5.6.2 切线的性质与判定课时练（含解析）

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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
圆
6　直线和圆的位置关系
第2课时　切线的性质与判定
基础过关全练
知识点2　切线的性质
1.【构造法】(2023重庆中考A卷)如图,AC所在直线是☉O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=2,BC=3,则OC的长度是(　　)
A.3　　　　B.2　　　　C.　　　　D.6
2.【构造法】(2023山东泰安岱岳三模)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,∠CDB=15°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若OE=2,则☉O的半径为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.【构造法】(2022山东泰安中考)如图,在△ABC中,∠B=90°,☉O过点A、C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO=　　　　°.
4.【中华优秀传统文化】(2022湖南株洲中考)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:“一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”,如图所示.
问题:此图中,正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10米,☉O的半径为2米,则BN的长度为　　　　米.
5.【教材变式·P37T3】(2022浙江金华中考)如图,木工用角尺的短边紧靠☉O于点A,
长边与☉O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6 cm,CB=8 cm,则☉O的半径
为　　　　cm.
6.【新独家原创】如图,△ABC内接于☉O,过点A作☉O的切线AD,连接OD交☉O于点E,点E恰为的中点,试猜想∠B与∠D的数量关系,并说明理由.
7.(2023江苏连云港中考)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交边AC于点D,连接BD,过点C作CE∥AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图:过点B作☉O的切线,交CE于点F;(不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
(2)在(1)的条件下,求证:BD=BF.
8.【构造法】(2023山东东营河口三模)如图,CD与☉O相切于点D,点C在直径AB的延长线上.
(1)求证:∠CAD=∠BDC;
(2)若BD=AD,AC=6,求CD的长.
9.(2022天津中考)已知AB为☉O的直径,AB=6,C为☉O上的一点,连接CA,CB.
(1)如图①,若C为的中点,求∠CAB的度数和AC的长;
(2)如图②,若AC=2,OD为☉O的半径,且OD⊥CB,垂足为E,过点D作☉O的切线,与AC的延长线相交于点F,求FD的长.
图①
图②
知识点3　切线的判定
10.(2023广西中考节选)如图,PO平分∠APD,PA与☉O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.
求证:PB是☉O的切线.
11.(2022四川南充中考节选)如图,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,点D是☉O外一点,∠BCD=∠BAC,连接OD交BC于点E.
求证:CD是☉O的切线.
12.【构造法】(2023甘肃武威中考)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,D是☉O上的一点,CO平分∠BCD,CE⊥AD,垂足为E,AB与CD相交于点F.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)当☉O的半径为5,sin B=时,求CE的长.
能力提升全练
13.【方程思想】(2023四川泸州中考,11,★★★)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在斜边AB上,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,与AC相交于点F,连接DE.若AC=8,BC=6,则DE的长是(　　)
A.　　　B.　　　　
C.　　　D.
14.【构造法】(2023山东泰安东平模拟,15,★★☆)如图,☉O中,AB=CB,过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D,连接OB,OC,若∠ABC=46°,则∠ADC的度数是　　　　.
15.【一题多解】(2023河南中考,14,★★☆)如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为　　　　.
第15题图
第16题图
16.【分类讨论思想】(2021山东淄博博山模拟,8,★★☆)如图,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC=6,点O在BC边上,且OB=2,P是AB边上的动点,连接OP,以点O为圆心,OP长为半径作☉O.当☉O与Rt△ACB的边相切时,BP的长为　　　　.
17.【新考法】(2023山东威海中考,21,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,☉P与x轴相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2).连接AC,BC.
(1)求点P的坐标;
(2)求cos∠ACB的值.
18.【构造法】(2023山东威海乳山一模,22,★★☆)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,AB=BE,PD切☉O于点D,交EB于点C,连接AE,点D恰好在AE上.
(1)求证:BE⊥PC;
(2)连接OC,如果PD=2,∠ABC=60°,求OC的长.
19.【设参法】(2023山东烟台中考,22,★★☆)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,☉O经过A,D两点,交对角线AC于点F,连接OF交AD于点G,且AG=GD.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)已知☉O的半径与菱形的边长之比为5∶8,求tan∠ADB的值.
素养探究全练
20.【推理能力】(2023浙江丽水中考改编)如图,在☉O中,AB是一条不过圆心O的弦,点C,D是的三等分点,直径CE交AB于点F,连接AD交CF于点G,连接AC,过点C的切线交BA的延长线于点H.
(1)求证:AD∥HC;
(2)若=2,求tan∠FAG的值;
(3)连接BC交AD于点N,若☉O的半径为5.
①若OF=,求BC的长;
②若AH=,求△ANB的周长;
③若HF·AB=88,求△BHC的面积.
答案全解全析
基础过关全练
1.C　如图,连接OB.
∵AC所在直线是☉O的切线,
∴OB⊥AC.
∴∠ABO=∠CBO=90°.
∵∠A=30°,AB=2,
∴OB=AB·tan A=2.
∵BC=3,∴OC===,故选C.
方法解读　已知圆的切线时,常连接圆心和切点,得到的半径垂直于切线,进一步通过构造直角三角形来解决问题,即“见切线,连半径,得垂直”.
2.A　如图,连接OC.
∵∠CDB=15°,∴∠COB=2∠CDB=30°.
∵直线CE为☉O的切线,∴OC⊥CE.
∴OC=OE·cos∠COB=2×=,故选A.
3.答案64
解析如图,连接OC.
∵∠A=32°,∴∠DOC=2∠A=64°.
∵BC与☉O相切于点C,
∴OC⊥BC,即∠OCB=90°.
∵∠B=90°,∴∠B+∠OCB=180°.∴AB∥OC.
∴∠ADO=∠DOC=64°.
4.答案(8-2)
解析如图,设正方形的一边与☉O的切点为C,连接OC,则OC⊥AC,
∵AB是正方形的对角线,
∴∠OAC=45°,∴OA=OC=2(米),
∴BN=AB-AO-ON=10-2-2=(8-2)米.
5.答案
解析连接OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D,如图.
∵角尺长边与☉O相切于点B,∴OB⊥BC.
∵AC⊥BC,AD⊥OB,∴四边形ACBD为矩形.
∴BD=AC=6 cm,AD=BC=8 cm.
设☉O的半径为r cm,则OA=OB=r cm,
∴OD=OB-BD=(r-6)cm.
在Rt△OAD中,AD2+OD2=OA2,即82+(r-6)2=r2,解得r=.故☉O的半径为 cm.
6.解析∠B+∠D=90°.
理由:如图,连接AO并延长交☉O于点F,连接CF.
∵点E为的中点,∴OE⊥AC.
∴∠CAD+∠D=90°.
∵AD与☉O相切于点A,∴∠FAD=90°.
∴∠CAD+∠FAC=90°.
∵AF是☉O的直径,∴∠ACF=90°,
∴∠AFC+∠FAC=90°.∴∠AFC=∠CAD.
∵∠AFC=∠B,∴∠B+∠D=90°.
7.解析(1)方法不唯一,如图所示.
(2)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵AB∥CE,∴∠ABC=∠BCF,∴∠BCF=∠ACB.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠BDC=90°.
∵BF为☉O的切线,∴∠ABF=90°.
∵AB∥CE,∴∠BFC+∠ABF=180°,
∴∠BFC=90°,∴∠BDC=∠BFC.
在△BCD和△BCF中,
∴△BCD≌△BCF(AAS),∴BD=BF.
8.解析(1)证明:如图,连接OD.
∵CD与☉O相切于点D,∴∠ODC=90°,
∴∠ODB+∠BDC=90°.
∵AB是☉O的直径,∴∠BDA=90°,
∴∠ODB+∠ODA=90°.∴∠BDC=∠ODA.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠CAD.∴∠CAD=∠BDC.
(2)∵∠DCB=∠ACD,∠BDC=∠DAC,
∴△CDB∽△CAD.
∴=,即=.∴CD=4.
∴CD的长是4.
9.解析(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵C为的中点,∴=,
∴AC=BC,∴∠ABC=∠CAB.
在Rt△ABC中,∠ABC+∠CAB=90°,∴∠CAB=45°.
根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2.
又AB=6,∴2AC2=36.∴AC=3(舍负).
(2)∵FD是☉O的切线,
∴OD⊥FD,即∠ODF=90°.
∵OD⊥CB,垂足为E,∴∠CED=90°,CE=CB.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠FCE=90°.
∴∠FCE=∠CED=∠ODF=90°.
∴四边形ECFD为矩形.∴FD=CE=CB.
在Rt△ABC中,AB=6,AC=2,∠ACB=90°,
∴CB==4.∴FD=2.
10.证明　∵PA与☉O相切于点A,∴PA⊥OA.
∵PO平分∠APD,OB⊥PD,OA⊥PA,∴OB=OA.
∴点B在☉O上.∵OB是☉O的半径,且PB⊥OB,
∴PB是☉O的切线.
11.证明　如图,连接OC.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA.
∵∠BCD=∠BAC,∴∠OCA=∠BCD.
∵∠OCA+∠OCB=90°,∴∠BCD+∠OCB=90°,
即∠OCD=90°,∴OC⊥CD.
又OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
12.解析(1)证明:∵OB=OC,∴∠B=∠OCB.
∵∠ADC=∠B,∴∠OCB=∠ADC.
∵CO平分∠BCD,∴∠OCB=∠OCD.
∴∠ADC=∠OCD.
∵CE⊥AD,∴∠ADC+∠ECD=90°,
∴∠OCD+∠ECD=90°,即CE⊥OC.
∵OC为☉O的半径,∴CE是☉O的切线.
(2)连接OD(图略),
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∵∠OCD=∠OCB=∠B,∴∠ODC=∠B,
∵CO=CO,∴△OCD≌△OCB,∴CD=CB.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴AC=AB·sin B=10×=6,
∴CB===8.∴CD=8,
∴CE=CD·sin∠ADC=CD·sin B=8×=.
能力提升全练
13.B　在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,
由勾股定理,得AB==10.
如图,连接AE,OE.
设半圆O的半径为r,则OA=OE=r,
∴OB=AB-OA=10-r.
∵BC与半圆O相切,∴OE⊥BC.
∵∠C=90°,即AC⊥BC,∴OE∥AC.
∴△BOE∽△BAC.∴==,即==.
由=,得r=.由=,得BE=.
∴CE=BC-BE=6-=.
在Rt△ACE中,AC=8,CE=,
由勾股定理,得AE==.
∵AD为半圆O的直径,∴∠AED=90°.
∴DE===.故选B.
14.答案67°
解析连接OA(图略).
∵AB=CB,∴=.∴∠AOB=∠BOC.∵OB=OC,OB=OA,∴∠BCO=∠OBC,∠OAB=∠OBA.∴∠OBA=∠OBC.∵∠ABC=46°,∴∠OBA=∠OBC=23°.∴∠BCO=23°.
∵CD是圆的切线,∴OC⊥CD.∴∠OCD=90°.∴∠BCD=∠BCO+∠OCD=113°.
∵CB∥AD,∴∠ADC=180°-∠BCD=180°-113°=67°.
15.答案
解析如图,连接OC.
∵PA与☉O相切于点A,∴∠OAP=90°.
∵OA=OB,OC=OC,CA=CB,
∴△OAC≌△OBC(SSS).
∴∠OAP=∠OBC=90°,
在Rt△OAP中,OA=5,PA=12,
∴OP===13.
解法一(面积法):
∵△OAC的面积+△OCP的面积=△OAP的面积,
∴OA·AC+OP·BC=OA·AP,
∴OA·AC+OP·BC=OA·AP,
即5AC+13BC=5×12,∴AC=BC=.
解法二(三角函数法):
∵tan P==,∴=,解得AC=.
16.答案或+
解析∵∠C=90°,AC=BC=6,∴∠B=45°.
当☉O与AB相切时,如图1.
∵OP⊥AB,∴∠OPB=90°.
∴BP=OB·cos B=2×=.
图1
图2
当☉O与AC相切时,如图2,过P点作PH⊥BC于H.
易知OP=OC=4.设OH=x,则PH=BH=x+2.
在Rt△POH中,OH2+PH2=OP2,即x2+(x+2)2=42,
解得x1=-1,x2=--1(舍去).
∴PH=x+2=+1.∴PB=PH=+.
综上所述,当☉O与Rt△ACB的边相切时,BP的长为或+.
17.解析此题以平面直角坐标系为背景,考查切线的性质和圆的性质.
(1)如图,连接PC,PB.
∵点A(0,8),B(0,2),∴AB=6.
过P作PH⊥AB于H,∴AH=BH=3.∴OH=5.
∵☉P与x轴相切于点C,∴PC⊥x轴.
易知四边形OHPC为矩形,∴PC=OH=5.∴PB=5.
∴PH==4,∴点P的坐标为(4,5).
(2)如图,连接AP并延长交☉P于M,连接BM,
则∠ABM=90°.∴BM===8.
∴cos∠ACB=cos∠AMB===.
18.解析(1)证明:如图1,连接OD.
∵AB=BE,∴∠E=∠BAE.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∴∠ODA=∠E.∴OD∥BE.
∵PD切☉O于点D,∴OD⊥PD.
∴∠ODP=∠BCP=90°.∴BE⊥PC.
图1
图2
(2)如图2,连接OD.
∵OD∥BE,∠ABC=60°,∴∠DOP=∠ABC=60°.
∵PD⊥OD,∴tan∠DOP=,即=.∴OD=2.
∴OP=4,∴PB=6.
∵BE⊥PC,∴sin∠ABC=,即=,
∴PC=3.∴DC=.
∴OC===.
19.解析(1)证明:如图,连接OA,则OF=OA,
∴∠OAF=∠OFA.
∵AG=GD,∴OF⊥AD.∴∠AGF=90°.
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD.
∴∠BAE=∠DAE.
∴∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°.
∴AB⊥OA.又OA是☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)∵=,AD=2AG,∴=.
设AG=4m,则OF=OA=5m.∵∠AGO=90°,
∴OG===3m.
∴FG=OF-OG=5m-3m=2m.
∵∠AED=∠AGF=90°,
∴∠ADB=∠AFG=90°-∠DAE.
∴tan∠ADB=tan∠AFG===2.
∴tan∠ADB的值是2.
方法解读　作辅助线判定圆的切线的常用方法:①如果已知直线经过圆上的一点,那么连接这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可,简记为有切点,连半径,证垂直.②如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径即可,简记为无切点,作垂直,证半径.
素养探究全练
20.解析(1)证明:∵点C,D是的三等分点,
∴==.又CE是☉O的直径,∴CE⊥AD,
∵HC 是☉O的切线,∴HC⊥CE.∴AD∥HC.
(2)连接AO(图略),∵=,∴∠BAD=∠CAD.
由CE⊥AD易证△CAG≌△FAG,∴CG=FG.
设CG=a,则FG=a,∵=2,
∴OG=2a,∴AO=CO=3a.
在Rt△AOG中,由勾股定理得AO2=AG2+OG2,
∴(3a)2=AG2+(2a)2,∴AG=a.
∴tan∠FAG===.
(3)①如图,连接OA,
∵OF=,OC=OA=5,∴CF=.
∴CG=FG=,∴OG=,
∴AG== .
∵CE⊥AD,∴AD=2AG= .
∵==,∴=,∴BC=AD= .
②如图,连接OA,CD,∵AD∥HC,∴AH=AF.
∵∠HCF=90°,∴AC=AH=AF=.
设CG=b,则FG=b,OG=5-b,
由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2,
即25-(5-b)2=10-b2,解得b=1.
∴AG=3,∴AD=6.∵=,∴∠DAC=∠BCD.
∵∠CDN=∠ADC,∴△CND∽△ACD,
∴=,易知CD=AC,∴ND==,
∴AN=.
∵∠BAD=∠DAC,∠ABN=∠ADC,
∴△ANB∽△ACD.
∴C△ANB=C△ACD·=(6+2)×=+.
③如图,过点O作OM⊥AB于点M,则AM=MB=AB.
设CG=x,则FG=x,OG=5-x,OF=5-2x,
由勾股定理得AG2=AO2-OG2=25-(5-x)2=10x-x2,
则AF2=AG2+FG2=10x-x2+x2=10x.
∵AD∥HC,FG=GC,∴AH=AF=HF,AG=HC.
∴AF·AM=HF·AB=HF·AB=×88=22.
∵∠AGF=∠OMF=90°,∠AFG=∠OFM,
∴△AFG∽△OFM,∴=,
∴AF·FM=OF·GF.
∴AF·AM=AF·(AF+FM)=AF2+AF·FM=AF2+OF·GF=22.可得方程10x+x(5-2x)=22,
解得x1=2,x2=5.5(舍去).
∴CG=FG=2,∴OG=3,∴AG=4,
∴HC=8,AH=AF=2.∴S△CHA=8.
∵AD∥HC,∴∠CAD=∠ACH.∵=,
∴∠B=∠CAD,∴∠B=∠ACH.
∵∠H=∠H,∴△CHA∽△BHC,
∴S△BHC=S△CHA·=8×=.
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