5.7 二次函数的应用课时练（含解析）

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2024青岛版数学九年级下学期
第5章　对函数的再探索
5.7　二次函数的应用
基础过关全练
知识点1　利用二次函数求图形面积的最值问题　
1.【教材变式·P50例1】(2023天津中考)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边长的和为40 m.有下列结论:
①AB的长可以为6 m;
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中,正确结论的个数是 (　　)
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
2.(2023山东潍坊中考)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,AB∥DE,AB与DE之间的距离为2米,AB=3米,AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°.
MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面积最大 最大面积是多少
知识点2　构建二次函数模型解决抛物线形问题　
3.(2023浙江丽水中考)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是 (　　)
A.5　　　B.10　　　C.1　　　D.2
4.【山东潍坊常考·多选题】(2023山东临朐期末)(多选题)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,则下列结论正确的是 (　　)
A.小球在空中经过的路程是40 m
B.小球运动的时间为6 s
C.小球抛出3 s时,速度为0 m/s
D.当小球的高度h=30(m)时,t=1.5(s)
5.【中华优秀传统文化】(2022山东聊城东阿期末)“东方之门”通过简单的几何曲线处理,将传统文化与现代建筑融为一体,最大程度地传承了苏州的历史文化.如图,“门”的内侧曲线呈抛物线形,已知其底部宽度为80米,高度为200米,则离地面150米处的水平宽度(即CD的长)为　　　　.
6.(2023甘肃兰州中考)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
知识点3　利用二次函数求销售问题中的最值问题
7.(2023广西钦州一模)一种商品每件的进价为100元,在某段时间内以每件a元的价格出售,可卖出(200-a)件.若要使利润最大,则该商品的定价为每件　　　　元.
8.(2022山东聊城中考)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为　　　　元(利润=总销售额-总成本).
9.(2023山东临朐期末)某网店销售某款童装,每件售价为80元,每星期可卖200件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖20件.已知该款童装每件成本价为50元,设该款童装每件售价为x元,每星期的销售量为y件.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大 最大利润是多少元
能力提升全练
10.【新素材】(2023吉林长春中考,14,★★★)2023年5月28日,C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”,是国际民航中高级别的礼仪).如图1,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2,当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时,两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米,喷水口A、B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H'距地面
　　　　米.
　
11.【新课标例71变式】(2023山东菏泽中考,21,★★☆)某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米.
(1)设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积;
(2)在花园面积最大的条件下,A,B两块内分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株,已知牡丹每株售价为25元,芍药每株售价为15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹.
12.(2023山东青州二模,20,★★☆)某超市购进了一种商品,进价为每件8元,销售过程中发现,该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在某种函数关系(其中8≤x≤15,且x为整数),且当x=8时,y=110;当x=10时,y=100;当x=12时,y=90;……,设超市销售这种商品每天获利为w(元).
(1)请判断y与x符合哪种函数关系,并求y与x之间的函数表达式;
(2)若该商店销售这种商品每天获利480元,则每件商品的售价为多少元
(3)当每件商品的售价为多少元时,每天的销售利润最大 最大利润是多少元
13.(2023浙江温州中考,22,★★☆)一次足球训练中,小明从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素);
(2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处
14.【中华优秀传统文化】(2023湖北十堰中考,23,★★☆)“端午节”吃粽子是中国传统习俗,在“端午节”来临前,某超市购进一种品牌粽子,每盒进价是40元,并规定每盒售价不得少于50元,日销售量不低于350盒.根据以往销售经验发现,当每盒售价定为50元时,日销售量为500盒,每盒售价每提高1元,日销售量减少10盒.设每盒售价为x元,日销售量为p盒.
(1)当x=60时,p=　　　　;
(2)当每盒售价定为多少元时,日销售利润W(元)最大 最大利润是多少
(3)小强说:“当日销售利润最大时,日销售额不是最大.”小红说:“当日销售利润不低于8 000元时,每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗 若正确,请说明理由;若不正确,请直接写出正确的结论.
素养探究全练
15.【模型观念】(2022山东潍坊中考)某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展,小亮和小莹到海水稻种植基地调研.小莹根据海水稻年产量数据分别在直角坐标系中描出表示2017—2021年①号田和②号田年产量情况的点(记2017年为第1年度,横轴表示年度,纵轴表示年产量),如图.
小亮认为,可以从y=kx+b(k>0),y=(m>0),y=-0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型,模拟①号田和②号田的年产量变化趋势.
(1)小莹认为不能选y=(m>0),你认同吗 请说明理由;
(2)请从小亮提供的函数模型中,选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势,并求出函数表达式;
(3)根据(2)中你选择的函数模型,请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大,最大是多少
答案全解全析
基础过关全练
1.C　设AB=x m,则BC=(40-2x)m,
根据题意有解得7≤x<20,
∴AB的长不可以为6 m,故①错误;
设菜园的面积为y m2,
则y=x(40-2x)=-2x2+40x,
令y=192,则-2x2+40x=192,
解得x1=12,x2=8.
经检验,符合题意,
∴AB的长有两个不同的值满足菜园的面积为192 m2,故②正确;
y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,
∵-2<0,∴当x=10时,y有最大值,最大值为200,故③正确.
综上,正确的有②③,共2个,故选C.
2.解析　如图,连接CF,分别交MH,GN于点P,Q,
∵∠A=∠B=90°,∴AF∥BC,∵AF=BC=1米,∴四边形ABCF是矩形,∴∠AFC=∠BCF=90°,CF∥AB,∵∠BCD=∠AFE=135°,∴∠EFC=∠DCF=45°,∵四边形MNGH是矩形,∴MH⊥AB,GN⊥AB,GN=MH,
∴四边形AMPF和四边形BCQN都是矩形,
∴PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MH⊥CF,GN⊥CF,
∴Rt△PFH和Rt△QCG都是等腰直角三角形,
∴PH=PF,GQ=CQ,∴AM=PH,BN=GQ,
设矩形MNGH的面积为y平方米,MH=GN=x米,
则AM=PH=(x-1)米,BN=GQ=(x-1)米,
∵AB=3米,∴MN=AB-AM-BN=(5-2x)米,
∴y=MH·MN=x(5-2x)=-2+,∵-2<0,
∴当x=时,y取得最大值,最大值为.
答:当MH的长度为米时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是平方米.
3.D　令h=0,得10t-5t2=0,解得t=0或t=2,
∴球弹起后又回到地面所花的时间是2秒,故选D.
4.BC　A.由图象知小球在空中经过的路程是40×2=80(m),故A错误;
B.由图象可知,小球6 s时落地,故小球运动的时间为6 s,故B正确;
C.小球抛出3 s时达到最高点,此时速度为0 m/s,故C正确;D.由图象可知当h=30(m)时,对应的t的值有2个,题目中只给了一个答案,故D错误.正确的选项是BC.
5.答案　40米
解析　如图,以AB所在的直线为x轴,以线段CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
由题意知A(-40,0),B(40,0),E(0,200),
设抛物线的解析式为y=a(x+40)(x-40)(a≠0),
将E(0,200)代入,得200=a(0+40)×(0-40),
解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-(x+40)(x-40)=-x2+200,
将y=150代入,得-x2+200=150,
解得x1=-20,x2=20,
∴C(-20,150),D(20,150),∴CD=40米.
6.解析　(1)根据题意可得,抛物线过(0,10)和(3,7),对称轴为直线x=1,
设y关于x的函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∴解得
∴y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10.
(2)在y=-x2+2x+10中,令y=0得-x2+2x+10=0,
解得x1=+1,x2=1-(舍去).
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(+1)米.
7.答案　150
解析　设利润为w元,
由题意得w=(a-100)(200-a)=-a2+300a-20 000=-(a-150)2+2 500,
∵-1<0,0∴当a=150时,w最大=2 500,
∴商品的定价为每件150元时,利润最大.
8.答案　121
解析　当10≤x≤20时,设y=kx+b(k≠0),把(10,20),(20,10)代入,得解得
∴每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的函数关系式为y=-x+30.
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元,由题意得w=(x-8)y=(x-8)(-x+30)=-x2+38x-240=-(x-19)2+121,
∵-1<0,∴当x=19时,w有最大值,为121.
9.解析　(1)根据题意可得y=200+20(80-x)=-20x+1 800.
(2)设每星期的销售利润为W元,
根据题意可得W=(x-50)(-20x+1 800)
=-20(x-70)2+8 000.
∵-20<0,∴当x=70时,W有最大值,为8 000.
故每件售价定为70元时,每星期的销售利润最大,最大利润是8 000元.
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10.答案　19
解析　由题意可知,A(-40,4),B(40,4),H(0,20),
设点A所在抛物线的解析式为y=ax2+20,
将A(-40,4)代入得,4=1 600a+20,
解得a=-,∴y=-x2+20,
由两辆消防车同时后退10米,可知点A'所在抛物线可由抛物线y=-x2+20向左平移10个单位长度得到,则点A'所在抛物线的解析式为y=-(x+10)2+20,令x=0,则y=-×100+20=19,故点H'的坐标为(0,19),∴两条水柱相遇点H'距地面19米.
11.解析　(1)设垂直于墙的一边长为x米,围成的矩形面积为S平方米,则平行于墙的一边长为(120-3x)米,根据题意得,S=x(120-3x)=-3x2+120x=-3(x-20)2+1 200,
∵-3<0,∴当x=20时,S取得最大值,为1 200,
此时120-3x=120-3×20=60,
∴垂直于墙的一边长为20米,平行于墙的一边长为60米时,花园的面积最大,最大面积为1 200平方米.
(2)设购买牡丹m株,则购买芍药1 200×2-m=(2 400-m)株,
根据题意得25m+15(2 400-m)≤50 000,
解得m≤1 400,∴最多可以购买1 400株牡丹.
12.解析　(1)y与x符合一次函数关系,
设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0,8≤x≤15),
将(8,110),(10,100)代入得,
解得
∴y与x之间的函数表达式为y=-5x+150.
(2)由题意得(x-8)(-5x+150)=480,
解得x1=14,x2=24(不合题意,舍去).
答:该商店销售这种商品每天获利480元时,每件商品的售价为14元.
(3)由题意得w=(x-8)(-5x+150)
=-5(x-19)2+605(8≤x≤15),
∵-5<0,∴当8≤x≤15时,w随x的增大而增大,
∴当x=15时,w最大=-5×(15-19)2+605=525.
答:当每件商品的售价为15元时,每天的销售利润最大,最大利润是525元.
13.解析　(1)∵8-6=2,
∴抛物线的顶点坐标为(2,3),
设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+3,
把点A(8,0)代入得36a+3=0,解得a=-,
∴抛物线的函数表达式为y=-(x-2)2+3.
当x=0时,y=-×4+3=≈2.67>2.44,
∴球不能射进球门.
(2)设小明带球向正后方移动m米,则移动后的抛物线表达式为y=-(x-2-m)2+3,
把点(0,2.25)代入得2.25=-(0-2-m)2+3,
解得m1=-5(舍去),m2=1.
∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处.
14.解析　(1)由题意可得,p=500-10(x-50)=-10x+1 000(x≥50),
当x=60时,p=-10×60+1 000=400.
(2)由题意可得,W=(x-40)(-10x+1 000)=-10x2+1 400x-40 000=
-10(x-70)2+9 000,
∵每盒售价不得少于50元,日销售量不低于350盒,
∴解得50≤x≤65.
∵-10<0,∴当50≤x≤65时,W随x的增大而增大,
∴当x=65时,W取得最大值,此时W=-10×(65-70)2+9 000=8 750.
答:当每盒售价定为65元时,日销售利润W(元)最大,最大利润是8 750元.
(3)小强的说法正确,小红的说法错误.理由如下:
设日销售额为y元,
则y=x(-10x+1 000)=-10x2+1 000x=-10(x-50)2+25 000,
∵-10<0,∴当x=50时,y的值最大,为25 000,
而当x=65时,W的值最大,∴当日销售利润最大时,日销售额不是最大,故小强的说法正确.
令W=8 000,则-10(x-70)2+9 000=8 000,
解得x1=60,x2=80.
∵-10<0,∴当W≥8 000时,60≤x≤80.
又∵50≤x≤65,∴60≤x≤65.
∴当日销售利润不低于8 000元时,每盒售价x的范围为60≤x≤65,
故小红的说法错误.
素养探究全练
15.解析　(1)认同.理由:当m>0时,对于y=,在每个象限内,y随x的增大而减小,而从题图中描点可知,y随x的增大而增大,故不能选y=(m>0).
(2)观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知,①号田为y=kx+b(k>0),②号田为y=-0.1x2+ax+c,
把(1,1.5),(2,2.0)代入y=kx+b,
得解得
∴y=0.5x+1.经检验,其他数据也符合.
把(1,1.9),(2,2.6)代入y=-0.1x2+ax+c,得
解得
∴y=-0.1x2+x+1,经检验,其他数据也符合.
答:模拟①号田的函数表达式为y=0.5x+1,模拟②号田的函数表达式为y=-0.1x2+x+1.
(3)设①号田和②号田总年产量为w吨,
由(2)知,w=0.5x+1+(-0.1x2+x+1)=-0.1x2+1.5x+2=-0.1(x-7.5)2+7.625,
∵-0.1<0,抛物线的对称轴为直线x=7.5,且x为整数,
∴当x=7或8时,w取得最大值,最大值为7.6.
答:①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大,最大是7.6吨.
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