2024鲁教版五四制数学九年级下学期课时练--期中素养综合测试（含解析）

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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
期中素养综合测试
第五章
满分120分,限时100分钟
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2023山东济南莱芜模拟)下列说法正确的是(　　)
A.平分弦的直径垂直于弦
B.圆是轴对称图形,任何一条直径都是圆的对称轴
C.等腰三角形的外心一定在其内部
D.等弧所对弦相等
2.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-4,-3),☉A的半径为5, 则点B(1,-1)与☉A的位置关系是(　　)
A.在☉A上　　　B.在☉A内　　　　C.在☉A外　　　D.不能确定
3.(2023山东淄博沂源期末)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是(　　)
A.80°　　　　B.100°　　　　C.140°　　　　D.160°
第3题图 第4题图
4.(2022山东淄博周村一模)如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,BC∥OP交☉O于点C.若∠B=70°,则∠OPC的度数为(　　)
A.10°　　　　B.20°　　　　C.30°　　　　D.40°
5.(2023山东济南莱芜模拟)如图,A,B,C是☉O上的三个点,连接OA,若AB=,∠ACB=45°,则☉O的半径为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.3
6.一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在☉O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8 dm,DC=2 dm,则圆形标志牌的半径为(　　)
A.6 dm　　　　B.5 dm　　　　C.4 dm　　　　D.3 dm
7.(2023山东威海文登期末)如图,等边三角形ABC的内切圆与三边的切点分别为点D,E,F.若AB=2,则图中阴影部分的面积为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.+　　　　D.+
第7题图 第8题图
8.(2021四川眉山中考)如图,在以AB为直径的☉O中,点C为圆上的一点,=3,弦CD⊥AB于点E,弦AF交CE于点H,交BC于点G.若点H是AG的中点,则∠CBF的度数为(　　)
A.18°　　　　B.21°　　　　C.22.5°　　　　D.30°
9.【新考法】(2023山东淄博淄川二模)中国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅弦图,后人称其为赵爽弦图(如图1).图2为小明同学根据弦图思路设计的.在正方形ABCD中,以点B为圆心,AB的长为半径作,再以CD为直径作半圆交于点E,若边长AB=10,则△CDE的面积为(　　)
图1 图2
A.20　　　　B. 　　　　C.24　　　　D.10
10.(2022浙江杭州中考)如图,已知△ABC内接于半径为1的☉O,∠BAC=θ(θ是锐角),则△ABC的面积的最大值为(　　)
A.cos θ(1+cos θ)　　　B.cos θ(1+sin θ)
C.sin θ(1+sin θ)　　　D.sin θ(1+cos θ)
第10题图 第11题图
11.(2023江苏苏州中考)如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆上,=,连接OC,CA,OD,过点B作EB⊥AB,交OD的延长线于点E.设△OAC的面积为S1,△OBE的面积为S2,若=,则tan∠ACO的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
12.(2021湖北武汉中考)如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的弦,先将沿BC翻折交AB于点D,再将沿AB翻折交BC于点E.若=,设∠ABC=α,则α所在的范围是(　　)
A.21.9°<α<22.3°　　　B.22.3°<α<22.7°
C.22.7°<α<23.1° 　　　D.23.1°<α<23.5°
二、填空题(每小题3分,共18分)
13.(2023湖南邵阳中考)如图,某数学兴趣小组用一张半径为30 cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8 cm,那么这张扇形纸板的面积为　　　　cm2.(结果保留π)
第13题图 第14题图
14.【真实情境】(2023山东枣庄薛城二模)2023年旅游业迎来强势复苏.某古城为了吸引游客,决定修筑如图所示的“S”形堤坝.若堤坝的宽度忽略不计,图中的两段圆弧半径都为57 m,圆心角都为120°,则该“S”形堤坝的长为　　　　m.(结果保留π)
15.(2023湖北随州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC的度数为　　　　.
第15题图 第16题图
16.【新独家原创】如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,过点C作☉O的切线交BA的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.若☉O的半径为1,∠B=30°,则图中阴影部分的面积为　　　　(结果保留π).
17.(2022四川泸州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,半径为1的☉O在Rt△ABC内平移(☉O可以与该三角形的边相切),则点A到☉O上的点的距离的最大值为　　　　.
第17题图 第18题图
18.(2022山东烟台芝罘期末)如图,AB是半圆O的直径,点C是弧AB的中点,点D是弧BC上一点,连接AD,作CH⊥AD于点H,连接BH.若半圆O的直径为4,则在点D移动的过程中,BH长度的最小值是　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共66分)
19.[含评分细则](2022湖南湘潭中考)(8分)如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC、BD.
(1)求证:△AEC∽△DEB;
(2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.
20.[含评分细则](2023湖南常德中考)(10分)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB是直径,C是的中点,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,连接AC.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的长.
21.[含评分细则](2023江苏苏州中考)(10分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,AC=,BC=2,点F在AB上,连接CF并延长,交☉O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足为E.
(1)求证:△DBE∽△ABC;
(2)若AF=2,求ED的长.
22.[含评分细则](2023四川南充中考)(12分)如图,AB 与☉O相切于点A,半径OC∥AB,BC与☉O相交于点D,连接AD,AC.
(1)求证:∠OCA=∠ADC;
(2)若AD=2,tan B=,求OC的长.
23.[含评分细则](2022江苏苏州中考)(12分)如图,AB是☉O的直径,AC是弦,D是的中点,CD与AB交于点E.F是AB延长线上的一点,且CF=EF.
(1)求证:CF为☉O的切线;
(2)连接BD,取BD的中点G,连接AG.若CF=4,BF=2,求AG的长.
24.[含评分细则](2023浙江台州中考)(14分)我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系,用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图,AB是☉O的直径,直线l是☉O的切线,B为切点.P,Q是圆上两点(不与点A重合,且在直径AB的同侧),分别作射线AP,AQ交直线l于点C,点D.
(1)如图1,当AB=6,的长为π时,求BC的长;
(2)如图2,当=,=时,求的值;
(3)如图3,当sin∠BAQ=,BC=CD时,连接BP,PQ,直接写出的值.
图1 图2 图3
答案全解全析
1.D　A选项,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故本选项错误.
B选项,圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,故本选项错误.
C选项,等腰三角形的外心不一定在其内部,故本选项错误.
D选项,等弧所对弦相等,故本选项正确.故选D.
2.C　∵点A的坐标为(-4,-3),点B的坐标为(1,-1),∴AB==>5.
∴点B 在☉A 外,故选C.
3.B　∵∠AOC=160°,∴∠ADC=∠AOC=80°.
∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°,故选B.
4.B　连接OC(图略).∵PA与☉O相切,∴∠PAO=90°.∵OC=OB,∴∠OCB=∠B=70°.
∵BC∥OP,∴∠AOP=∠B=70°,∠POC=∠OCB=70°,∴∠APO=20°.
在△AOP和△COP中,
∴△AOP≌△COP,∴∠CPO=∠APO=20°.故选B.
5.A　如图,延长AO,交☉O于点D,连接BD,
∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°.
∵∠ADB=∠ACB=45°,∴∠DAB=90°-∠ADB=45°.
∴BD=AB=.∴AD==2.
∴☉O的半径为=1.故选A.
6.B　如图,连接OA,OD,
∵CD垂直平分AB于D,∴点O在直线CD上.
∴OD⊥AB,∴AD=AB=×8=4(dm).
设☉O的半径为R dm.∵CD=2 dm,∴OD=(R-2)dm.
在Rt△OAD中,由勾股定理得,OA2=AD2+OD2,
即R2=42+(R-2)2,解得R=5.∴圆形标志牌的半径为5 dm.故选B.
7.C　如图,设等边三角形ABC的内切圆圆心为点O,连接OD,OF,DF,作OG⊥DF于点G.
∵等边三角形ABC的内切圆与三边的切点分别为点D,E,F,
∴OD⊥AB,OF⊥AC,AD=AF,D是AB的中点.
∴∠ODA=∠OFA=90°.∴∠DOF=180°-∠A=120°.
∵AD=AF,∠A=60°,∴△ADF是等边三角形,
∴DF=AD=AB=,∵OG⊥DF,OD=OF,
∴DG=DF=,∠DOG=∠DOF=60°,
∴OD==1,OG==.
∴S阴影部分=2S△DOF+S扇形DOF=2×DF·OG+=+.故选C.
8.C　∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ABC+∠CAB=90°.
∵=3,∴∠CAB=3∠ABC.∴∠ABC=22.5°,∠CAB=67.5°.∵CD⊥AB,∴=.∴∠ACE=22.5°.
∵点H是AG的中点,∠ACB=90°,∴AH=CH,∴∠CAH=∠ACE=22.5°.∴∠CBF=∠CAF=22.5°.故选C.
9.A　此题以赵爽弦图为背景设计圆的问题,考查圆周角定理的推论.
如图,取CD的中点F,连接BF,BE,EF.
由题意得,FE=FC,BE=BC,∴BF垂直平分EC.∴∠FBC+∠BCE=90°.
∵∠BCD=90°,∴∠DCE+∠BCE=90°.∴∠FBC=∠DCE.
又∵∠BCF=∠CED=90°,∴△BCF∽△CED.
∴==.
∵BC=10,CF=5,∠BCF=90°,∴BF==5.
∴==,解得CE=4,ED=2.
∵CD为半圆的直径,∴∠CED=90°.
∴△CDE的面积为=20,故选A.
10.D　如图,过点O作OD⊥BC于D,延长DO交☉O于点A',连接A'B,A'C,OB,OC.易知当△ABC的BC边上的高经过圆心,即点A在点A'处时,△ABC的面积最大.
∵A'D⊥BC,∴BC=2BD.在Rt△BOD中,∠BOD=∠BOC=∠BA'C=θ,
∴sin θ==,cos θ==,
∴BD=sin θ,OD=cos θ.∴BC=2BD=2sin θ,A'D=A'O+OD=1+cos θ.
∴S△ABC的最大值=S△A'BC=BC·A'D=·2sin θ(1+cos θ)=sin θ(1+cos θ).故选D.
11.A　如图,过C作CH⊥AO于H.
∵=,∴∠COD=∠BOE.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠OAC=∠BOE=∠COD,
∵=,即=,∴=.
∵∠OAC=∠BOE,∴tan∠OAC=tan∠BOE.
∴=,即==.
设AH=2m,则BO=AO=CO=3m.∴OH=3m-2m=m.
∴CH===2m.
∴tan∠OAC===.∴tan∠ACO=.故选A.
12.B　如图,连接AC,CD,DE.∵=,∴ED=EB.
∴∠EDB=∠EBD=α,∵==,∴AC=CD=DE.∴∠DCE=∠DEC=∠EDB+∠EBD=2α.
∴∠CAD=∠CDA=∠DCE+∠EBD=3α.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠CAB+∠ABC=90°.∴4α=90°,
∴α=22.5°.故选B.
13.答案240π
解析扇形纸板的面积=π·8·30=240π(cm2).
14.答案76π
解析“S”形堤坝的长为2×=76π(m).
15.答案30°
解析如图,连接OC.
∵OA⊥BC,∴=.∴∠AOC=∠AOB=60°.∴∠ADC=∠AOC=30°.
16.答案-
解析如图,连接OC,过点A作AF⊥OC于点F,则∠AFC=90°.
∵CD与☉O相切,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°.
∵AE⊥CD,∴∠AEC=90°.∴四边形AFCE是矩形.
∵∠AOC=2∠B=2×30°=60°,
∴AF=AO·sin∠AOC=1×=,OF=AO·cos∠AOC=.∴AE=CF=1-=.
∴阴影部分的面积=四边形AOCE的面积-扇形AOC的面积=××-π×12=-.
17.答案2+1
解析当☉O与BC,BA都相切时,连接AO并延长交☉O于点D,则AD的长度为点A到☉O上的点的距离的最大值.
设☉O与BC,BA的切点分别为E,F,连接OE,OF,OB,如图.
则OE⊥BC,OF⊥AB.∵AC=6,BC=2,∠C=90°,
∴tan∠ABC==,AB==4.
∴∠ABC=60°.∴∠OBF=∠OBE=∠ABC=30°.
∴BF==.∴AF=AB-BF=3.∴OA==2.∴AD=2+1.
∴点A到☉O上的点的距离的最大值为2+1.
18.答案-
解析连接OC,BC,如图.
∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°.
∵点C是弧AB的中点,∴OC⊥AO.∵OA=OB=OC,
∴△AOC,△BOC均为等腰直角三角形.
∴AC=BC=OA=2.∵CH⊥AD,∴∠AHC=90°.
∴点H在以AC为直径的半圆P上.
连接PH、BP,BP交半圆P于H',
则PH+BH≥PB(当且仅当P,H,B共线时取等号),
∴当点H在H'位置时,BH长最小.
∵PB===,
∴BH'=PB-PH'=-.
∴BH长度的最小值为-.
19.解析(1)证明:∵∠C=∠B,∠AEC=∠DEB, 2分
∴△AEC∽△DEB. 4分
(2)∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°. 5分
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°. 6分
∴AB=2AD=6.∴☉O的半径为3. 8分
20.解析(1)证明:如图,连接OC.
∵C为的中点,∴=,∴∠1=∠2, 1分
∵OA=OC,∴∠2=∠3, 2分
∴∠1=∠3,∴AE∥OC, 3分
∵CE⊥AE,∴CE⊥OC,
又∵OC为☉O的半径,∴CE是☉O的切线. 4分
(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∵BC=6,AC=8,∴AB=10, 5分
∵∠1=∠2,∠AEC=∠ACB=90°,
∴△AEC∽△ACB,∴=,即=,
∴CE=, 8分
∵=,∴CD=BC=6,
∴DE===. 10分
21.解析(1)证明:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°. 1分
∵BE⊥CD,∴∠BED=90°,∴∠BED=∠BCA,
又∵∠D=∠A, 3分
∴△DBE∽△ABC. 4分
(2)如图,过点C作CG⊥AB,垂足为G.
∵∠ACB=90°,AC=,BC=2,
∴AB=5,∴cos A==. 5分
∵CG⊥AB,∴AG=AC·cos A=1. 6分
∵AF=2,∴FG=AG=1. 7分
∴AC=FC,∴∠A=∠CFA=∠BFD=∠D.
∴BD=BF=AB-AF=3. 8分
∵△DBE∽△ABC,∴=,即=.
∴ED=. 10分
22.解析(1)证明:如图,连接 OA交BC于点F.
∵AB是☉O的切线,∴∠OAB=90°. 1分
∵OC∥AB,∴∠AOC=∠OAB=90°. 2分
∵OC=OA,∴∠OCA=45°. 3分
∵∠ADC=∠AOC=45°, 4分
∴∠OCA=∠ADC. 5分
(2)如图,过点A作AE⊥BC于点E.
∵sin∠ADE=,
∴AE=AD·sin∠ADE=2×=. 6分
在Rt△ABE中,tan B==,
∴BE=3AE=3, 7分
∴AB==2. 8分
在Rt△ABF中,tan B==,
∴AF=AB=. 9分
∵OC∥AB,∴∠OCF=∠B,
∴tan∠OCF==. 10分
设OC=r,则OF=OA-AF=r-.
∴3=r,解得r=,即OC=. 12分
23.解析(1)证明:如图,连接OC,OD.
∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC. 1分
∵FC=FE,∴∠FCE=∠FEC.
∵∠OED=∠FEC,∴∠OED=∠FCE. 2分
∵AB是☉O的直径,D是的中点,
∴∠DOE=90°.∴∠OED+∠ODC=90°.
∴∠FCE+∠OCD=90°,即∠OCF=90°. 4分
∴OC⊥CF.又∵OC是☉O的半径,
∴CF为☉O的切线. 5分
(2)如图,连接OC,AD.
设☉O的半径为r,则OF=r+2.
在Rt△OCF中,42+r2=(r+2)2,解得r=3. 7分
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∵AB=2r=6,D是的中点,
∴AD=BD=3. 9分
∵G为BD的中点,
∴DG=BD=. 10分
∴AG===. 12分
24.解析(1)如图,连接OP,设∠BOP的度数为n°.
∵AB=6,的长为π,
∴=π. 1分
∴n=60,即∠BOP=60°, 2分
∴∠BAP=∠BOP=30°. 3分
∵直线l是☉O的切线,
∴∠ABC=90°. 4分
∴BC=AB·tan 30°=2. 5分
(2)如图,连接BQ,过点C作CF⊥AD于点F,
∵AB为☉O的直径,
∴∠BQA=90°. 6分
∴cos∠BAQ==. 7分
∵=,
∴∠BAC=∠DAC. 8分
∵CF⊥AD,BC⊥AB,
∴CF=CB. 9分
∵∠BAQ+∠ADB=90°,∠FCD+∠ADB=90°,
∴∠FCD=∠BAQ.
∴==cos∠FCD=cos∠BAQ=. 11分
(3). 14分
详解:如图,连接BQ,
由AB⊥BC,BQ⊥AD易得∠ABQ=∠ADC,
∵∠ABQ=∠APQ,∴∠APQ=∠ADC,又∠PAQ=∠DAC,
∴△APQ∽△ADC,∴=①.
∵∠BAP=∠CAB,∠APB=∠ABC=90°,
∴△APB∽△ABC,∴=②,
∵BC=CD,
∴①②两式相除,得=.由sin∠BAQ=易得cos∠BAQ=.
∴=cos∠BAQ=,∴=.
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