第五章 圆素养综合检测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第五章 圆素养综合检测试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 574.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-02 19:40:41 | ||
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文档简介
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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
圆
第五章 素养综合检测
满分100分,限时60分钟
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.【真实情境】(2022贵州六盘水中考)如图所示的是“光盘行动”的宣传海报,图中筷子和餐盘可看成直线和圆,则其位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
2.(2022山东济宁泗水期中)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( )
A.① B.② C.③ D.均不可能
3.【数学文化】(2023湖南岳阳中考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合下图,其大意是今有圆形材料,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸,则BC的长是( )
A.寸 B.25寸
C.24寸 D.7寸
4.(2022山东烟台模拟)如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.若的度数为28°,则∠CBD的度数为( )
A.14° B.28° C.31° D.62°
5.(2023四川眉山中考)如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
6.【社会主义先进文化】(2023山西中考)中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设的重要标志.下图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A,B的两条切线相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5 km,则这段圆曲线的长为( )
A. km B. km C. km D. km
7.(2022山东威海乳山模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=AC=AD=3,∠DBC=15°,∠BDC=30°,则点A到BD的距离是( )
A.3 B. C.2 D.
第7题图
第8题图
8.(2022山东淄博沂源一模)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D.若☉O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.(2023山东菏泽中考)如图,正八边形ABCDEFGH的边长为4,以顶点A为圆心,AB的长为半径画圆,则阴影部分的面积为 (结果保留π).
10.(2023浙江嘉兴、舟山中考)如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在优弧BC上.已知∠A=50°,则∠D的度数是 .
11.(2021山东济南莱芜三模)一个圆锥的侧面积是底面积的5倍,把它的侧面展开得到一个扇形,这个扇形的圆心角度数是 .
12.【新独家原创】如图,AC是☉O的弦,点C是的中点,连接OC交AB于D,若sin∠OAD=,CD=8,则AB的长度为 .
第12题图
第13题图
13.(2020广西玉林中考)如图,在边长为3的正六边形ABCDEF中,将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F'处,此时边AD'与对角线AC重合,则图中阴影部分的面积是 .
三、解答题(共48分)
14.[含评分细则](2022福建中考)(8分)如图,△ABC内接于☉O,AD∥BC交☉O于点D,DF∥AB交BC于点E,交☉O于点F,连接AF,CF.
(1)求证:AC=AF;
(2)若☉O的半径为3,∠CAF=30°,求的长(结果保留π).
15.[含评分细则](2023湖南怀化中考节选)(8分)如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,点C为☉O上的一点.连接PC,AC,OC,且PC=PA.
(1)求证:PC为☉O的切线;
(2)延长PC与AB的延长线交于点D,求证:PD·OC=PA·OD.
16.[含评分细则](2023天津中考)(10分)在☉O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°,E为弦AB所对的优弧上一点.
(1)如图1,求∠AOB和∠CEB的大小;
(2)如图2,CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作☉O的切线,与CO的延长线相交于点G.若OA=3,求EG的长.
图1
图2
17.[含评分细则](2023山东烟台模拟)(10分)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上的一点,以CD为直径的☉O交BC于E,连接AE交CD于P,交☉O于F,连接DF,∠BAC=∠DFE.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若=,AF=3,求PC的长.
18.[含评分细则](2023浙江宁波中考)(12分)如图1,锐角△ABC内接于☉O,D为BC的中点,连接AD并延长交☉O于点E,连接BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点F,点G在AD 上,连接BG,CG,若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC.
(1)求∠BGC的度数.
(2)①求证:AF=BC;
②若AG=DF,求tan∠GBC的值.
(3)当点O恰好在BG上且OG=1时,如图2,求AC的长.
第五章 圆
第五章 素养综合检测
1.B 根据直线与圆的位置关系可得,其位置关系是相交,故选B.
2.A 第①块出现两条完整的弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径.故选A.
3.C 由题意知BD为圆的直径,∴∠BCD=90°.
在Rt△BCD中,BD=25寸,CD=7寸,
由勾股定理得BC===24(寸).
故选C.
4.C ∵OA⊥BC,∴∠AOC=90°.
∵的度数为28°,∴∠AOD=28°.
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=62°.
∵∠COD=2∠CBD,∴∠CBD=31°.故选C.
5.C 如图,连接OB.
∵AB切☉O于点B,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°.
∵BD∥OA,∴∠D=∠OCD=25°.
∴∠O=2∠D=50°.∴∠A=90°-∠O=40°.故选C.
6.B ∵过点A,B的两条切线相交于点C,
∴∠OAC=∠OBC=90°.
∴A,O,B,C四点共圆,∴∠AOB=∠α=60°.
∴圆曲线的长为=(km).故选B.
7.B ∵AB=AC=AD=3,
∴点B,C,D在以A为圆心,AB长为半径的圆上,
∴∠BAC=2∠BDC=60°,∠DAC=2∠DBC=30°,
∴∠BAD=90°,∴△BAD是等腰直角三角形,
∴点A到BD的距离等于BD长的一半,
∵AB=AD=3,∴BD=3,
∴点A到BD的距离为.故选B.
8.B 如图,连接OA,OB,OP,延长BO交PA的延长线于点F.
∵PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,
∴∠OAF=∠PBF=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB.
∴△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB.
又△PCD的周长=3r,∴PA=PB=r.
在△OAF和△PBF中,∠FAO=∠FBP,∠OFA=∠PFB,
∴△OAF∽△PBF.
∴=.
又==,∴AF=BF.
在Rt△FBP中,PF2-PB2=BF2,
即-=BF2,∴BF=r.
∴tan∠APB===.故选B.
9.答案6π
解析由题意得,∠HAB==135°,AH=AB=4,∴S阴影部分==6π.
10.答案65°
解析如图,连接OC,OB.
∵AB,AC分别与☉O相切于点B,C,
∴∠ABO=∠ACO=90°.∵∠A=50°,
∴∠COB=360°-∠A-∠ACO-∠ABO=130°.
∴∠D=∠COB=65°.
11.答案72°
解析设母线长为a,底面半径为r,则底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πar.
∵侧面积是底面积的5倍,∴πar=5πr2,∴a=5r.
设侧面展开图的圆心角为n°,则=2πr,∴n=72.∴这个扇形的圆心角度数是72°.
12.答案24
解析∵点C是的中点,∴OC⊥AB,AB=2AD.
∵sin∠OAD==,∴设OD=5m,则AO=13m.
∵OC=OD+DC,∴13m=5m+8,∴m=1.
∴OD=5,AO=13,∴AD==12.
∴AB=2AD=24.
13.答案3π
解析∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BAF=∠B=∠BCD=120°,AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA=30°.∴∠ACD=90°.
由正六边形的对称性可知∠BAD=∠BAF=60°,∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°.
∵CD=3,∴AD=2CD=6.
∵S阴影=S四边形ADEF+S扇形DAD'-S四边形AD'E'F',
由题意知S四边形ADEF=S四边形AD'E'F',
∴S阴影=S扇形DAD'==3π.
14.解析(1)证明:∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形. 1分
∴∠B=∠D.∵∠AFC=∠B,∠ACF=∠D,
∴∠AFC=∠ACF.∴AC=AF. 3分
(2)如图,连接AO,CO.
由(1)得∠AFC=∠ACF,∵∠CAF=30°,
∴∠AFC==75°. 5分
∴∠AOC=2∠AFC=150°,
∴的长==. 8分
15.证明 (1)∵AB为☉O的直径,PA为☉O的切线,
∴PA⊥OA,即∠PAO=90°.
在△POC和△POA中,
∴△POC≌△POA(SSS). 2分
∴∠PCO=∠PAO=90°.∴PC⊥OC.
又OC为☉O的半径,∴PC为☉O的切线. 4分
(2)由(1)可知OC⊥PD,
∴∠DCO=∠DAP=90°.
又∠ODC=∠PDA,∴△ODC∽△PDA. 6分
∴=,即PD·OC=PA·OD. 8分
16.解析(1)在☉O中,半径OC垂直于弦AB,
∴=,∴∠AOC=∠BOC. 1分
∵∠AOC=60°,∴∠AOB=2∠AOC=120°. 2分
∵∠CEB=∠BOC=∠AOC,
∴∠CEB=30°. 4分
(2)如图,连接OE.
同(1)得∠CEB=30°,∵EF=EB,
∴∠EBF=∠EFB=75°.
∴∠AOE=2∠EBA=150°. 5分
又∠AOG=180°-∠AOC=120°,
∴∠GOE=∠AOE-∠AOG=30°. 7分
∵GE与☉O相切于点E,
∴OE⊥GE,即∠OEG=90°.
在Rt△OEG中,tan∠GOE=,OE=OA=3,
∴EG=3×tan 30°=. 10分
17.解析(1)证明:∵∠DCB=∠DFE,∠BAC=∠DFE,
∴∠DCB=∠BAC. 1分
∵∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°.
∴∠DCB+∠B=90°.∴∠CDB=90°. 3分
∴直径CD⊥AB.∴AB是☉O的切线. 4分
(2)如图,连接DE.
∵CD是圆的直径,∴∠CED=90°. 5分
∴∠ACE+∠DEC=90°+90°=180°,∴AC∥DE. 6分
∴∠PAC=∠PED,∠PCA=∠PDE,∴△PAC∽△PED,
∴=.∴==. 7分
∵∠PCE=∠PFD,∠CPE=∠FPD,
∴△FPD∽△CPE.∴=. 8分
∴==-=-=.
∴PC=. 10分
18.解析(1)∵BC平分∠EBG,∴∠EBC=∠CBG,
∵∠EBC=∠EAC,∴∠CBG=∠EAC, 1分
∵AC⊥FC,∴∠AFC+∠EAC=90°,
∵∠BCG=∠AFC,∴∠BCG+∠CBG=90°,
∴∠BGC=90°. 2分
(2)①证明:∵∠BGC=90°,D为BC中点,
∴GD=CD,∴∠DGC=∠DCG,
∵∠BCG=∠AFC,∴∠DGC=∠AFC,
∴CF=CG, 3分
又∵∠ACF=∠BGC=90°,∴△ACF≌△BGC,
∴AF=BC. 4分
②如图,过点C作CH⊥EG于点H,
设AG=DF=2x,
∵△ACF≌△BGC,∴AF=BC=2DG,CF=CG,
又∵AF=AG+DG+DF,
∴DG=AG+DF=4x,∴CD=DG=4x,
∵CF=CG,CH⊥GF,∴HG=HF=GF=(4x+2x)=3x, 6分
∴DH=DG-HG=x,AH=AG+GH=5x,
∴CH===x, 7分
∴tan∠GBC=tan∠CAF==. 8分
(3)如图,过点O作OM⊥BE于点M,连接OC交AE于点N,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,
∵BC平分∠EBG,∴∠OBC=∠CBE,
∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BE,
∵BD=CD,∠BDE=∠CDN,∴△EBD≌△NCD,
∴BE=CN.∵OC∥BE,∴∠GOC=∠MBO,
∵∠CGO=∠OMB=90°,OC=OB,
∴△COG≌△OBM,∴BM=OG=1. 9分
∵OM⊥BE,∴BE=2BM=2.∴CN=BE=2. 10分
设OB=OC=r,
∵OC∥BE,∴△GON∽△GBE,
∴=,即=,
解得r=或r=(舍去), 11分
∵△ACF≌△BGC,
∴AC=GB=BO+OG=r+1=. 12分
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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
圆
第五章 素养综合检测
满分100分,限时60分钟
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.【真实情境】(2022贵州六盘水中考)如图所示的是“光盘行动”的宣传海报,图中筷子和餐盘可看成直线和圆,则其位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
2.(2022山东济宁泗水期中)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是( )
A.① B.② C.③ D.均不可能
3.【数学文化】(2023湖南岳阳中考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合下图,其大意是今有圆形材料,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸,则BC的长是( )
A.寸 B.25寸
C.24寸 D.7寸
4.(2022山东烟台模拟)如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合),BD与OA交于点E.若的度数为28°,则∠CBD的度数为( )
A.14° B.28° C.31° D.62°
5.(2023四川眉山中考)如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
6.【社会主义先进文化】(2023山西中考)中国高铁的飞速发展,已成为中国现代化建设的重要标志.下图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A,B的两条切线相交于点C,列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5 km,则这段圆曲线的长为( )
A. km B. km C. km D. km
7.(2022山东威海乳山模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=AC=AD=3,∠DBC=15°,∠BDC=30°,则点A到BD的距离是( )
A.3 B. C.2 D.
第7题图
第8题图
8.(2022山东淄博沂源一模)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D.若☉O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.(2023山东菏泽中考)如图,正八边形ABCDEFGH的边长为4,以顶点A为圆心,AB的长为半径画圆,则阴影部分的面积为 (结果保留π).
10.(2023浙江嘉兴、舟山中考)如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在优弧BC上.已知∠A=50°,则∠D的度数是 .
11.(2021山东济南莱芜三模)一个圆锥的侧面积是底面积的5倍,把它的侧面展开得到一个扇形,这个扇形的圆心角度数是 .
12.【新独家原创】如图,AC是☉O的弦,点C是的中点,连接OC交AB于D,若sin∠OAD=,CD=8,则AB的长度为 .
第12题图
第13题图
13.(2020广西玉林中考)如图,在边长为3的正六边形ABCDEF中,将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F'处,此时边AD'与对角线AC重合,则图中阴影部分的面积是 .
三、解答题(共48分)
14.[含评分细则](2022福建中考)(8分)如图,△ABC内接于☉O,AD∥BC交☉O于点D,DF∥AB交BC于点E,交☉O于点F,连接AF,CF.
(1)求证:AC=AF;
(2)若☉O的半径为3,∠CAF=30°,求的长(结果保留π).
15.[含评分细则](2023湖南怀化中考节选)(8分)如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,点C为☉O上的一点.连接PC,AC,OC,且PC=PA.
(1)求证:PC为☉O的切线;
(2)延长PC与AB的延长线交于点D,求证:PD·OC=PA·OD.
16.[含评分细则](2023天津中考)(10分)在☉O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°,E为弦AB所对的优弧上一点.
(1)如图1,求∠AOB和∠CEB的大小;
(2)如图2,CE与AB相交于点F,EF=EB,过点E作☉O的切线,与CO的延长线相交于点G.若OA=3,求EG的长.
图1
图2
17.[含评分细则](2023山东烟台模拟)(10分)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上的一点,以CD为直径的☉O交BC于E,连接AE交CD于P,交☉O于F,连接DF,∠BAC=∠DFE.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若=,AF=3,求PC的长.
18.[含评分细则](2023浙江宁波中考)(12分)如图1,锐角△ABC内接于☉O,D为BC的中点,连接AD并延长交☉O于点E,连接BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点F,点G在AD 上,连接BG,CG,若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC.
(1)求∠BGC的度数.
(2)①求证:AF=BC;
②若AG=DF,求tan∠GBC的值.
(3)当点O恰好在BG上且OG=1时,如图2,求AC的长.
第五章 圆
第五章 素养综合检测
1.B 根据直线与圆的位置关系可得,其位置关系是相交,故选B.
2.A 第①块出现两条完整的弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径.故选A.
3.C 由题意知BD为圆的直径,∴∠BCD=90°.
在Rt△BCD中,BD=25寸,CD=7寸,
由勾股定理得BC===24(寸).
故选C.
4.C ∵OA⊥BC,∴∠AOC=90°.
∵的度数为28°,∴∠AOD=28°.
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=62°.
∵∠COD=2∠CBD,∴∠CBD=31°.故选C.
5.C 如图,连接OB.
∵AB切☉O于点B,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°.
∵BD∥OA,∴∠D=∠OCD=25°.
∴∠O=2∠D=50°.∴∠A=90°-∠O=40°.故选C.
6.B ∵过点A,B的两条切线相交于点C,
∴∠OAC=∠OBC=90°.
∴A,O,B,C四点共圆,∴∠AOB=∠α=60°.
∴圆曲线的长为=(km).故选B.
7.B ∵AB=AC=AD=3,
∴点B,C,D在以A为圆心,AB长为半径的圆上,
∴∠BAC=2∠BDC=60°,∠DAC=2∠DBC=30°,
∴∠BAD=90°,∴△BAD是等腰直角三角形,
∴点A到BD的距离等于BD长的一半,
∵AB=AD=3,∴BD=3,
∴点A到BD的距离为.故选B.
8.B 如图,连接OA,OB,OP,延长BO交PA的延长线于点F.
∵PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,
∴∠OAF=∠PBF=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB.
∴△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB.
又△PCD的周长=3r,∴PA=PB=r.
在△OAF和△PBF中,∠FAO=∠FBP,∠OFA=∠PFB,
∴△OAF∽△PBF.
∴=.
又==,∴AF=BF.
在Rt△FBP中,PF2-PB2=BF2,
即-=BF2,∴BF=r.
∴tan∠APB===.故选B.
9.答案6π
解析由题意得,∠HAB==135°,AH=AB=4,∴S阴影部分==6π.
10.答案65°
解析如图,连接OC,OB.
∵AB,AC分别与☉O相切于点B,C,
∴∠ABO=∠ACO=90°.∵∠A=50°,
∴∠COB=360°-∠A-∠ACO-∠ABO=130°.
∴∠D=∠COB=65°.
11.答案72°
解析设母线长为a,底面半径为r,则底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πar.
∵侧面积是底面积的5倍,∴πar=5πr2,∴a=5r.
设侧面展开图的圆心角为n°,则=2πr,∴n=72.∴这个扇形的圆心角度数是72°.
12.答案24
解析∵点C是的中点,∴OC⊥AB,AB=2AD.
∵sin∠OAD==,∴设OD=5m,则AO=13m.
∵OC=OD+DC,∴13m=5m+8,∴m=1.
∴OD=5,AO=13,∴AD==12.
∴AB=2AD=24.
13.答案3π
解析∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BAF=∠B=∠BCD=120°,AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA=30°.∴∠ACD=90°.
由正六边形的对称性可知∠BAD=∠BAF=60°,∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°.
∵CD=3,∴AD=2CD=6.
∵S阴影=S四边形ADEF+S扇形DAD'-S四边形AD'E'F',
由题意知S四边形ADEF=S四边形AD'E'F',
∴S阴影=S扇形DAD'==3π.
14.解析(1)证明:∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形. 1分
∴∠B=∠D.∵∠AFC=∠B,∠ACF=∠D,
∴∠AFC=∠ACF.∴AC=AF. 3分
(2)如图,连接AO,CO.
由(1)得∠AFC=∠ACF,∵∠CAF=30°,
∴∠AFC==75°. 5分
∴∠AOC=2∠AFC=150°,
∴的长==. 8分
15.证明 (1)∵AB为☉O的直径,PA为☉O的切线,
∴PA⊥OA,即∠PAO=90°.
在△POC和△POA中,
∴△POC≌△POA(SSS). 2分
∴∠PCO=∠PAO=90°.∴PC⊥OC.
又OC为☉O的半径,∴PC为☉O的切线. 4分
(2)由(1)可知OC⊥PD,
∴∠DCO=∠DAP=90°.
又∠ODC=∠PDA,∴△ODC∽△PDA. 6分
∴=,即PD·OC=PA·OD. 8分
16.解析(1)在☉O中,半径OC垂直于弦AB,
∴=,∴∠AOC=∠BOC. 1分
∵∠AOC=60°,∴∠AOB=2∠AOC=120°. 2分
∵∠CEB=∠BOC=∠AOC,
∴∠CEB=30°. 4分
(2)如图,连接OE.
同(1)得∠CEB=30°,∵EF=EB,
∴∠EBF=∠EFB=75°.
∴∠AOE=2∠EBA=150°. 5分
又∠AOG=180°-∠AOC=120°,
∴∠GOE=∠AOE-∠AOG=30°. 7分
∵GE与☉O相切于点E,
∴OE⊥GE,即∠OEG=90°.
在Rt△OEG中,tan∠GOE=,OE=OA=3,
∴EG=3×tan 30°=. 10分
17.解析(1)证明:∵∠DCB=∠DFE,∠BAC=∠DFE,
∴∠DCB=∠BAC. 1分
∵∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°.
∴∠DCB+∠B=90°.∴∠CDB=90°. 3分
∴直径CD⊥AB.∴AB是☉O的切线. 4分
(2)如图,连接DE.
∵CD是圆的直径,∴∠CED=90°. 5分
∴∠ACE+∠DEC=90°+90°=180°,∴AC∥DE. 6分
∴∠PAC=∠PED,∠PCA=∠PDE,∴△PAC∽△PED,
∴=.∴==. 7分
∵∠PCE=∠PFD,∠CPE=∠FPD,
∴△FPD∽△CPE.∴=. 8分
∴==-=-=.
∴PC=. 10分
18.解析(1)∵BC平分∠EBG,∴∠EBC=∠CBG,
∵∠EBC=∠EAC,∴∠CBG=∠EAC, 1分
∵AC⊥FC,∴∠AFC+∠EAC=90°,
∵∠BCG=∠AFC,∴∠BCG+∠CBG=90°,
∴∠BGC=90°. 2分
(2)①证明:∵∠BGC=90°,D为BC中点,
∴GD=CD,∴∠DGC=∠DCG,
∵∠BCG=∠AFC,∴∠DGC=∠AFC,
∴CF=CG, 3分
又∵∠ACF=∠BGC=90°,∴△ACF≌△BGC,
∴AF=BC. 4分
②如图,过点C作CH⊥EG于点H,
设AG=DF=2x,
∵△ACF≌△BGC,∴AF=BC=2DG,CF=CG,
又∵AF=AG+DG+DF,
∴DG=AG+DF=4x,∴CD=DG=4x,
∵CF=CG,CH⊥GF,∴HG=HF=GF=(4x+2x)=3x, 6分
∴DH=DG-HG=x,AH=AG+GH=5x,
∴CH===x, 7分
∴tan∠GBC=tan∠CAF==. 8分
(3)如图,过点O作OM⊥BE于点M,连接OC交AE于点N,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,
∵BC平分∠EBG,∴∠OBC=∠CBE,
∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BE,
∵BD=CD,∠BDE=∠CDN,∴△EBD≌△NCD,
∴BE=CN.∵OC∥BE,∴∠GOC=∠MBO,
∵∠CGO=∠OMB=90°,OC=OB,
∴△COG≌△OBM,∴BM=OG=1. 9分
∵OM⊥BE,∴BE=2BM=2.∴CN=BE=2. 10分
设OB=OC=r,
∵OC∥BE,∴△GON∽△GBE,
∴=,即=,
解得r=或r=(舍去), 11分
∵△ACF≌△BGC,
∴AC=GB=BO+OG=r+1=. 12分
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