7.4 圆锥的侧面展开图课时练（含解析）

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2024青岛版数学九年级下学期
第7章　空间图形的初步认识
7.4　圆锥的侧面展开图
基础过关全练
知识点　圆锥及圆锥的侧面积
1.(2021湖南怀化中考)下列图形中,可能是圆锥侧面展开图的是 (　　)
2.(2022山东济宁中考)已知圆锥的母线长为8 cm,底面圆的直径为
6 cm,则这个圆锥的侧面积是 (　　)
A.96π cm2　　　B.48π cm2
C.33π cm2　　　D.24π cm2
3.(2022江苏南京建邺一模)如图,把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆.若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则AD∶AB= (　　)
A.3∶2　　　B.7∶4　　　C.9∶5　　　D.2∶1
4.【新独家原创】如图,用一张边长为6 cm的等边三角形铁皮,剪下一个面积最大的扇形ADE,围成一个圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则围成圆锥形工件的底面圆半径为　 (　　)
A. cm　　　B. cm　　　C. cm　　　D.3 cm
5.【一题多变】(2023四川内江中考)如图,用圆心角为120°,半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥的高是　　　.
[变式·条件和结论互换](2022黑龙江齐齐哈尔中考)圆锥的母线长为
5 cm,高为4 cm,则该圆锥侧面展开图的圆心角为　　　　°.
6.【教材变式·P152例4】如图,某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的,若圆柱的高是圆锥高的2倍,且圆锥的母线长是2.5 m,底面圆半径是2 m.
(1)制作这样一个粮仓的用料面积为多少m2(接缝忽略不计)
(2)这个粮仓的容积是多少m3
能力提升全练
7.(2023湖北十堰中考,8,★★☆)如图,已知点C为圆锥母线SB的中点,AB为底面圆的直径,SB=6,AB=4,一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点,则蚂蚁爬行的最短路程为 (　　)
A.5　　　B.3　　　C.3　　　D.6
8.(2023山东聊城中考,9,★★☆)如图,该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分.若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2,原大圆锥高的剩余部分OO1的长为,则其侧面展开图的面积为 (　　)
A.π　　　B.2π　　　C.3π　　　D.4π
9.(2022山东聊城中考,15,★★☆)若一个圆锥体的底面积是其表面积的,则其侧面展开图圆心角的度数为　　　　.
10.(2023四川自贡中考,17,★★☆)如图,小珍同学用半径为8 cm,圆心角为100°的扇形纸片,制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是　　　　cm2.
11.(2023山东临朐一模,13,★★☆)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,点O,A,B都在格点上,若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的高为　　　　.
12.【新考法】(2022山东潍坊中考,17,★★☆)在数学试验课上,小莹将含30°角的直角三角尺分别以两条直角边所在直线为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,并用某作图软件画出如图所示的示意图.
甲　　乙
小亮观察后说:“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到的,所以它们的侧面积相等.”
你认同小亮的说法吗 请说明理由.
素养探究全练
13.【空间观念】如图所示的是一个圆锥与其侧面展开图,已知圆锥的底面圆半径是2,母线长是6.
(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数;
(2)如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度.
答案全解全析
基础过关全练
1.B　圆锥的侧面展开图是扇形,故选B.
2.D　S侧=×6π×8=24π cm2.故选D.
3.A　设AB=l,圆锥底面圆的半径为r,
根据题意得=2πr,∴l=4r.
∴AD=AE+ED=l+2r=6r.
∴AD∶AB=(6r)∶(4r)=3∶2.
4.B　∵扇形ADE是面积最大的扇形,∴以点A为圆心,AD为半径的圆与BC相切,设切点为F,连接AF,∴∠AFB=90°,AD=AF.
∵△ABC为等边三角形,
∴BF=CF=BC=3 cm,∠BAC=60°,
∴AD=AF==3 cm.
设围成圆锥形工件的底面圆半径为r cm,
根据题意得2πr=,解得r=,
∴围成圆锥形工件的底面圆半径为 cm,故选B.
5.答案　4
解析　设圆锥的底面圆半径为r,
根据题意得2πr=,解得r=2,
所以圆锥的高==4.
[变式]　答案　216
解析　圆锥的底面圆半径为=3,
设圆锥侧面展开图的圆心角为n°,
根据题意得=2π×3,解得n=216,
∴圆锥侧面展开图的圆心角为216°.
6.解析　(1)设圆锥的高为h1 m,圆柱的高为h2 m,
则h1==1.5,∴h2=2h1=3,
∴制作这样一个粮仓的用料面积为2π×2×3+π×2×2.5=17π(m2).
(2)这个粮仓的容积为π×22×3+π×22×1.5=14π(m3).故这个粮仓的容积是14π m3.
能力提升全练
7.B　由题意知,底面圆的周长等于4π,
沿母线SA将圆锥侧面展开后,如图所示,
连接AC'、AB',则AC'的长为蚂蚁爬行的最短路程.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,
根据底面周长等于侧面展开后所得扇形的弧长得4π=,
解得n=120,
所以侧面展开图中∠ASB'=120°÷2=60°,
因为SA=SB',∠ASB'=60°,
所以三角形SAB'为等边三角形,
又因为C'为SB'的中点,
所以AC'⊥SB',在直角三角形SAC'中,SA=6,SC'=3,
根据勾股定理求得AC'=3,
所以蚂蚁爬行的最短路程为3.
故选B.
8.C　如图,连接AO1,由题意得OC∥BO1,OC=2,BO1=1,
∴△BO1A∽△COA,
∴===,∴AO1=O1O=,
∴AB==,∴AC=2,
∴所求侧面展开图的面积为π×2×2-π×1×=3π,故选C.
9.答案　120°
解析　设圆锥的底面圆半径为r,侧面展开图的半径为R,圆心角为n°.∵圆锥的底面积是其表面积的,∴S侧=3S底=3πr2,
∵S侧=×2πr·R,∴×2πr·R=3πr2,∴R=3r,
由题意得2πr=,解得n=120.故所求圆心角的度数为120°.
10.答案　
解析　如图,由题意得弧AC的长为2π×2=4π(cm),
设弧AC所对的圆心角为n°,
则=4π,解得n=90,
∴粘贴部分扇形的圆心角为100°-90°=10°,
∴圆锥上粘贴部分的面积是= cm2.
11.答案　
解析　如图,连接AB,
∵OA==5,
OB==5,
AB==5,
∴OA2+OB2=AB2,
∴△OAB为等腰直角三角形,∠AOB=90°,
设圆锥的底面圆的半径为r,
根据题意得2πr=,解得r=,
∴该圆锥的高==.
12.解析　本题通过作图软件作出两个圆锥,考查圆锥的侧面积的大小比较.
我不认同小亮的说法.
理由:设直角三角尺的边BC的长为a,则AC=a,AB=2a,
则甲圆锥的侧面积为π·BC·AB=π×a×2a=2πa2,
乙圆锥的侧面积为π·AC·AB=π×a×2a=2πa2,
∴它们的侧面积不相等,∴我不认同小亮的说法.
素养探究全练
13.解析　(1)圆锥的高为=4,
设∠ABC=n°,
根据题意得=2π×2,解得n=120.
故圆锥的高为4,其侧面展开图中∠ABC的度数为120°.
(2)如图,连接AC,过B作BD⊥AC于D,
∵BA=BC,∴∠BAC=∠BCA==30°.
在Rt△ABD中,AB=6,∴BD=AB=3,
∴AD==3,
∴AC=2AD=6.
故这根绳子的最短长度是6.
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