5.9 弧长及扇形的面积课时练（含解析）

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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
圆
9　弧长及扇形的面积
基础过关全练
知识点1　弧长
1.【真实情境】(2023吉林中考改编)如图①,A,B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢.
图②是其示意图,点O是圆心,半径r为15 m,点A,B是圆上的两点,圆心角∠AOB=120°,则的长为(　　)
图①
图②
A.5π m　　　　B.10π m　　　　C.15π m　　　　D.20π m
2.【新考法】(2022山东泰安高新区一模)量角器的圆心为O点,直径AB=12,一把宽为3的直尺的一边过O点且与量角器交于C、D两点,如图所示,则的长为(　　)
A.2π　　　　B.π　　　　C.π　　　　D.π
3.【新考向·新定义试题】(2023湖南张家界中考)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于(　　)
A.π　　　　B.3π　　　　C.2π　　　　D.2π-
第3题图
第4题图
4.如图,正方形ABCD的边长为1,分别以顶点A、B、C、D为圆心,1为半径画弧,四条弧交于点E、F、G、H,则图中阴影部分的外围周长为(　　)
A.π　　　　B.π　　　　C.π　　　　D.π
5.(2021四川广安中考)如图,公园内有一个半径为18米的圆形草坪,从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB).已知A、B是圆上的点,O为圆心,∠AOB=120°,从A走到B,走便民路比走观赏路少走(　　)
A.(6π-6)米　　　B.(6π-9)米　　　　
C.(12π-9)米　　　D.(12π-18)米
6.(2023浙江温州中考)若扇形的圆心角为40°,半径为18,则它的弧长为　　　　.
7.【跨学科·物理】【教材变式·P55习题T2】(2022湖南衡阳中考)如图,用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与轮滑之间没有滑动,则重物上升了　　　cm.(结果保留π)
8.【整体思想】(2022吉林中考)如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若∠BAE=65°,∠COD=70°,则与的长度之和为　　　　(结果保留π).
知识点2　扇形面积
9.【教材变式·P56T4】(2022贵州毕节中考)如图,一件扇形艺术品完全打开后,AB,AC的夹角为120°,AB的长为45 cm,BD的长为30 cm,则扇面(阴影部分)的面积是(　　)
A.375π cm2　　　B.450π cm2　　　　C.600π cm2　　　D.750π cm2
第9题图
第10题图
10.【转化思想】(2020山东枣庄中考)如图,正方形ABCD的边长为2,O为对角线的交点,点E、F分别为BC、AD的中点.以C为圆心,2为半径作,再分别以E、F为圆心,1为半径作、,则图中阴影部分的面积为(　　)
A.π-1　　　　B.π-2　　　　C.π-3　　　　D.4-π
11.已知一扇形的弧长是4π,半径为3,那么这个扇形的面积是　　　　.
12.(2023重庆中考B卷)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E为BC的中点,连接AE,DE.以E为圆心,EB长为半径画弧,分别与AE,DE交于点M,N.则图中阴影部分的面积为　　　　(结果保留π).
13.【和差法】(2023黑龙江绥化中考)如图,☉O的半径为2 cm,AB为☉O的弦,点C为上的一点,将沿弦AB翻折,使点C与圆心O重合,则阴影部分的面积为　　　　　　　.(结果保留π与根号)
14.【一题多变·求旋转形成的不规则阴影部分面积】(2022山东济南平阴二模)如图,在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点A逆时针旋转40°后得到△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是　　　　.
[变式1·不规则阴影部分由线段旋转形成]如图,BC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AB=46 cm,AC=16 cm,当BC绕点A顺时针旋转120°时,刮雨刷BC扫过的面积
为　　　cm2(结果保留π).
[变式2·不规则阴影部分由线段两端点绕不同旋转中心旋转形成](2022山东青岛市南二模)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=4,OB=3,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分的面积是　　　　.
15.(2021山东淄博博山模拟)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,点P为CA延长线上一点,∠CAD=45°.
(1)若AB=8,求图中阴影部分的面积;
(2)若BC=AD=AP,求证:PD是☉O的切线.
能力提升全练
16.(2023湖北荆州中考,10,★★☆)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,B为上一点,OB⊥AC于D.若AC=300 m,BD=150 m,则的长为(　　)
A.300π m　　　B.200π m
C.150π m　　　D.100π m
17.(2022山东泰安中考,8,★★☆)如图,四边形ABCD中,∠A=60°,AB∥CD,DE⊥AD交AB于点E,以点E为圆心,DE长为半径,且DE=6的圆交CD于点F,则阴影部分的面积为(　　)
A.6π-9　　　B.12π-9
C.6π-　　　D.12π-
18.【和差法】(2023山东泰安东平模拟,8,★★☆)如图,将半径为4,圆心角为90°的扇形ABC绕A点逆时针旋转,在旋转过程中,点B落在扇形ABC的弧AC上的点B'处,点C的对应点为点C',则阴影部分的面积为(　　)
A.π+2　　　B.π+4
C.+π　　　D.π-
19.【等积变形法】(2023山东泰安东平三模,8,★★☆)如图,点O是半圆圆心,BE是半圆的直径,点A,D在半圆上,且AD∥BO,∠ABO=60°,AB=8,过点D作DC⊥BE于点C,则阴影部分的面积是(　　)
A.　　　B.
C.-8　　　D.-32
20.【一题多解】(2022山东烟台莱州一模,8,★★☆)如图,正方形ABCD的边长为1,和都是以1为半径的圆弧,两部分阴影的面积分别记为S1和S2,则S2-S1等于(　　)
A.-1　　　B.1-
C.-1　　　D.1-
21.(2021山东泰安东平一模,15,★★☆)如图,放置在直线l上的扇形AOB,由①滚动(无滑动)到②,再由②滚动到③,若半径OA=2,∠AOB=45°,则点O运动的路径长为　　　　.
22.(2022湖北十堰中考,15,★★☆)如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=2,点C为OB上一点,将扇形AOB沿AC折叠,使点B的对应点B'落在射线AO上,则图中阴影部分的面积为　　　　.
23.【构造法】(2023湖南岳阳中考,16,★★☆)如图,在☉O中,AB为直径,BD为弦,点C为的中点,以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E.
(1)若∠A=30°,AB=6,则的长是　　　　(结果保留π);
(2)若=,则=　　　　.
素养探究全练
24.【抽象能力】(2023山东淄博高青二模)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格图中,一段圆弧经过格点A,B,C,CE的延长线经过格点D,则的长为(　　)
A.　　　B.　　　　
C.　　　D.
答案全解全析
基础过关全练
1.B　∵∠AOB=120°,☉O的半径r为15 m,
∴的长==10π(m).故选B.
2.D　如图,过点D作DE⊥OC,垂足为E.
∵直尺的宽度为3,∴DE=3,
∵AB=12,∴OC=OD=6.∴DE=OD,∴∠COD=30°(也可借助量角器读取∠COD的度数).
∴的长为=π.故选D.
3.B　∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=3,∠A=∠B=∠C=60°.
∴==.∵的长==π,
∴该“莱洛三角形”的周长是3π.故选B.
4.B　如图,连接AE、AF、DF.
由题意得AD=AF=DF,∴△ADF是等边三角形.
∴∠FAD=60°,∵∠BAD=90°,∴∠BAF=90°-60°=30°.
同理可得,∠DAE=30°.∴∠EAF=30°.
由对称性知,l=l=l=l,
∴阴影部分的外围周长==.故选B.
5.D　作OC⊥AB于C,如图,则AC=BC.
∵OA=OB,∴∠AOC=∠AOB=×120°=60°.
在Rt△AOC中,OA=18米,
∴AC=OA·sin∠AOC=18×sin 60°=9(米).
∴AB=2AC=18米.
∵的长==12π(米),
∴走便民路比走观赏路少走(12π-18)米.
6.答案4π
解析扇形的弧长==4π.
7.答案4π
解析由题意得,重物上升的距离是半径为6 cm,圆心角为120°的扇形的弧长,即=4π(cm).
8.答案π
解析∵∠BAE=65°,∴∠BOE=2∠BAE=130°.
∴∠BOC+∠DOE=∠BOE-∠COD=60°.
∴与的长度之和==π.
9.C　∵AB的长为45 cm,BD的长为30 cm,
∴AD=AB-BD=15 cm.∵∠BAC=120°,
∴扇面的面积=S扇形BAC-S扇形DAE
=-=600π(cm2),故选C.
10.B　连接BD(图略).易判断弓形OB的面积=弓形OD的面积,
∴S阴影=S扇形BCD-S△CBD=-×2×2=π-2.故选B.
11.答案6π
解析该扇形的面积为×4π×3=6π.
12.答案4-π
解析由题意得,AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°,
∵AB=2,BC=4,E为BC的中点,
∴AB=CD=BE=CE=2.
∴∠BAE=∠AEB=∠CDE=∠DEC=45°.
∴阴影部分的面积=2××2×2-2×=4-π.
13.答案cm2
解析如图,连接OA,OC,OC交AB于点M.
由折叠性质可得OA=AC,OM=CM,AB⊥OC.
∵OA=OC,∴OA=OC=AC=2 cm.
∴OM=CM=OC=1 cm,∠AOC=60°.
∵∠AMO=90°,
∴AM===(cm).
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=-×2×=cm2.
14.答案4π
解析由旋转的性质知,△ABC≌△ADE,∴S△ABC=S△ADE,∵在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点A逆时针旋转40°后得到△ADE,∴阴影部分的面积=扇形BAD的面积+△ADE的面积-△ABC的面积=扇形BAD的面积=×π×62=4π.
[变式1]　答案620π
解析由旋转的性质可知△ABC≌△AB'C',
∴S△ABC=S△AB'C',∴刮雨刷BC扫过的面积=扇形BAB'的面积+△AB'C'的面积-△ABC的面积-扇形CAC'的面积=扇形BAB'的面积-扇形CAC'的面积=-=620π(cm2).
方法解读　由某线段绕旋转中心旋转形成的不规则阴影部分的面积通常为线段两端点与旋转中心所连线段分别绕旋转中心旋转所形成的扇形面积的差.
[变式2]答案-
解析如图,作DH⊥AE于H.
∵∠AOB=90°,OA=4,OB=3,
∴AB==5.
由旋转的性质可知,OE=OB=3,DE=EF=AB=5.
∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,
∴∠OFE=∠OED.
∵∠DHE=∠FOE=90°,∴△DHE≌△EOF.
∴DH=OE=3.
∴阴影部分的面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=×7×3+×3×4+-=-.
15.解析(1)连接OC,OD(图略),∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°.∵AB=8,
∴OC=OD=AB=4.∴S扇形COD==4π,S△OCD=OC·OD=×4×4=8.∴题图中阴影部分的面积为4π-8.
(2)证明:∵BC=AD,∴=.∴∠BOC=∠AOD.
∵∠COD=90°,∴∠AOD=45°.∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD=(180°-∠AOD)=67.5°.
∵AD=AP,∴∠ADP=∠APD.
∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,
∴∠ADP=∠CAD=22.5°.
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°,即OD⊥PD.
∵OD为☉O的半径,∴PD是☉O的切线.
能力提升全练
16.B　∵OB⊥AC,∴AD=AC=150 m,∠AOC=2∠AOB.设OA=OB=x m,则OD=(x-150)m.
在Rt△AOD中,AD2+OD2=OA2,
∴(150)2+(x-150)2=x2,解得x=300.
∴sin∠AOB==,∴∠AOB=60°.
∴∠AOC=120°.
∴的长==200π(m).故选B.
17.B　如图,过点E作EG⊥DF于点G.
∵∠A=60°,DE⊥AD,∴∠DEA=30°.
∵AB∥CD,DE=EF,∴∠EDF=∠EFD=30°.
∴∠DEF=120°.∵∠GDE=30°,DE=6,
∴GE=3,DG=3.∴DF=2DG=6.
∴S阴影=S扇形DEF-S△DEF=-×6×3=12π-9,故选B.
18.B　如图,连接BB',过A作AF⊥BB'于F,则∠AFB=90°.
由题意知AB=AB'=BB'=4,
∴△ABB'是等边三角形.
∴∠ABF=60°.∴AF=AB·sin∠ABF=4×=2.
∴S阴影=S扇形AB'C'-(S扇形ABB'-S△ABB')
=-=π+4,故选B.
19.B　如图,连接OA.
∵∠ABO=60°,OA=OB,∴△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=8,∠AOB=∠OAB=60°.
∵AD∥BO,∴∠OAD=∠AOB=60°.
∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.
∴∠AOD=60°.∴∠OAB=∠AOD,∴AB∥OD.
∴△ABD与△AOB是同底等高的三角形,
∴S△ABD=S△AOB,
∴S阴影=S扇形AOB==π.故选B.
20.A　解法一:∵正方形ABCD的边长为1,
∴AB=BC=CD=AD=1,∠ABC=∠BCD=90°.
根据对称性,可知两块空白部分的面积相等,设两块空白部分的面积均为a,
则S2-S1=-=-a-1×1++a=π-1+π=π-1.
解法二(巧解):由图形可得,扇形ABC的面积+扇形BCD的面积-S2+S1=正方形ABCD的面积,
∴S2-S1=×2-1×1=π-1.
21.答案
解析如图,
点O运动的路径长=的长+O1O2+的长=++=.
22.答案π+4-4
解析如图,连接AB.
∵∠AOB=90°,∴AB===2.
∴AB'=2.∴OB'=2-2.
设OC=x,则BC=B'C=2-x,
在Rt△OB'C中,OC2+OB'2=B'C2,∴x2+(2-2)2=(2-x)2,解得x=2-2.
∴S阴影=S扇形AOB-S△AOB+S△OB'C=-+=π+4-4.
23.答案(1)π　(2)
解析(1)如图,连接OC.
∵∠A=30°,AB=6,∴∠BOC=60°,OB=3.
∴的长==π.
(2)∵点C为的中点,∴OC⊥BD.
∵直线EC是☉O的切线,∴OC⊥EC.
∴EC∥BD.∵=,∴=.
设EB=x,则AB=3x,∴BO=OC=x,EO=x,AE=4x,
∴EC===2x.
∴==.
素养探究全练
24.D　如图,连接AC,AD,取AC的中点O,连接OE.
∵∠ABC=90°,∴AC为直径.
∵AC2=AD2=32+22=13,CD2=12+52=26,
∴AC2+AD2=CD2,∴△ACD为等腰直角三角形.
∴∠ACD=45°.∴∠AOE=2∠ACD=90°.
∵AO=AC=,
∴的长为=.故选D.
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