5.6.3 三角形的内切圆课时练（含解析）

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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
圆
6　直线和圆的位置关系
第3课时　三角形的内切圆
基础过关全练
知识点4　三角形的内切圆与内心
1.(2022山东烟台莱州期末)如图,在正方形网格中,点A,B,C,D,O都在格点上.下列说法正确的是(　　)
A.点O是△ABC的内心 B.点O是△ABC的外心
C.点O是△ABD的内心 D.点O是△ABD的外心
第1题图
第2题图
2.【整体思想】(2023山东淄博张店一模)如图,点F是△ABC的内心,连接BF,CF,若∠BFC=112°,则∠A=(　　)
A.44°　　　　B.45°　　　　C.50°　　　　D.55°
3.(2020浙江金华中考)如图,☉O是等边△ABC的内切圆,分别切AB、BC、AC于点E、F、D,P是上一点,则∠EPF的度数是(　　)
A.65°　　　　B.60°　　　　C.58°　　　　D.50°
第3题图
第4题图
4.(2021山东德州夏津期末)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,I是△ABC的内心,则∠AIB的度数是　　　　°.
能力提升全练
5.(2023山东威海中考,10,★★☆)在△ABC中,BC=3,AC=4,下列说法错误的是(　　)
A.1B.S△ABC≤6
C.△ABC内切圆的半径r<1
D.当AB=时,△ABC是直角三角形
6.【面积法】(2023广西梧州二模,10,★★☆)如图,☉O是△ABC的内切圆,若△ABC的周长为18,面积为9,则☉O的半径是(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.1.5　　　　D.2
素养探究全练
7.【推理能力】(2023山东滨州中考)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与边BC交于点F,与△ABC的外接圆交于点D.
(1)求证:S△ABF∶S△ACF=AB∶AC;
(2)求证:AB∶AC=BF∶CF;
(3)求证:AF2=AB·AC-BF·CF;
(4)猜想:线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系.(直接写出,不需证明)
答案全解全析
基础过关全练
1.D　易判断点O到A,B,D三点的距离相等,
∴点O是△ABD的外心,故选D.
2.A　∵点F是△ABC的内心,
∴BF平分∠ABC,CF平分∠ACB.
∴∠ABC=2∠FBC,∠ACB=2∠FCB.
∴∠ABC+∠ACB=2(∠FBC+∠FCB)=2(180°-∠BFC).∵∠BFC=112°,
∴∠ABC+∠ACB=2×(180°-112°)=136°.
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=44°.故选A.
3.B　连接OE、OF(图略).∵☉O是△ABC的内切圆,E、F是切点,
∴OE⊥AB,OF⊥BC.∴∠OEB=∠OFB=90°.∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.∴∠EOF=120°.∴∠EPF=∠EOF=60°.故选B.
4.答案135
解析∵△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵I是△ABC的内心,
∴∠IAB=∠CAB,∠IBA=∠CBA.∴∠IAB+∠IBA=(∠CAB+∠CBA)=45°.
∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-45°=135°.
能力提升全练
5.C　A项,由三角形三边关系得,4-3B项,当BC⊥AC时,S△ABC最大,此时S△ABC=×3×4=6,∴S△ABC≤6,故本选项正确,不符合题意;C项,当BC⊥AC时,由勾股定理得AB===5,如图,设△ABC的内切圆圆心为点O,连接OA,OB,OC,
则S△ABC=S△OAC+S△OAB+S△OBC,即×3×4=×4×r+×5×r+×3×r,解得r=1,故本选项错误,符合题意;D项,当AB=时,BC2+AB2=AC2,∴△ABC是直角三角形,故本选项正确,不符合题意.故选C.
6.A　如图,设☉O与△ABC的各边分别相切于点E,F,G,连接OE,OF,OG,OA,OB,OC.则OE⊥AB,OF⊥AC,OG⊥BC,设☉O的半径为r,则OE=OF=OG=r.
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BOC=AB·r+AC·r+BC·r=(AB+AC+BC)·r,
又△ABC的周长为18,面积为9,
∴9=×18r,解得r=1.故选A.
方法解读　若三角形的三边长分别为a,b,c,内切圆的半径为r,则三角形的面积S=·(a+b+c),利用这个公式,三角形的面积、周长、内切圆的半径三个量中,任知两个,可求第三个.
素养探究全练
7.解析(1)证明:如图,过点F作FH⊥AC,FG⊥AB,垂足分别为H,G.
∵点E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC.
∵FH⊥AC,FG⊥AB,∴FG=FH.
∵S△ABF=AB·FG,S△ACF=AC·FH,
∴S△ABF∶S△ACF=AB∶AC.
(2)证明:过点A作AM⊥BC于点M,如图.
∵S△ABF=BF·AM,S△ACF=CF·AM,
∴S△ABF∶S△ACF=BF∶CF.
由(1)可得S△ABF∶S△ACF=AB∶AC,∴AB∶AC=BF∶CF.
(3)证明:连接DB,DC,如图.
∵∠ACF=∠BDF,∠FAC=∠FBD,
∴△BFD∽△AFC.∴=.
∴BF·CF=AF·DF.
∵∠FBA=∠ADC,∠BAD=∠DAC,
∴△ABF∽△ADC.∴=.∴AB·AC=AD·AF.
∴AB·AC=(AF+DF)·AF=AF2+AF·DF.
∴AF2=AB·AC-BF·CF.
(4)DE2=DA·DF.详解:连接BE,BD,DC,如图.
∵点E是△ABC的内心,∴∠ABE=∠FBE.
∵∠CBD=∠CAD=∠BAD,∠ADB=∠BDF,
∴△ABD∽△BFD.∴=.∴DB2=DA·DF.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE=∠BAC+∠ABC,
∠DBE=∠DBC+∠FBE=∠DAC+∠FBE=∠BAC+∠ABC,
∴∠BED=∠DBE.∴DB=DE,∴DE2=DA·DF.
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