2024鲁教版五四制数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(二)圆切线中辅助线的添加（含解析）

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2024鲁教版五四制数学九年级下学期
圆
专项素养综合全练(二) 圆切线中辅助线的添加
方法一　遇切线——连半径,得垂直
1.【构造法】(2023山东威海乳山一模)如图,AB是☉O的直径,过☉O上的点C作☉O的切线,交AB的延长线于点D,连接AC,若∠D=40°,则∠CAD=(　　)
A.20°　　　　B.25°　　　　C.30°　　　　D.40°
第1题图
第2题图
2.【面积法】(2023山东烟台一模)如图,GC,GB是☉O的切线,C是☉O上一点,AB是☉O的直径,GC与BA的延长线交于点E,过点C作弦CD∥AB,连接DO并延长与圆交于点F,连接CF,若AE=2,CE=4,则CD的长度为　　　　.
3.【方程思想】(2023四川广元中考)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,连接AC,BC,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D,OF⊥BC于点E,交CD于点F.
(1)求证:∠BCD=∠BOE;
(2)若sin∠CAB=,AB=10,求BD的长.
方法二　证切线——连半径,证垂直
4.(2022广西贺州中考)如图,△ABC内接于☉O,AB是直径,延长AB到点E,使得BE=BC=6,连接EC,且∠ECB=∠CAB,点D是上的点,连接AD,CD,且CD交AB于点F.
(1)求证:EC是☉O的切线;
(2)若CB平分∠ECD,求AD的长.
5.【构造法】(2023湖北随州中考)如图,AB是☉O的直径,点E,C在☉O上,点C是的中点,AE垂直于过C点的直线DC,垂足为D,AB的延长线交直线DC于点F.
(1)求证:DC是☉O的切线;
(2)若AE=2,sin∠AFD=.
①求☉O的半径;
②求线段DE的长.
6.【转化思想】(2023四川遂宁中考节选)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,AD=CD,过点D的直线交BA的延长线于点M,交BC的延长线于点N,且∠ADM=∠DAC.
(1)求证:MN是☉O的切线;
(2)求证:AD2=AB·CN.
方法三　证切线——作垂直,证半径
7.【转化思想】(2022广西贵港中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边的中点,点O在AC边上,☉O经过点C且与AB边相切于点E,∠FAC=∠BDC.
(1)求证:AF是☉O的切线;
(2)若BC=6,sin B=,求☉O的半径及OD的长.
答案全解全析
1.B　如图,连接OC.
∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°.
∵∠D=40°,∴∠COD=50°.
∴∠CAD=∠COD=25°,故选B.
2.答案
解析如图,设CF交AB于点H,连接OC.
∵GC是☉O的切线,∴OC⊥GE.∴∠OCE=90°.
设☉O的半径为r,则OC=r,OE=r+2.
在Rt△OCE中,由勾股定理得,OC2+CE2=OE2,
即r2+42=(r+2)2,解得r=3.
∵DF为☉O的直径,∴∠DCF=90°.
∵CD∥AB,∴∠CHE=∠DCF=90°.
∴CF⊥AB.∴CH=FH.
∵CH·OE=OC·CE,∴CH==.
∴CF=2CH=.
在Rt△DCF中,由勾股定理得,
CD===.
3.解析(1)证明:如图,连接OC.
∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°.
∴∠OCB+∠BCD=90°.
∵OF⊥BC,∴∠BEO=90°.∴∠BOE+∠OBE=90°.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠BCD=∠BOE.
(2)如图,过B作BH⊥CD于H.
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵sin∠CAB==,AB=10,∴BC=6.
∵∠ACB=∠BEO=90°,∴AC∥OF.∴∠BOE=∠CAB.
∵∠BCD=∠BOE,∴∠CAB=∠BCD.
∴sin∠CAB=sin∠BCD==,∴BH=.
∵sin D==,∴=,解得BD=.
故BD的长为.
4.解析(1)证明:如图,连接OC.
∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO.
∵∠ECB=∠CAB,∴∠ECB=∠ACO.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠ECB+∠OCB=90°,即OC⊥EC,
又∵OC是☉O的半径,∴EC是☉O的切线.
(2)∵CB平分∠ECD,∴∠BCD=∠ECB.
∵∠BCD=∠BAD,∴∠ECB=∠BAD.
∵∠ECB=∠CAB,∴∠BAD=∠CAB.∴=.
∵AB是☉O的直径,∴AB⊥CD.
在Rt△FCE中,∠FCE+∠E=90°.∵BE=BC,
∴∠E=∠ECB.∴∠E=∠ECB=∠BCF=30°,
在Rt△BCF中,BC=6,∠BCF=30°,
∴CF=BC·cos∠BCF=6×=3.
∵AB⊥CD,AB是☉O的直径,∴DF=CF=3.
在Rt△ADF中,∠DAF=∠BCF=30°,
∴AD===6.
5.解析(1)证明:如图,连接OC.
∵点C是的中点,∴=.∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD.
∵AD⊥DC,∴OC⊥DC,又∵OC是☉O的半径,
∴DC是☉O的切线.
(2)①如图,连接EB,OC,
∵AB是☉O的直径,∴AE⊥BE,
又∵AD⊥DF,∴EB∥DF,∴∠ABE=∠AFD.
∴sin∠ABE=sin∠AFD==,
又∵AE=2,∴AB=6,∴☉O的半径为3.
②在Rt△OCF中,sin∠AFD==,
又∵OC=3,∴OF=9,
∴AF=OA+OF=3+9=12.
在Rt△AFD中,sin∠AFD==,∴AD=4,
∴DE=AD-AE=4-2=2.
6.证明　(1)连接OD交AC于点H,如图.
∵AD=CD,∴=.∴OD⊥AC.
∴∠AHO=90°.∵∠ADM=∠DAC,∴AC∥MN.
∴∠MDO=∠AHO=90°.
∴OD⊥MN.
又∵OD为☉O的半径,∴MN是☉O的切线.
(2)连接BD,如图.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°.
∵∠ADM=∠DAC,∴AC∥MN.
∴∠ACD=∠CDN,∠DNC=∠ACB=90°,
∴∠DNC=∠ADB.∵∠ABD=∠ACD,
∴∠ABD=∠CDN.∴△CDN∽△ABD.
∴=.∵AD=CD,∴=.
∴AD2=AB·CN.
7.解析(1)证明:如图,作OH⊥FA于H,连接OE,
∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴CD=AD=AB,∴∠CAD=∠ACD,
∴∠BDC=∠CAD+∠ACD=2∠CAD,
∵∠FAC=∠BDC,
∴∠FAC=∠CAB,即AC是∠FAB的平分线,
∵O在AC上,☉O与AB相切于点E,
∴OE⊥AB,且OE是☉O的半径,
∴OH=OE,即OH是☉O的半径,
∴AF是☉O的切线.
(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,sin B==,
∴设AC=4x,AB=5x,∴(5x)2-(4x)2=62,
解得x=2(舍负).则AC=8,AB=10,
设☉O的半径为r,则OC=OE=r,
易证△AOE∽△ABC,
∴=,∴=,则r=3,
∴AE===4,
又AD=AB=5,∴DE=1,
在Rt△ODE中,由勾股定理得OD==.
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