5.3 垂径定理课时练（含解析）
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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
第五章 圆
*3 垂径定理
基础过关全练
知识点1 垂径定理
1.(2022云南中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( )
A. B. C. D.
2.【一题多变·已知弦长、半径,求弓高】(2021湖北鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2.已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6米,☉O的半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是( )
图1
图2
A.1米 B.(4-)米
C.2米 D.(4+)米
[变式1·已知弦长、弓高,求半径](2023山东德州夏津期中改编)如图所示的是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,若OM⊥CD,延长MO交☉O于点E,并且CD=8 m,EM=8 m,则☉O的半径为 .
变式1图
变式2图
[变式2·已知弓高、半径,求弦长](2023湖南永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为 cm.
[变式3·已知弓高、直径,求弦长]如图所示的是一张隧道断面结构图.隧道内部为以O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离为6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.求路面CD的宽度.(结果精确到0.1 m)
3.【新独家原创】如图,AB是☉O的一条弦,点C,D是☉O上的点,连接CD交AB于点E,若∠ODC+∠AED=90°.求证:AC=BC.
4.【教材变式·P16随堂练习T1】如图,有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圆弧所在圆的半径的长;
(2)当洪水泛滥到水面宽度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即当PE=4米时,是否要采取紧急措施
知识点2 垂径定理的推论
5.(2023湖北宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
6.【构造法】如图,B为☉O上一点,A为的中点,AB=3,∠ABC=30°,则☉O的半径为 .
第6题图
第7题图
7.【新独家原创】如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,=,AO=5,BC=6,则△ABC的面积= .
8.【构造法】(2023山东烟台栖霞期末)某个工件槽的两个底角均为90°,尺寸(单位:cm)如图所示.将形状规则的铁球放入槽内,若同时具有A,B,E三个接触点,请你根据图中的数据求出该球的半径.
能力提升全练
9.(2022山东淄博博山一模,9,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,半径为5的☉E与y轴交于点A(0,-2),B(0,4),与x轴交于C,D,则点D的坐标为( )
A.(4-2,0) B.(-4+2,0)
C.(-4+,0) D.(4-,0)
10.【构造法】(2021四川成都中考,23,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+与☉O相交于A,B两点,且点A在x轴上,则弦AB的长为 .
11.【真实情境】(2021山东烟台龙口期中改编,18,★★☆)为了贯彻习近平总书记“促进乡村全面振兴,实现农业农村现代化”的指示,某农机组织推广建立横截面为弓形的一种全新的全封闭式塑料薄膜蔬菜大棚,如图所示,已知棚高AD=2 m,底部BC=4 m,那么所在圆的半径为 m.
12.【新考向·尺规作图】(2023山东烟台莱州期末,20,★★☆)如图,AB是☉O的直径,点P是AB上一点,且点P是弦CD的中点.
(1)依题意画出弦CD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若AP=4,CD=16,求☉O的半径.
13.【构造法】(2023上海中考,21,★★☆)如图,在☉O中,弦AB的长为8,点C在BO延长线上,且cos∠ABC=,OC=OB.
(1)求☉O的半径;
(2)求∠BAC的正切值.
素养探究全练
14.【推理能力】(2022山东淄博沂源一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的正半轴上,☉M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,且C为的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(-1,0),AE=4.
(1)求点C的坐标;
(2)连接MG,BC,求证:MG∥BC.
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵AB是☉O的直径,AB⊥CD,∴CE=CD=12.
∵AB=26,∴OC=13.∴cos∠OCE==.故选B.
2.B 如图,连接OC交AB于D,连接OA.
∵点C为运行轨道的最低点,∴OC⊥AB.
∴AD=AB=3(米).在Rt△OAD中,OD===(米),∴点C到弦AB所在直线的距离CD=OC-OD=(4-)米.
[变式1] 答案5 m
解析连接OC(图略).
∵OM⊥CD,CD=8 m,∴CM=DM=CD=4 m.
设☉O的半径为x m,则OM=EM-OE=(8-x)m.
在Rt△COM中,由勾股定理得OC2=CM2+OM2,
即x2=42+(8-x)2,解得x=5.∴☉O的半径为5 m.
方法解读 半弦、半径、圆心到弦的垂线段构成直角三角形,直角三角形中任知两边长利用勾股定理可求第三边长,或利用勾股定理列方程可求相关线段长.
[变式2] 答案16
解析如图,过点O作OD⊥AB于点C,交☉O于点D,连接OA,
∴AC=BC=AB.由题意知,OA=10 cm,CD=4 cm,∴OC=6 cm.
在Rt△AOC中,AC===8(cm).∴AB=2AC=16 cm.
[变式3] 解析连接OC(图略).由题意知AB=1.6+6.4+4.0=12(m),∴OC=OB=6 m.
∴OE=OB-BE=6-4=2(m).由题意知AB⊥CD,∴CD=2CE.在Rt△OCE中,由勾股定理得CE==4 m.∴CD=2CE=8≈11.3(m).∴路面CD的宽度约为11.3 m.
3.证明 如图,连接OC,交AB于点F,
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∵∠ODC+∠AED=90°,∠AED=∠CEB,
∴∠OCD+∠CEB=90°.∴∠EFC=90°.
∴OC⊥AB.∴=.∴AC=BC.
4.解析(1)如图,连接OA.设圆弧所在圆的半径为r米.
由题意可知拱高PD=18米,OP⊥AB,
∴AD=AB=30米,OD=(r-18)米.
在Rt△ADO中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2,
即r2=302+(r-18)2,解得r=34.
∴圆弧所在圆的半径的长为34米.
(2)如图,连接OA'.由(1)知OP=34米,
∴OE=OP-PE=34-4=30(米),
在Rt△A'EO中,由勾股定理得A'E===16(米).
易知OP⊥A'B',∴A'B'=2A'E=32米.∵32>30,
∴当拱顶离水面只有4米时,不需要采取紧急措施.
5.B ∵AD=CD=8,∴OB⊥AC.
在Rt△AOD中,OA===10.
∴OB=10.∴BD=OB-OD=10-6=4.故选B.
6.答案3
解析如图,连接AO,BO.
∵A为的中点,∴AO⊥BC.
∵∠ABC=30°,∴∠BAO=90°-∠ABC=90°-30°=60°.
∵AO=BO,∴△AOB为等边三角形.∴AO=AB=3.
7.答案27
解析如图,延长AO交BC于D,连接BO.
∵=,O为圆心,
∴AO⊥BC.
∴BD=BC=×6=3.
在Rt△OBD中,OD===4.
∴AD=AO+OD=5+4=9.
∴△ABC的面积=BC·AD=×6×9=27.
8.解析连接OA,AB,OE,OE交AB于C,如图.
由题意得AB=16 cm,CE=4 cm,E为的中点,则OE⊥AB.∴AC=BC=AB=8(cm).
设☉O的半径为R cm,则OC=(R-4)cm,
在Rt△OAC中,由勾股定理得OA2=AC2+OC2,
即R2=82+(R-4)2,解得R=10.
答:该球的半径是10 cm.
方法解读 垂径定理添加辅助线的方法:作弦心距;延长与半径或直径垂直的线段使其与圆相交;连接弦的中点或弧的中点与圆心等.
能力提升全练
9.B 如图,过E点作EH⊥AB于H,EF⊥CD于F,连接ED,EB,则CF=DF,AH=BH.
∵A(0,-2),B(0,4),∴AB=6.∴BH=3.∴OH=1.
在Rt△BHE中,EH===4.
易知四边形EHOF为矩形,∴EF=OH=1,OF=EH=4.
在Rt△DEF中,FD===2.
∴OD=FD-OF=2-4.∴点D的坐标为(2-4,0).故选B.
10.答案2
解析设直线AB交y轴于C,过O作OD⊥AB于D,如图.
在y=x+中,
令x=0,得y=;令y=0,得x=-2.
∴C的坐标为,A的坐标为(-2,0),
∴OC=,OA=2.
在Rt△AOC中,tan∠CAO===,
∴∠CAO=30°.
在Rt△AOD中,AD=OA·cos 30°=2×=.
∵OD⊥AB,∴AB=2AD=2.
11.答案4
解析设所在圆的圆心为O,连接AB,OB,OD,如图所示.
由题意知AD⊥BC,
∴CD=BD=BC=2 m,A,D,O三点共线.
在Rt△ABD中,由勾股定理得AB===4(m),
∴AB=2AD.∴∠ABD=30°.∴∠DAB=60°.∵OA=OB,∴△ABO是等边三角形.
∴AO=AB=4 m.
12.解析本题综合尺规作图考查垂径定理.
(1)画出弦CD,如图.
(2)如图,连接OD.
∵点P是CD的中点,AB是☉O的直径,
∴OP⊥CD,PD=CD.∵CD=16,∴PD=8.
设☉O的半径为r,则OD=r,OP=OA-AP=r-4.
在Rt△ODP中,∠OPD=90°,
∴OD2=OP2+PD2,即r2=(r-4)2+82,解得r=10.
∴☉O的半径为10.
13.解析(1)如图,过点O作OD⊥AB,垂足为D.
∵AB=8,∴AD=BD=AB=4.
在Rt△OBD中,cos∠ABC=,
∴OB===5.
∴☉O的半径为5.
(2)如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E.
∵OC=OB,OB=5,
∴BC=OB=7.5.
∵OD⊥AB,CE⊥AB,
∴OD∥CE.
∴=,即=,
∴BE=6.∴AE=AB-BE=8-6=2.
在Rt△BCE中,CE===4.5.
在Rt△ACE中,tan∠BAC===.
∴∠BAC的正切值为.
素养探究全练
14.解析(1)∵AB⊥CD,∴=,OC=OD,
∵C为的中点,∴=,∴=,∴CD=AE=4,∴OC=OD=2,∴点C的坐标为(0,2).
(2)证明:如图,连接MC,交AE于H.
∵C为的中点,∴MC⊥AE,
又∵MO⊥CD,AE=CD,∴MH=MO,
在Rt△OMG和Rt△HMG中,
∴Rt△OMG≌Rt△HMG,
∴∠OMG=∠HMG=∠OMC,
∵MC=MB,∴∠MBC=∠BCM,
∵∠OMC=∠MBC+∠BCM,∴∠MBC=∠OMC,
∴∠OMG=∠MBC,∴MG∥BC.
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第五章 圆
*3 垂径定理
基础过关全练
知识点1 垂径定理
1.(2022云南中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( )
A. B. C. D.
2.【一题多变·已知弦长、半径,求弓高】(2021湖北鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2.已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的弦AB长为6米,☉O的半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是( )
图1
图2
A.1米 B.(4-)米
C.2米 D.(4+)米
[变式1·已知弦长、弓高,求半径](2023山东德州夏津期中改编)如图所示的是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,若OM⊥CD,延长MO交☉O于点E,并且CD=8 m,EM=8 m,则☉O的半径为 .
变式1图
变式2图
[变式2·已知弓高、半径,求弦长](2023湖南永州中考)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为 cm.
[变式3·已知弓高、直径,求弦长]如图所示的是一张隧道断面结构图.隧道内部为以O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离为6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.求路面CD的宽度.(结果精确到0.1 m)
3.【新独家原创】如图,AB是☉O的一条弦,点C,D是☉O上的点,连接CD交AB于点E,若∠ODC+∠AED=90°.求证:AC=BC.
4.【教材变式·P16随堂练习T1】如图,有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圆弧所在圆的半径的长;
(2)当洪水泛滥到水面宽度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即当PE=4米时,是否要采取紧急措施
知识点2 垂径定理的推论
5.(2023湖北宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
6.【构造法】如图,B为☉O上一点,A为的中点,AB=3,∠ABC=30°,则☉O的半径为 .
第6题图
第7题图
7.【新独家原创】如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,=,AO=5,BC=6,则△ABC的面积= .
8.【构造法】(2023山东烟台栖霞期末)某个工件槽的两个底角均为90°,尺寸(单位:cm)如图所示.将形状规则的铁球放入槽内,若同时具有A,B,E三个接触点,请你根据图中的数据求出该球的半径.
能力提升全练
9.(2022山东淄博博山一模,9,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,半径为5的☉E与y轴交于点A(0,-2),B(0,4),与x轴交于C,D,则点D的坐标为( )
A.(4-2,0) B.(-4+2,0)
C.(-4+,0) D.(4-,0)
10.【构造法】(2021四川成都中考,23,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+与☉O相交于A,B两点,且点A在x轴上,则弦AB的长为 .
11.【真实情境】(2021山东烟台龙口期中改编,18,★★☆)为了贯彻习近平总书记“促进乡村全面振兴,实现农业农村现代化”的指示,某农机组织推广建立横截面为弓形的一种全新的全封闭式塑料薄膜蔬菜大棚,如图所示,已知棚高AD=2 m,底部BC=4 m,那么所在圆的半径为 m.
12.【新考向·尺规作图】(2023山东烟台莱州期末,20,★★☆)如图,AB是☉O的直径,点P是AB上一点,且点P是弦CD的中点.
(1)依题意画出弦CD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若AP=4,CD=16,求☉O的半径.
13.【构造法】(2023上海中考,21,★★☆)如图,在☉O中,弦AB的长为8,点C在BO延长线上,且cos∠ABC=,OC=OB.
(1)求☉O的半径;
(2)求∠BAC的正切值.
素养探究全练
14.【推理能力】(2022山东淄博沂源一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的正半轴上,☉M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,且C为的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(-1,0),AE=4.
(1)求点C的坐标;
(2)连接MG,BC,求证:MG∥BC.
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵AB是☉O的直径,AB⊥CD,∴CE=CD=12.
∵AB=26,∴OC=13.∴cos∠OCE==.故选B.
2.B 如图,连接OC交AB于D,连接OA.
∵点C为运行轨道的最低点,∴OC⊥AB.
∴AD=AB=3(米).在Rt△OAD中,OD===(米),∴点C到弦AB所在直线的距离CD=OC-OD=(4-)米.
[变式1] 答案5 m
解析连接OC(图略).
∵OM⊥CD,CD=8 m,∴CM=DM=CD=4 m.
设☉O的半径为x m,则OM=EM-OE=(8-x)m.
在Rt△COM中,由勾股定理得OC2=CM2+OM2,
即x2=42+(8-x)2,解得x=5.∴☉O的半径为5 m.
方法解读 半弦、半径、圆心到弦的垂线段构成直角三角形,直角三角形中任知两边长利用勾股定理可求第三边长,或利用勾股定理列方程可求相关线段长.
[变式2] 答案16
解析如图,过点O作OD⊥AB于点C,交☉O于点D,连接OA,
∴AC=BC=AB.由题意知,OA=10 cm,CD=4 cm,∴OC=6 cm.
在Rt△AOC中,AC===8(cm).∴AB=2AC=16 cm.
[变式3] 解析连接OC(图略).由题意知AB=1.6+6.4+4.0=12(m),∴OC=OB=6 m.
∴OE=OB-BE=6-4=2(m).由题意知AB⊥CD,∴CD=2CE.在Rt△OCE中,由勾股定理得CE==4 m.∴CD=2CE=8≈11.3(m).∴路面CD的宽度约为11.3 m.
3.证明 如图,连接OC,交AB于点F,
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∵∠ODC+∠AED=90°,∠AED=∠CEB,
∴∠OCD+∠CEB=90°.∴∠EFC=90°.
∴OC⊥AB.∴=.∴AC=BC.
4.解析(1)如图,连接OA.设圆弧所在圆的半径为r米.
由题意可知拱高PD=18米,OP⊥AB,
∴AD=AB=30米,OD=(r-18)米.
在Rt△ADO中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2,
即r2=302+(r-18)2,解得r=34.
∴圆弧所在圆的半径的长为34米.
(2)如图,连接OA'.由(1)知OP=34米,
∴OE=OP-PE=34-4=30(米),
在Rt△A'EO中,由勾股定理得A'E===16(米).
易知OP⊥A'B',∴A'B'=2A'E=32米.∵32>30,
∴当拱顶离水面只有4米时,不需要采取紧急措施.
5.B ∵AD=CD=8,∴OB⊥AC.
在Rt△AOD中,OA===10.
∴OB=10.∴BD=OB-OD=10-6=4.故选B.
6.答案3
解析如图,连接AO,BO.
∵A为的中点,∴AO⊥BC.
∵∠ABC=30°,∴∠BAO=90°-∠ABC=90°-30°=60°.
∵AO=BO,∴△AOB为等边三角形.∴AO=AB=3.
7.答案27
解析如图,延长AO交BC于D,连接BO.
∵=,O为圆心,
∴AO⊥BC.
∴BD=BC=×6=3.
在Rt△OBD中,OD===4.
∴AD=AO+OD=5+4=9.
∴△ABC的面积=BC·AD=×6×9=27.
8.解析连接OA,AB,OE,OE交AB于C,如图.
由题意得AB=16 cm,CE=4 cm,E为的中点,则OE⊥AB.∴AC=BC=AB=8(cm).
设☉O的半径为R cm,则OC=(R-4)cm,
在Rt△OAC中,由勾股定理得OA2=AC2+OC2,
即R2=82+(R-4)2,解得R=10.
答:该球的半径是10 cm.
方法解读 垂径定理添加辅助线的方法:作弦心距;延长与半径或直径垂直的线段使其与圆相交;连接弦的中点或弧的中点与圆心等.
能力提升全练
9.B 如图,过E点作EH⊥AB于H,EF⊥CD于F,连接ED,EB,则CF=DF,AH=BH.
∵A(0,-2),B(0,4),∴AB=6.∴BH=3.∴OH=1.
在Rt△BHE中,EH===4.
易知四边形EHOF为矩形,∴EF=OH=1,OF=EH=4.
在Rt△DEF中,FD===2.
∴OD=FD-OF=2-4.∴点D的坐标为(2-4,0).故选B.
10.答案2
解析设直线AB交y轴于C,过O作OD⊥AB于D,如图.
在y=x+中,
令x=0,得y=;令y=0,得x=-2.
∴C的坐标为,A的坐标为(-2,0),
∴OC=,OA=2.
在Rt△AOC中,tan∠CAO===,
∴∠CAO=30°.
在Rt△AOD中,AD=OA·cos 30°=2×=.
∵OD⊥AB,∴AB=2AD=2.
11.答案4
解析设所在圆的圆心为O,连接AB,OB,OD,如图所示.
由题意知AD⊥BC,
∴CD=BD=BC=2 m,A,D,O三点共线.
在Rt△ABD中,由勾股定理得AB===4(m),
∴AB=2AD.∴∠ABD=30°.∴∠DAB=60°.∵OA=OB,∴△ABO是等边三角形.
∴AO=AB=4 m.
12.解析本题综合尺规作图考查垂径定理.
(1)画出弦CD,如图.
(2)如图,连接OD.
∵点P是CD的中点,AB是☉O的直径,
∴OP⊥CD,PD=CD.∵CD=16,∴PD=8.
设☉O的半径为r,则OD=r,OP=OA-AP=r-4.
在Rt△ODP中,∠OPD=90°,
∴OD2=OP2+PD2,即r2=(r-4)2+82,解得r=10.
∴☉O的半径为10.
13.解析(1)如图,过点O作OD⊥AB,垂足为D.
∵AB=8,∴AD=BD=AB=4.
在Rt△OBD中,cos∠ABC=,
∴OB===5.
∴☉O的半径为5.
(2)如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E.
∵OC=OB,OB=5,
∴BC=OB=7.5.
∵OD⊥AB,CE⊥AB,
∴OD∥CE.
∴=,即=,
∴BE=6.∴AE=AB-BE=8-6=2.
在Rt△BCE中,CE===4.5.
在Rt△ACE中,tan∠BAC===.
∴∠BAC的正切值为.
素养探究全练
14.解析(1)∵AB⊥CD,∴=,OC=OD,
∵C为的中点,∴=,∴=,∴CD=AE=4,∴OC=OD=2,∴点C的坐标为(0,2).
(2)证明:如图,连接MC,交AE于H.
∵C为的中点,∴MC⊥AE,
又∵MO⊥CD,AE=CD,∴MH=MO,
在Rt△OMG和Rt△HMG中,
∴Rt△OMG≌Rt△HMG,
∴∠OMG=∠HMG=∠OMC,
∵MC=MB,∴∠MBC=∠BCM,
∵∠OMC=∠MBC+∠BCM,∴∠MBC=∠OMC,
∴∠OMG=∠MBC,∴MG∥BC.
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