5.5 确定二次函数的表达式课时练（含解析）

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2024青岛版数学九年级下学期
第5章　对函数的再探索
5.5　确定二次函数的表达式
基础过关全练
知识点　用待定系数法求二次函数的表达式
1.【教材变式·P43例1】(2023湖南长沙雨花期末)若二次函数的图象的顶点坐标为(2,-1),且图象过(0,3),则二次函数的解析式是 (　　)
A.y=-(x-2)2-1　　　B.y=-(x-2)2-1
C.y=(x-2)2-1　　　D.y=(x-2)2-1
2.(2022广东广州白云一模)抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(1,2),(3,0),则当x=5时,y的值为 (　　)
A.6　　　B.1　　　C.-1　　　D.-6
3.(2023山东济南高新区期末A卷)已知二次函数的最小值为-3,这个函数的图象经过点(1,-2),且对称轴为直线x=2,则这个二次函数的表达式为　　　　　　.
4.(2023陕西西安长安期末)若y=ax2+bx+c,由下列表格提供的信息,可知y与x之间的函数关系式是　　　　　　.
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
【一题多解】(2022山东临沂兰陵期末)小刚在用描点法画抛物线C1:y=ax2+bx+c时,列出了下面的表格:
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
请根据表格中的信息,写出抛物线C1的解析式:　　　　　　　　.
6.(2023四川绵阳涪城期中)若二次函数y=ax2+bx-(a+b)的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的两个点,则该二次函数的解析式为　　　　　　　.
7.【一题多解】(2019山东聊城中考节选)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8).求抛物线的表达式.
8.(2023山东济南槐荫期末)已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(2,2)和(1,5).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标.
9.【新独家原创】如图所示,以菱形OABC的对角线OB所在直线为x轴,以过点O且垂直于OB的直线为y轴建立平面直角坐标系,已知点A的坐标为(2,1).求经过O,C,B三点的抛物线所对应的表达式.
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10.(2023上海中考,14,★★☆)一个二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是　　　　　　　.
11.(2023黑龙江龙东地区中考,23,★★☆)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点P,使得S△PBC=S△ABC 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
12.(2023山东东明一模,24,★★☆)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)当0≤x≤3时,直接写出y的最小值为　　　,最大值为　　　;
(3)点P是抛物线上第一象限内的一点,若S△ACP=3,求点P的坐标.
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13.【推理能力】(2022贵州铜仁一模)已知抛物线y=x2+bx+c过A(c,12)、B(■,■)两点,且与y轴的负半轴相交.请证明抛物线的对称轴是直线x=1(其中点B的坐标被污渍盖住了).
(1)能否根据题中信息求出抛物线的解析式 若能,请写出解题过程;若不能,请说明理由;
(2)请把原题补充完整,并完成原题的证明.
答案全解全析
基础过关全练
1.C　设这个二次函数的解析式为y=a(x-2)2-1,
把(0,3)代入得4a-1=3,解得a=1,
所以y=(x-2)2-1.故选C.
2.D　根据题意得解得
所以y=-x2+x+.
当x=5时,y=-×52+5+=-6.故选D.
3.答案　y=(x-2)2-3
解析　∵二次函数的最小值为-3,图象对称轴为直线x=2,
∴二次函数图象的顶点坐标为(2,-3),
设二次函数的表达式为y=a(x-2)2-3,
把(1,-2)代入得a×(1-2)2-3=-2,解得a=1,
∴二次函数的表达式为y=(x-2)2-3.
4.答案　y=x2-4x+3
解析　由表格可知,当x=1时,ax2=1,∴a=1,
∴二次函数关系式为y=x2+bx+c,
将(-1,8),(0,3)代入,
得解得
∴y与x之间的函数关系式是y=x2-4x+3.
5.答案　y=-x2+4x+3
解析　解法一:把(0,3),(1,6),(2,7)代入y=ax2+bx+c中,得解得
∴抛物线C1的解析式为y=-x2+4x+3.
经检验,其他数据也符合.
解法二:由表格可知抛物线的顶点坐标为(2,7),
设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+7,将(0,3)代入得3=4a+7,解得a=-1,∴抛物线的解析式为y=-(x-2)2+7=-x2+4x+3.经检验,其他数据也符合.
6.答案　y=3x2-2x-1
解析　当x=1时,y=ax2+bx-(a+b)=a+b-a-b=0,
∴C(1,1)不在二次函数图象上,
把A(-1,4),B(0,-1)分别代入y=ax2+bx-(a+b)得解得
∴二次函数解析式为y=3x2-2x-1.
7.解析　解法一:由题意得
解得∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+8.
解法二:∵抛物线过点A(-2,0),B(4,0),
∴可设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-4),
将点C(0,8)代入,得8=-8a,解得a=-1.
∴抛物线的表达式为y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.
8.解析　(1)将点(2,2)和(1,5)代入y=x2+bx+c得解得所以所求二次函数的解析式是y=x2-6x+10.
(2)y=x2-6x+10=(x-3)2+1,
所以这个二次函数图象的顶点坐标是(3,1).
9.解析　如图,连接AC交OB于点D,
∵四边形OABC是菱形,∴AC⊥BD,AD=CD,OD=BD.
∵A(2,1),∴C(2,-1),B(4,0),
∵O,B关于直线AC对称,∴点C为所求抛物线的顶点.
设经过O,C,B三点的抛物线所对应的表达式为y=a(x-2)2-1(a≠0),
将B(4,0)代入,得4a-1=0,解得a=.
∴所求表达式为y=(x-2)2-1=x2-x.
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10.答案　y=-x2+1(答案不唯一)
解析　∵图象的顶点在y轴正半轴上,∴b=0,c>0.
∵对称轴左侧的部分是上升的,∴a<0.
取a=-1,b=0,c=1,这个二次函数的解析式可以是y=-x2+1.(答案不唯一)
11.解析　(1)将A(-3,0),B(1,0)代入抛物线y=ax2+bx+3得解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)存在,点P的坐标为(-2,3)或(3,-12).
理由:∵A(-3,0),B(1,0),
∴抛物线的对称轴为直线x==-1,设对称轴与x轴的交点为D,则D(-1,0),D为AB的中点,
∴S△BCD=S△ABC.
要使S△PBC=S△ABC=S△BCD,则PD∥BC.
设直线BC的解析式为y=kx+c,将C(0,3),B(1,0) 代入得
解得
∴直线BC的解析式为y=-3x+3.
设直线PD的解析式为y=-3x+m,
将D(-1,0)代入得3+m=0,解得m=-3.
∴直线PD的解析式为y=-3x-3.
联立解得
∴点P的坐标为(-2,3)或(3,-12).
12.解析　(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
(2)由(1)可知:当x=1时,y有最大值4,
∵|0-1|=1,|3-1|=2,∴当x=3时,y取最小值,为0,
∴当0≤x≤3时,y的最小值为0,最大值为4.
(3)连接OP,如图,设P(t,-t2+2t+3)(0∵S△ACP=S△AOC+S△OPC-S△APO,
∴×1×3+×3t-×1×(-t2+2t+3)=3,
整理得t2+t-6=0,解得t1=-3(舍去),t2=2.
当t=2时,-t2+2t+3=3,∴点P的坐标为(2,3).
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13.解析　(1)能.∵抛物线的对称轴是直线x=1,
∴-=1,∴b=-2,
∵抛物线y=x2+bx+c过点A(c,12),
∴c2-2c+c=12,∴c2-c-12=0,
∴(c-4)(c+3)=0,∴c1=4(舍去),c2=-3,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(2)答案不唯一.补充:B(0,-3).
证明:∵抛物线y=x2+bx+c过A(c,12),B(0,-3)两点,∴c=-3,∴A(-3,12),
将A(-3,12)代入y=x2+bx-3,得12=9-3b-3,
∴b=-2,∴抛物线的对称轴是直线x=-=1.
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