2024青岛版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练（四）二次函数与几何图形的综合（含解析）

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2024青岛版数学九年级下学期
专项素养综合全练(四)
二次函数与几何图形的综合
类型一　线段最值问题
1.(2023山东潍坊二模)如图,已知抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)交x轴于点A(4,0)和点B(-2,0),交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上位于直线AC下方的动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线,交直线AC于点D,交x轴于点E,当PD+PE取最大值时,求点P的坐标.
类型二　周长与面积最值问题
2.(2023湖南张家界中考)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-2,0)和点B(6,0),与y轴交于点C(0,6).D为线段BC上的一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,求△AOD周长的最小值;
(3)如图2,过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S,当S取得最大值时,求点P的坐标,并求出此时S的最大值.
　
类型三　特殊三角形存在性问题
3.(2023山东莘县二模)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).
(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;
(2)试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,△OPQ是等腰三角形.
类型四　特殊四边形存在性问题
4.(2023山东东阿一模)如图,抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于A(4,0)和B(-1,0)两点,与y轴交于点C,点P是直线AC下方的抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P作PD⊥x轴于点D,交直线AC于点E,求线段PE的最大值及此时点P的坐标;
(3)取(2)中PE最大值时的P点,在坐标平面内是否存在点Q,使得以A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形 若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.解析　(1)∵抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)经过点A(4,0)和点B(-2,0),
∴解得
∴抛物线的解析式为y=x2-x-4.
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2-x-4,
∴C(0,-4),
设直线AC的解析式为y=kx-4(k≠0),
将A(4,0)代入,得0=4k-4,解得k=1,
∴直线AC的解析式为y=x-4,∵OA=OC=4,
∴∠OAC=45°,
设P(m,n),则n=m2-m-4(0∵PD平行于x轴,PE平行于y轴,
∴D(n+4,n),E(m,0),∴PD=m-4-n,PE=-n,
∴PD+PE=m-4-n-n=m-4-2
=-m2+3m+4=-+,
∵-1<0,∴当m=时,PD+PE取得最大值,此时n=×--4=-,
∴点P的坐标为.
2.解析　(1)将A(-2,0),B(6,0),C(0,6)三点坐标代入y=ax2+bx+c,得解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+6.
(2)作点O关于直线BC的对称点E,连接EC、EB,
∵B(6,0),C(0,6),∴OB=OC=6,
∵O、E关于直线BC对称,∠BOC=90°,
∴四边形OBEC为正方形,∴E(6,6),
连接AE,交BC于点D,由对称性知DE=DO,
此时DO+DA有最小值,最小值为AE的长,
AE===10,
∵△AOD的周长=DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值为10,
∴△AOD的周长的最小值为10+2=12.
(3)设直线BC的表达式为y=kx+n(k≠0),
将B(6,0),C(0,6)代入得,解得
∴直线BC的表达式为y=-x+6,
同理可得,直线AC的表达式为y=3x+6,
∵PD∥AC,∴可设直线PD的表达式为y=3x+q,
设P(0∴直线PD的表达式为y=3x-m2-m+6,
由得
∴D,
∵P,D都在第一象限,
∴S=S△PAD+S△PBD=S△PAB-S△DAB
=·AB·yP-·AB·yD
=·AB·
=4×=-m2+9m=-(m-3)2+,
∵-<0,∴当m=3时,S取得最大值,为,此时P点坐标为.
3.解析　(1)将A(-2,0),D(6,-8)代入y=ax2+bx-8,得
解得
∴抛物线的函数表达式为y=x2-3x-8,
∵y=x2-3x-8=(x-3)2-,
∴抛物线的对称轴为直线x=3.
∵抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-2,0),
∴点B的坐标为(8,0),
设直线l的函数表达式为y=kx(k≠0),
将D(6,-8)代入,得6k=-8,解得k=-,
∴直线l的函数表达式为y=-x.
∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点,
∴点E的横坐标为3,∴纵坐标为-×3=-4,
∴点E的坐标为(3,-4).
(2)抛物线上存在点F,使△FOE≌△FCE.点F的坐标为(3-,-4)或(3+,-4).
(3)由题意知分两种情况:
①当OP=OQ时,△OPQ是等腰三角形.
∵点E的坐标为(3,-4),∴OE==5,
过点E作直线ME∥PB,交y轴于点M,交x轴于点H,则=,∴OM=OE=5,
∴点M的坐标为(0,-5).
设直线ME的函数表达式为y=k1x-5(k1≠0),
将E(3,-4)代入得3k1-5=-4,解得k1=,
∴直线ME的函数表达式为y=x-5,
令y=0,得x-5=0,解得x=15,
∴点H的坐标为(15,0),
∵MH∥PB,∴=,即=,解得m=-.
②当QO=QP时,△OPQ是等腰三角形.
∵当x=0时,y=x2-3x-8=-8,
∴点C的坐标为(0,-8),
∴CE==5,∴OE=CE,∴∠1=∠2,
∵QO=QP,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴CE∥PB,
设直线CE交x轴于点N,则可设其函数表达式为y=k2x-8(k2≠0),
将E(3,-4)代入得3k2-8=-4,解得k2=,
∴直线CE的函数表达式为y=x-8,
令y=0,得x-8=0,解得x=6,
∴点N的坐标为(6,0),
∵CN∥PB,∴=,即=,解得m=-.
综上所述,当m的值为-或-时,△OPQ是等腰三角形.
4.解析　(1)把A(4,0),B(-1,0)代入y=ax2+bx-4,得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-3x-4.
(2)由题意可得C(0,-4),则OC=4,
设直线AC的函数解析式为y=kx+b1,
依题意得解得
∴直线AC的函数解析式为y=x-4,
设P(m,m2-3m-4)(0∴PE=(m-4)-(m2-3m-4)=-m2+4m=-(m-2)2+4,
∵-1<0,∴当m=2时,PE有最大值,为4,
此时P(2,-6).
(3)存在.点Q的坐标为(2,2)或(6,-2)或(-2,-10).
详解:设Q(c,n),
①当AC、PQ为平行四边形的对角线时,AC与PQ的中点重合,则解得
∴Q(2,2);
②当AP、CQ为平行四边形的对角线时,AP与CQ的中点重合,则解得
∴Q(6,-2);
③当AQ、CP为平行四边形的对角线时,AQ与CP的中点重合,则解得
∴Q(-2,-10).
综上所述,点Q的坐标为(2,2)或(6,-2)或(-2,-10).
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