5.4.2 圆周角定理的推论3课时练（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.4.2 圆周角定理的推论3课时练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 514.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-02 19:31:00 | ||
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文档简介
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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
第五章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论3
基础过关全练
知识点5 圆周角定理的推论3
1.(2023四川自贡中考)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是(M9205005)( )
A.41° B.45° C.49° D.59°
第1题图
第2题图
2.(2023山东聊城东昌府一模)如图,在△ABC中,AB=AC,三个顶点A,B,C均在☉O上,BD过圆心O,连接AD.当∠OBC=40°时,∠ADB的度数是 ( )
A.45° B.55° C.65° D.75°
3.(2022江苏苏州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D= °.(M9205005)
4.(2023山东烟台招远期末)如图,☉O的直径AB=2,弦AC=1,连接BC,点D在☉O上,则∠D的度数是 .(M9205005)
5.【构造法】(2022山东东营垦利期末改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,直径为10的☉A经过y轴上的点C和原点O,点B是y轴右侧☉A的优弧OBC上一点,∠OBC=30°,则点C的坐标为 .
6.如图,AB是☉O的直径,C,D两点在☉O上,若∠C=45°.
(1)求∠ABD的度数;
(2)若∠CDB=30°,BC=5,求☉O的半径.
7.(2023山东济南莱芜模拟)如图,已知△ABC的三个顶点都在☉O上,AD是☉O的直径,连接BD,BC平分∠ABD.(M9205005)
(1)求证:∠CAD=∠ABC;
(2)若AD=4,求CD的长.
8.(2020浙江衢州中考)如图,△ABC的三个顶点在☉O上,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.(M9205005)
(1)求证:∠CAD=∠CBA;
(2)求OE的长.
能力提升全练
9.(2022湖北十堰中考改编,9,★★☆)如图,等边△ABC的三个顶点都在☉O上,点D是弧AC上一动点(不与A,C重合),下列结论:①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③当DB最长时,DB=2DC;④DA+DC=DB.其中一定正确的结论有(M9205005)( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.(2023山东烟台莱阳期末,15,★★☆)如图,BD是☉O的直径,点A、C在☉O上,=,连接AD、AB,AC、BD相交于点E,若∠COD=126°,则∠AEB的度数为 .(M9205005)
11.(2022山东济宁中考,15,★★★)如图,点A,C,D,B在☉O上,AC=BC,∠ACB=90°.若CD=a,tan∠CBD=,则AD的长是 .(M9205005)
12.【和差法】(2023安徽中考,20,★★☆)已知四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,对角线BD是☉O的直径.(M9205005)
(1)如图1,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA平分∠BCD;
(2)如图2,E为☉O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=3,AE=3,求弦BC的长.
13.【设参法】(2022山东烟台莱州一模改编,22,★★☆)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,且AB是☉O的直径,点C,D是圆上两点,且=,连接CD交AB于点E.若tan∠CDB=,求的值.
素养探究全练
14.【推理能力】(2023山东淄博临淄期末)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D是AB上一动点,连接CD,以CD为直径的☉M交AC于点E,连接BM并延长交AC于点F,交☉M于点G,连接BE.
(1)如图1,当点D移动到使CD⊥BE时.
①连接DE,求证:BD=AE;
②求BD∶BC的值.
(2)如图2,当点D移动到使的度数为30°时,求证:AE2+CF2=EF2.
图1
图2
答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵CD是☉O的直径,∴∠DBC=90°.
∵∠DBA=∠DCA=41°,
∴∠ABC=90°-∠DBA=49°,故选C.
2.C ∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.
∵∠CAD=∠OBC=40°,∴∠BAC=50°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCA=(180°-∠BAC)=65°.∴∠ADB=∠BCA=65°.故选C.
3.答案62
解析连接BC(图略).
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠ABC=90°-∠BAC=62°.∴∠D=∠ABC=62°.
方法解读 圆中“直角”与“直径”相对,可相互转换.一般地,如果题目中存在直径,往往作出直径所对的圆周角——直角;如果存在直角,往往作出直径.
4.答案60°
解析∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,cos A==,∴∠A=60°.
∴∠D=∠A=60°.
5.答案(0,5)
解析设☉A与x轴的另一个交点为点D,连接CD,如图.
∵∠COD=90°,∴CD是☉A的直径,即CD=10.
∵∠OBC=30°,∴∠ODC=30°.
∴OC=CD=5.∴点C的坐标为(0,5).
6.解析(1)∵∠BCD=45°,∴∠BAD=45°.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∴∠ABD=90°-∠BAD=45°.
(2)连接AC(图略).
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=∠CDB=30°,
∴AB=2BC=2×5=10.∴☉O的半径为5.
7.解析(1)证明:∵BC平分∠ABD,∴∠DBC=∠ABC.
∵∠CAD=∠DBC,∴∠CAD=∠ABC.
(2)连接CD(图略).
∵∠ADC=∠ABC,∠CAD=∠ABC,
∴∠ADC=∠CAD.∴AC=CD.
∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.
∴AC2+CD2=2CD2=AD2.∵AD=4,∴CD=2.
8.解析(1)证明:∵E为AD的中点,∴AE=DE,
又OC是☉O的半径,∴=.∴∠CAD=∠CBA.
(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵AE=DE,∴OC⊥AD.∴∠AEC=90°.∴∠AEC=∠ACB.
又∠CAD=∠CBA,∴△AEC∽△BCA.
∴=,即=.∴CE=3.6.
∵OC=AB=5,∴OE=OC-EC=5-3.6=1.4.
能力提升全练
9.C ①∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°.
∴∠ADB=∠ACB=60°,∠BDC=∠BAC=60°.
∴∠ADB=∠BDC,故①正确.
②∵点D是弧AC上一动点,∴与不一定相等.
∴DA与DC不一定相等,故②错误.
③当DB最长时,DB为☉O的直径,∴∠BCD=90°.
∵∠BDC=60°,∴∠DBC=30°.
∴DB=2DC,故③正确.
④在DB上取一点E,使DE=AD,连接AE,如图.
∵∠ADB=60°,∴△ADE是等边三角形.
∴AD=AE,∠DAE=60°.
∵∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAD.
∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS).∴BE=CD.
∴BD=BE+DE=CD+AD,即DA+DC=DB,故④正确.
∴正确的有①③④,共3个,故选C.
10.答案108°
解析∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.
∵=,∴AB=AD.∴∠B=∠D=45°.
∵∠DAC=∠COD=×126°=63°,
∴∠AEB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°.
11.答案2a
解析如图,连接AB,过点C作CE⊥BD,交BD的延长线于E.
易知∠ADB=∠ACB=90°.∵AC=BC,
∴∠ABC=45°,∴∠ADC=∠ABC=45°,∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=45°.∴CE=DE=CD=a.
∵tan∠CBD==,∴BE=a,
∴BD=BE-DE=a,BC==a,
∴AB=a,
∴AD===2a.
12.解析(1)证明:∵OA⊥BD,∴=.
∴∠ACB=∠ACD,即CA平分∠BCD.
(2)如图,延长AE交BC于M,延长CE交AB于N.
∵AE⊥BC,∴∠AMB=90°.
∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°.
∴∠BCD=∠AMB.∴CD∥AM.同理可得AD∥NC.
∴四边形AECD是平行四边形,∴AE=CD=3.
∴BC===3.
13.解析如图,连接OD,过点C作CF⊥AB于F.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
又∠CDB=∠CAB,tan∠CDB=,
∴tan∠CAB==.
设BC=x,则AC=2x,∴AB==x.
∴OD=AB=x.∵S△ABC=AC·BC=AB·CF,
∴2x·x=x·CF,∴CF=x.
∵=,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°.
∴∠BOD=2∠BCD=90°.
∵CF⊥AB,∴∠CFE=90°.∴∠CFE=∠BOD.
∵∠FEC=∠OED,∴△CEF∽△DEO.
∴===.∴=.
素养探究全练
14.解析(1)①证明:∵CD是☉M的直径,CD⊥BE,
∴=,∠DEC=90°.∴BD=ED,∠DEA=90°.
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠A=45°.
∴∠ADE=45°.∴∠ADE=∠A.∴AE=ED.∴BD=AE.
②由①知AE=ED=BD.∴AD==BD.
∴AB=AD+BD=(+1)BD.∴BC=AB=(+1)BD.
∴BD∶BC=1∶(+1)=-1.
(2)证明:证法一(构造直角三角形):
连接EM,DE,如图.
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠A=∠ACB=45°.
∵∠EMB=2∠ECB,∴∠EMB=90°.
∴∠EMF=90°.∴EM2+MF2=EF2.
∵的度数为30°,∴∠CMG=30°,
∴∠BMD=∠CMG=30°,∴∠DME=60°.
∵DM=EM,∴△DME是等边三角形.
∴DE=EM,∠CDE=60°.∵CD是☉M的直径,
∴∠CED=90°,∴∠AED=90°.∵∠A=45°,
∴∠ADE=45°,∴∠ADE=∠A,
∴AE=ED.∴AE=EM.
∵∠DCE=90°-∠CDE=30°,∴∠DCE=∠CMG.
∴CF=MF.∵EM2+MF2=EF2,∴AE2+CF2=EF2.
证法二(等腰直角三角形的半角模型):
如图,连接CG.∵BG是☉M的直径,∴∠BCG=90°.
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ACB=45°.
∴∠ECG=45°.∴∠EBF=45°.
将△BCF绕点B顺时针旋转90°得△BAF',连接EF',
易证∠F'AC=90°,△BAF'≌△BCF,△BEF'≌△BEF,
∴CF=AF',EF=EF'.
在Rt△F'AE中,AE2+AF'2=EF'2,∴AE2+CF2=EF2.
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第五章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论3
基础过关全练
知识点5 圆周角定理的推论3
1.(2023四川自贡中考)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是(M9205005)( )
A.41° B.45° C.49° D.59°
第1题图
第2题图
2.(2023山东聊城东昌府一模)如图,在△ABC中,AB=AC,三个顶点A,B,C均在☉O上,BD过圆心O,连接AD.当∠OBC=40°时,∠ADB的度数是 ( )
A.45° B.55° C.65° D.75°
3.(2022江苏苏州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D= °.(M9205005)
4.(2023山东烟台招远期末)如图,☉O的直径AB=2,弦AC=1,连接BC,点D在☉O上,则∠D的度数是 .(M9205005)
5.【构造法】(2022山东东营垦利期末改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,直径为10的☉A经过y轴上的点C和原点O,点B是y轴右侧☉A的优弧OBC上一点,∠OBC=30°,则点C的坐标为 .
6.如图,AB是☉O的直径,C,D两点在☉O上,若∠C=45°.
(1)求∠ABD的度数;
(2)若∠CDB=30°,BC=5,求☉O的半径.
7.(2023山东济南莱芜模拟)如图,已知△ABC的三个顶点都在☉O上,AD是☉O的直径,连接BD,BC平分∠ABD.(M9205005)
(1)求证:∠CAD=∠ABC;
(2)若AD=4,求CD的长.
8.(2020浙江衢州中考)如图,△ABC的三个顶点在☉O上,AB为☉O的直径,AB=10,AC=6,连接OC,弦AD分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点.(M9205005)
(1)求证:∠CAD=∠CBA;
(2)求OE的长.
能力提升全练
9.(2022湖北十堰中考改编,9,★★☆)如图,等边△ABC的三个顶点都在☉O上,点D是弧AC上一动点(不与A,C重合),下列结论:①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③当DB最长时,DB=2DC;④DA+DC=DB.其中一定正确的结论有(M9205005)( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.(2023山东烟台莱阳期末,15,★★☆)如图,BD是☉O的直径,点A、C在☉O上,=,连接AD、AB,AC、BD相交于点E,若∠COD=126°,则∠AEB的度数为 .(M9205005)
11.(2022山东济宁中考,15,★★★)如图,点A,C,D,B在☉O上,AC=BC,∠ACB=90°.若CD=a,tan∠CBD=,则AD的长是 .(M9205005)
12.【和差法】(2023安徽中考,20,★★☆)已知四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,对角线BD是☉O的直径.(M9205005)
(1)如图1,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证:CA平分∠BCD;
(2)如图2,E为☉O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=3,AE=3,求弦BC的长.
13.【设参法】(2022山东烟台莱州一模改编,22,★★☆)如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,且AB是☉O的直径,点C,D是圆上两点,且=,连接CD交AB于点E.若tan∠CDB=,求的值.
素养探究全练
14.【推理能力】(2023山东淄博临淄期末)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D是AB上一动点,连接CD,以CD为直径的☉M交AC于点E,连接BM并延长交AC于点F,交☉M于点G,连接BE.
(1)如图1,当点D移动到使CD⊥BE时.
①连接DE,求证:BD=AE;
②求BD∶BC的值.
(2)如图2,当点D移动到使的度数为30°时,求证:AE2+CF2=EF2.
图1
图2
答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵CD是☉O的直径,∴∠DBC=90°.
∵∠DBA=∠DCA=41°,
∴∠ABC=90°-∠DBA=49°,故选C.
2.C ∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.
∵∠CAD=∠OBC=40°,∴∠BAC=50°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCA=(180°-∠BAC)=65°.∴∠ADB=∠BCA=65°.故选C.
3.答案62
解析连接BC(图略).
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠ABC=90°-∠BAC=62°.∴∠D=∠ABC=62°.
方法解读 圆中“直角”与“直径”相对,可相互转换.一般地,如果题目中存在直径,往往作出直径所对的圆周角——直角;如果存在直角,往往作出直径.
4.答案60°
解析∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,cos A==,∴∠A=60°.
∴∠D=∠A=60°.
5.答案(0,5)
解析设☉A与x轴的另一个交点为点D,连接CD,如图.
∵∠COD=90°,∴CD是☉A的直径,即CD=10.
∵∠OBC=30°,∴∠ODC=30°.
∴OC=CD=5.∴点C的坐标为(0,5).
6.解析(1)∵∠BCD=45°,∴∠BAD=45°.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∴∠ABD=90°-∠BAD=45°.
(2)连接AC(图略).
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=∠CDB=30°,
∴AB=2BC=2×5=10.∴☉O的半径为5.
7.解析(1)证明:∵BC平分∠ABD,∴∠DBC=∠ABC.
∵∠CAD=∠DBC,∴∠CAD=∠ABC.
(2)连接CD(图略).
∵∠ADC=∠ABC,∠CAD=∠ABC,
∴∠ADC=∠CAD.∴AC=CD.
∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.
∴AC2+CD2=2CD2=AD2.∵AD=4,∴CD=2.
8.解析(1)证明:∵E为AD的中点,∴AE=DE,
又OC是☉O的半径,∴=.∴∠CAD=∠CBA.
(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵AE=DE,∴OC⊥AD.∴∠AEC=90°.∴∠AEC=∠ACB.
又∠CAD=∠CBA,∴△AEC∽△BCA.
∴=,即=.∴CE=3.6.
∵OC=AB=5,∴OE=OC-EC=5-3.6=1.4.
能力提升全练
9.C ①∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°.
∴∠ADB=∠ACB=60°,∠BDC=∠BAC=60°.
∴∠ADB=∠BDC,故①正确.
②∵点D是弧AC上一动点,∴与不一定相等.
∴DA与DC不一定相等,故②错误.
③当DB最长时,DB为☉O的直径,∴∠BCD=90°.
∵∠BDC=60°,∴∠DBC=30°.
∴DB=2DC,故③正确.
④在DB上取一点E,使DE=AD,连接AE,如图.
∵∠ADB=60°,∴△ADE是等边三角形.
∴AD=AE,∠DAE=60°.
∵∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAD.
∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS).∴BE=CD.
∴BD=BE+DE=CD+AD,即DA+DC=DB,故④正确.
∴正确的有①③④,共3个,故选C.
10.答案108°
解析∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.
∵=,∴AB=AD.∴∠B=∠D=45°.
∵∠DAC=∠COD=×126°=63°,
∴∠AEB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°.
11.答案2a
解析如图,连接AB,过点C作CE⊥BD,交BD的延长线于E.
易知∠ADB=∠ACB=90°.∵AC=BC,
∴∠ABC=45°,∴∠ADC=∠ABC=45°,∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=45°.∴CE=DE=CD=a.
∵tan∠CBD==,∴BE=a,
∴BD=BE-DE=a,BC==a,
∴AB=a,
∴AD===2a.
12.解析(1)证明:∵OA⊥BD,∴=.
∴∠ACB=∠ACD,即CA平分∠BCD.
(2)如图,延长AE交BC于M,延长CE交AB于N.
∵AE⊥BC,∴∠AMB=90°.
∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°.
∴∠BCD=∠AMB.∴CD∥AM.同理可得AD∥NC.
∴四边形AECD是平行四边形,∴AE=CD=3.
∴BC===3.
13.解析如图,连接OD,过点C作CF⊥AB于F.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
又∠CDB=∠CAB,tan∠CDB=,
∴tan∠CAB==.
设BC=x,则AC=2x,∴AB==x.
∴OD=AB=x.∵S△ABC=AC·BC=AB·CF,
∴2x·x=x·CF,∴CF=x.
∵=,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°.
∴∠BOD=2∠BCD=90°.
∵CF⊥AB,∴∠CFE=90°.∴∠CFE=∠BOD.
∵∠FEC=∠OED,∴△CEF∽△DEO.
∴===.∴=.
素养探究全练
14.解析(1)①证明:∵CD是☉M的直径,CD⊥BE,
∴=,∠DEC=90°.∴BD=ED,∠DEA=90°.
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠A=45°.
∴∠ADE=45°.∴∠ADE=∠A.∴AE=ED.∴BD=AE.
②由①知AE=ED=BD.∴AD==BD.
∴AB=AD+BD=(+1)BD.∴BC=AB=(+1)BD.
∴BD∶BC=1∶(+1)=-1.
(2)证明:证法一(构造直角三角形):
连接EM,DE,如图.
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠A=∠ACB=45°.
∵∠EMB=2∠ECB,∴∠EMB=90°.
∴∠EMF=90°.∴EM2+MF2=EF2.
∵的度数为30°,∴∠CMG=30°,
∴∠BMD=∠CMG=30°,∴∠DME=60°.
∵DM=EM,∴△DME是等边三角形.
∴DE=EM,∠CDE=60°.∵CD是☉M的直径,
∴∠CED=90°,∴∠AED=90°.∵∠A=45°,
∴∠ADE=45°,∴∠ADE=∠A,
∴AE=ED.∴AE=EM.
∵∠DCE=90°-∠CDE=30°,∴∠DCE=∠CMG.
∴CF=MF.∵EM2+MF2=EF2,∴AE2+CF2=EF2.
证法二(等腰直角三角形的半角模型):
如图,连接CG.∵BG是☉M的直径,∴∠BCG=90°.
∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ACB=45°.
∴∠ECG=45°.∴∠EBF=45°.
将△BCF绕点B顺时针旋转90°得△BAF',连接EF',
易证∠F'AC=90°,△BAF'≌△BCF,△BEF'≌△BEF,
∴CF=AF',EF=EF'.
在Rt△F'AE中,AE2+AF'2=EF'2,∴AE2+CF2=EF2.
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