第5章 对函数的再探索素养综合检测试题（含解析）

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2024青岛版数学九年级下学期
第5章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023江苏苏州一模)函数y=中自变量x的取值范围是 (　　)
A.x>1　　　B.x≥1　　　C.x<1　　　D.x≠1
2.(2023湖南株洲中考)下列哪个点在反比例函数y=的图象上 (　　)
A.P1(1,-4)　 　 　B.P2(4,-1)
C.P3(2,4)　　　 D.P4(2,)
3.(2023广西北部湾经济区中考)将抛物线y=x2先向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是 (　　)
A.y=(x-3)2+4　　　B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4　　 　D.y=(x+3)2-4
4.(2023河南中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过 (　　)
A.第一象限　　 　B.第二象限
C.第三象限　　　 D.第四象限
5.(2023湖北仙桃中考)在反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0A.k<0　　　B.k>0　　　C.k<4　　　D.k>4
6.(2023辽宁大连中考)已知抛物线y=x2-2x-1,则当0≤x≤3时,函数的最大值为 (　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.2
7.(2023山东潍坊中考)如图,在直角坐标系中,一次函数y1=x-2与反比例函数y2=的图象交于A,B两点,下列结论正确的是 (　　)
A.当x>3时,y1C.当0y2　　D.当-18.(2023山东沂南一模)画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列表如下:
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 -3 …
关于此函数有下列说法,不正确的是 (　　)
A.当x=0时,y=-3
B.当x=2时,该函数有最大值
C.函数图象开口向下
D.在函数图象上有两点A(x1,-4),B,则x1>x2
9.(2023黑龙江绥化中考)在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,AC平行于x轴,点B,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC上,且其横坐标为1,若反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,D,则k的值是
(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.
10.(2023山东聊城中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象经过点(0,2),其对称轴为直线x=-1.下列结论:①3a+c>0;
②若点(-4,y1),(3,y2)均在二次函数图象上,则y1>y2;③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个相等的实数根;④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为-2A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.(2023山东日照东港期末)已知y=(m+2)x|m|+2是y关于x的二次函数,那么m的值为　　　.
12.(2023山东东营垦利一模)关于x的函数y=(k-2)x2-(2k-1)x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是　　　　　　.
13.【跨学科·物理】(2023山东单县一模)公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”:杠杆平衡时,阻力×阻力臂=动力×动力臂.当用撬棍撬动一块石头时,发现阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m,关于动力F和动力臂L,有下列说法:①F与L的积为定值;②F随L的增大而减小;③当L为1.5 m时,撬动石头至少需要400 N的力;④F关于L的函数图象位于第一、三象限,其中说法正确的是　　　　.(只填序号)
14.(2023山东滨州中考)某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m,那么水管的设计高度应为　　　　.
三、解答题(共54分)
15.(2023山东莱西期中)(6分)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,-8),B(-2,-20)两点.
(1)求b,c的值;
(2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点 若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由.
16.【跨学科·物理】(2022浙江台州中考)(6分)如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
17.(2023吉林中考)(9分)甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道,两组每天挖掘长度均保持不变,合作一段时间后,乙组因维修设备而停工,甲组单独完成了剩下的任务.甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了　　　　天;
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时,直接写出乙组已停工的天数.
18.(2023山东东营中考)(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a<0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(-m,3m),B(4,-3)两点,与y轴交于点C,连接OA,OB.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)请根据图象直接写出不等式19.(2023山东潍坊三模)(11分)某公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形ABCD墙面进行了如图所示的设计装修(四周阴影部分是八个全等的矩形,用材料甲装修;中心区域是正方形EFGH,用材料乙装修).两种材料的成本如下:
材料 甲 乙
价格(元/米2) 800 600
设矩形的较短边AM的长为x米,装修材料的总费用为y元.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)当中心区域的边EF的长不小于2米时,预备材料的购买资金为
28 000元够用吗 请说明理由.
20.(2023山东菏泽三模)(12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式及对称轴l;
(2)设点P为直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.A　根据题意得,x-1>0,解得x>1.故选A.
2.D　∵1×(-4)=-4≠4,∴P1(1,-4)不在反比例函数y=的图象上;
∵4×(-1)=-4≠4,∴P2(4,-1)不在反比例函数y=的图象上;
∵2×4=8≠4,∴P3(2,4)不在反比例函数y=的图象上;
∵2×=4,∴P4(2,)在反比例函数y=的图象上,故选D.
3.A　根据“左加右减自变量,上加下减常数项”的规律,将抛物线y=x2先向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是y=(x-3)2+4.故选A.
4.D　由函数图象可得,a<0,->0,∴b>0,
∴y=x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故选D.
5.C　∵当x1<0∴反比例函数y=的图象位于第一、三象限,
∴4-k>0,解得k<4,故选C.
6.D　∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,∴对称轴为直线x=1,
∵a=1>0,∴抛物线的开口向上,
当0≤x<1时,y随x的增大而减小,
∴当x=0时,y最大=-1;
当1≤x≤3时,y随x的增大而增大,
∴当x=3时,y最大=9-6-1=2.
∴当0≤x≤3时,函数的最大值为2,故选D.
7.B　由图象可知,A.当x>3时,y1>y2,选项A错误;B.当x<-1时,y1y2,选项D错误.故选B.
8.D　A.由题表中数据可知,当y=0时,x=1或x=3,∴函数图象的对称轴为直线x=2,∴x=0与x=4时的函数值相等,∵当x=4时,y=-3,∴当x=0时,y=-3,故A正确;C.由题表中数据可知,y随x的增大先增大后减小,
∴函数图象开口向下,故C正确;B.∵图象的对称轴为直线x=2,∴当x=2时,该函数有最大值1,故B正确;D.∵不确定A、B的位置,∴不能判断x1与x2的大小,故D错误.故选D.
9.C　∵点A在y轴正半轴上,AC∥x轴,点B,C的横坐标都是3,且BC=2,点D在AC上,且横坐标为1,
∴设B(3,a),则D(1,a+2),
∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,D,
∴3a=(a+2)×1,解得a=1,∴B(3,1),
∴k=3×1=3.故选C.
10.B　∵对称轴为直线x=-1,∴-=-1,∴b=2a,
∴当x=1时,y=a+b+c=3a+c<0,故①错误;
∵抛物线开口向下,
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小,
∵(-4,y1)关于直线x=-1对称的点为(2,y1),
且2<3,∴y1>y2,故②正确;
方程ax2+bx+c=-1的解可看作抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-1的交点的横坐标,
由图象可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-1有两个交点,
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根,故③错误;
不等式ax2+bx+c>2的解集可看作抛物线y=ax2+bx+c在直线y=2上方的部分,
∵(0,2)关于直线x=-1对称的点为(-2,2),
∴x的取值范围为-2综上,正确的结论有②④,共2个,故选B.
11.答案　2
解析　∵y=(m+2)x|m|+2是y关于x的二次函数,
∴|m|=2且m+2≠0,解得m=2.
12.答案　k>-且k≠2
解析　根据题意得
解得k>-且k≠2.
13.答案　①②③
解析　由题意知,FL=1 200×0.5=600,
则F=,L>0,∴F与L的积为定值,①正确;
∵600>0,∴F随L的增大而减小,②正确;
当L=1.5 m时,F==400 N,③正确;
由题意知,F和L都为正数,∴F关于L的函数图象位于第一象限,④错误,故说法正确的为①②③.
14.答案　 m
解析　由题意可知(1,3)是抛物线的顶点,
∴设这段抛物线的解析式为y=a(x-1)2+3.
∵该抛物线过点(3,0),∴0=a(3-1)2+3,
解得a=-.
∴y=-(x-1)2+3.
当x=0时,y=-×(0-1)2+3=-+3=,
∴水管的设计高度应为 m.
15.解析　(1)将点A、B的坐标代入函数表达式得解得
(2)有.由(1)知,抛物线的表达式为y=-x2+5x-8,则Δ=52-4××(-8)=9>0,
故抛物线与x轴有两个公共点,
令y=-x2+5x-8=0,解得x=2或x=8,
故公共点坐标为(2,0),(8,0).
16.解析　(1)设y关于x的函数解析式为y=(k≠0),把x=6,y=2代入,得k=6×2=12,∴y关于x的函数解析式为y=.
(2)把y=3代入y=,得x=4,∴小孔到蜡烛的距离为4 cm.
17.解析　(1)30.
(2)设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0),易知点(30,210)也符合此解析式,
将(30,210),(60,300)代入,
得解得
∴乙组停工后y关于x的函数解析式为y=3x+120(30(3)由图象可知,甲组单独干了30天,挖掘的长度是300-210=90(m),
∴甲组的工作效率是90÷30=3(m/天).
前30天甲、乙两组合作共挖掘了210 m,则乙组单独挖掘的长度是210-30×3=120(m).
当甲组挖掘的长度是120 m时,工作天数是120÷3=40,此时乙组已停工的天数是40-30=10.
18.解析　(1)∵点B(4,-3)在反比例函数y=的图象上,∴-3=,∴k=-12,
∴反比例函数的表达式为y=-.
∵A(-m,3m)在反比例函数y=-的图象上,且-m<0,
∴3m=-,
∴m1=2,m2=-2(舍去).
∴点A的坐标为(-2,6).
∵点A,B在一次函数y=ax+b的图象上,
∴解得
∴一次函数的表达式为y=-x+3.
(2)∵点C为直线AB与y轴的交点,∴C(0,3),
∴OC=3.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=·OC·|xA|+·OC·|xB|=×3×2+×3×4=9.
(3)x<-2或019.解析　(1)根据题意,得AD=AB=6米,AM=MN=x米,AP=(6-2x)米,EF=(6-4x)米.
∴y=800×8x(6-2x)+600×(6-4x)2=-3 200x2+9 600x+21 600.
∴y与x之间的关系式为y=-3 200x2+9 600x+21 600.
(2)够用.理由:∵EF的长不小于2米,∴6-4x≥2,∴0y=-3 200x2+9 600x+21 600=-3 200+28 800,
∵-3 200<0,∴图象开口向下,
∵对称轴为直线x=,
∴当0∴当x=1时,y最大=-3 200×+28 800=28 000,
∴预备材料的购买资金为28 000元够用.
20.解析　(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c中,得解得
故抛物线的函数关系式是y=-x2+2x+3.
由抛物线的函数关系式知,抛物线的对称轴为直线x=-=1.
(2)如图,连接BC,交直线l于点P,连接PA,AC,此时△PAC的周长最小,
设直线BC的关系式为y=kx+n,将B(3,0),C(0,3)代入,得解得
∴直线BC的关系式为y=-x+3,
当x=1时,y=-1+3=2,故点P(1,2).
(3)存在.设点M(1,m),
由点A、C、M的坐标知,
AC2=12+32=10,
CM2=12+(3-m)2=m2-6m+10,
AM2=[1-(-1)]2+m2=4+m2,
①当AC=CM时,AC2=CM2,即10=m2-6m+10,解得m=0或m=6,
②当AC=AM时,AC2=AM2,即10=4+m2,解得m=或m=-,
③当CM=AM时,CM2=AM2,即m2-6m+10=4+m2,解得m=1.
易知当m=6时,M、A、C三点共线,不合题意,舍去.
综上可知,符合条件的M点有4个,点M的坐标为(1,0)或(1,)或(1,-)或(1,1).
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