BC的对称点D',点D'恰好落在AB上,若sin∠ABC=,AB=5,求BD的长.
8.(2022湖南张家界中考)如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB是半圆O的直径,点C是的中点,延长AD交BC的延长线于点E.
(1)求证:CE=CD;
(2)若AB=3,BC=,求AD的长.
方法四 构造同弧所对的圆周角
9.(2023四川成都中考)如图,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.
(1)求证:AC=BC;
(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.
方法五 作(找)直径,转移角度
10.如图,点A,B,C在☉O上,若AC=5,tan B=,则☉O的半径为 .
11.(2020四川凉山州中考)如图,☉O的半径为R,其内接锐角三角形ABC中,∠BAC,∠ABC,∠ACB所对的边分别是a,b,c.
(1)求证:===2R;
(2)若∠BAC=60°,∠ACB=45°,BC=4,利用(1)的结论求AB的长和sin∠ABC的值.
答案全解全析
1.答案55
解析连接OA(图略).∵∠C=35°,∴∠AOB=70°.
∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO,∴∠ABO==55°.
2.解析(1)证明:∵BC=AD,∴=.
∴+=+,即=.∴AB=CD.
(2)如图,连接OA,OC,则OA=OC.
∵∠D=30°,∴∠AOC=2∠D=60°.
∴△AOC是正三角形.
∴OA=AC=1,即☉O的半径为1.
3.答案2
解析如图,在弦AC所对优弧上取一点D,连接OA,OC,DA,DC,作OH⊥AC于H.
∴AH=AC=×2=.∵∠D+∠B=180°,
∴∠D=180°-∠B=180°-120°=60°.
∴∠AOC=2∠D=120°.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,
∴cos∠OAH==.∴AO=2.
4.答案
解析连接OD(图略).
∵AB是☉O的直径,且经过弦CD的中点H,
∴AB⊥CD.∴∠OHD=∠BHD=90°.
∵cos∠CDB==,BD=5,∴DH=4.∴BH=3.
设OH=x,则OD=OB=x+3.在Rt△ODH中,由勾股定理得x2+42=(x+3)2,
解得x=.∴OB=OH+BH=+3=.
5.B 连接BC(图略).
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵AB=6,AC=3,∴sin∠ABC==.
∴∠ABC=30°.∴∠ADC=∠ABC=30°,故选B.
6.D 连接CB(图略).
∵∠ACD=∠CAB,∴=.∴AD=BC=2.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ACB中,BC=2,AC=4,
∴AB===2.
∴☉O的半径为.故选D.
7.解析如图,连接CA,CD,CD',过点C作CE⊥AB,垂足为E.
∵点D关于弦BC的对称点为D',
∴CD'=CD,BD'=BD,∠D'BC=∠DBC.
∴=.∴AC=CD=CD'.
∵CE⊥AB,∴D'E=AE.
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ACE+∠ECB=90°.
∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°.∴∠ABC+∠ECB=90°.
∴∠ACE=∠ABC.∴sin∠ACE=sin∠ABC=.
在Rt△ABC中,AB=5,sin∠ABC==,∴AC=3.
在Rt△AEC中,sin∠ACE==,∴AE=.
∴BD'=AB-AD'=AB-2AE=5-2×=.∴BD=.
8.解析(1)证明:如图,连接AC.
∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=∠ACE=90°.
∵点C是的中点,∴=,
∴∠CAE=∠CAB,CD=CB.
∵AC=AC,∴△ACE≌△ACB(ASA).
∴CE=CB.∴CE=CD.
(2)∵△ACE≌△ACB,AB=3,BC=,
∴AE=AB=3,CE=BC=.∴BE=2.
∵四边形ABCD内接于半圆O,∴∠CDE=∠ABE.
∵∠E=∠E,∴△EDC∽△EBA.
∴=,即=,解得DE=2.
∴AD=AE-DE=1.
9.解析(1)证明:∵∠ADE=∠ACE,∠ADE=∠B,
∴∠B=∠ACE.∵CE∥AB,∴∠BAC=∠ACE.
∴∠B=∠BAC,∴AC=BC.
(2)∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠ADB=90°.
在Rt△ABD中,tan B==2,∴AD=2BD.
∵CD=3,∴AC=BC=BD+CD=BD+3.
∵在Rt△ADC中,∠ADC=90°,
∴AD2+CD2=AC2,∴(2BD)2+32=(BD+3)2,
解得BD=2或BD=0(舍去).
∴AD=2BD=4,AB===2,BC=2+3=5.
如图,连接AE,
∵∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC.
∴=,即=.∴DE=2.
∴AB和DE的长均为2.
10.答案6.5
解析如图,过点A作直径AD,连接DC,则∠ACD=90°.
∵∠D=∠B,tan B=,
∴tan D=.
∵tan D==,AC=5,∴CD=12.
∴AD==13.∴☉O的半径为6.5.
11.解析(1)证明:如图,作直径BE,连接CE,则∠BCE=90°,∠BEC=∠BAC.
∴sin∠BAC=sin∠BEC==.∴=2R.
同理可得,=2R,=2R.
∴===2R.
(2)如图,过B作BH⊥AC于H.
由(1)知==2R,
即==2R,∴AB=4,2R=8.∵∠AHB=∠BHC=90°,
∴AH=AB·cos∠BAC=4·cos 60°=4×=2.
同理可得,CH=2.∴AC=AH+CH=2(+),
∴sin∠ABC===.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)