26.1.2 反比例函数的图象和性质课时练（含解析）

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2024人教版数学九年级下学期
第二十六章　反比例函数
26.1　反比例函数
26.1.2　反比例函数的图象和性质
基础过关全练
知识点1　反比例函数的图象和性质
1.(2023云南昭通巧家二模)反比例函数y=-的图象大致是(　　)
2.(2023重庆中考A卷)反比例函数y=-的图象一定经过的点是(　　)
A.(1,4)　　　　B.(-1,-4)　　　　
C.(-2,2)　　　　D.(2,2)
3.反比例函数的图象如图所示,则这个反比例函数的解析式可能是(　　)
A.y=
4.(2023贵州遵义播州三模)已知反比例函数y=在每一个象限内y随x的增大而增大,则k的值可能是(　　)
A.-3　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.
5.【新独家原创】在正比例函数y=kx中,y随x的增大而增大,则在反比例函数y=kx-1中(　　)
A.y随x的增大而增大
B.y随x的增大而减小
C.在每个象限内,y随x的增大而增大
D.在每个象限内,y随x的增大而减小
6.【数形结合思想】(2023浙江宁波中考)如图,一次函数y1=k1x+b(k1>0)的图象与反比例函数y2=(k2>0)的图象相交于A,B两点,点A的横坐标为1,点B的横坐标为-2,当y1A.x<-2或x>1　　　　
B.x<-2或0C.-21　　　　
D.-27.(2022四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是　　　　.
8.若点A(a,m)与B(a+2,-m)都在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则a=　　　　.
9.【转化与化归思想】(2022江苏无锡惠山二模)将反比例函数y=的图象向左平移2个单位,若所得图象经过点P(m,3),则m=　　　　.
10.点A(a,a)在反比例函数y=的图象上,若将点A先向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度,所得点B恰好落在该函数图象的另一支上,则k的值为　　　　.
11.(2023湖北仙桃模拟)已知反比例函数y=,当-2≤x≤-1时,y的最大值是4,则当x≥8时,y的最小值为　　　　.
12.【教材变式·P9T9】已知反比例函数y=的图象的一支位于第二象限,点A(-1,a),B(-3,b)均在此函数的图象上.
(1)图象的另一支位于哪个象限 常数n的取值范围是多少
(2)试比较a、b的大小.
知识点2　反比例函数的系数k的几何意义
13.(2022湖南邵阳中考)如图所示的是反比例函数y=的图象,点A(x,y)是反比例函数图象上任意一点,过点A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则△AOB的面积是(　　)
A.1　　　　B.
14.(2023湖南株洲天元模拟)如图,B是反比例函数y=(x>0)的图象上一点,A、C在坐标轴上,四边形OABC是矩形,则△OAC的面积是(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6
15.(2023湖北襄阳老河口模拟)如图,点A是第一象限内反比例函数y=图象上的一点,AB⊥y轴,垂足为B,点C在x轴上,△ABC的面积是4,则k的值为(　　)
A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10
16.【一题多变·重叠型矩形面积问题】(2021湖南郴州永兴模拟)如图,A、B是曲线y=(x>0)上的点,经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段,若S阴影=1.5,则S1+S2=(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
[变式·变为求比例系数](2022浙江温州鹿城期末)如图,点A,B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,AC,BD分别垂直x轴于点C,D,AE⊥y轴于点E,BF⊥AC于点F.若OC=CD,阴影部分的面积为6,则k的值为　　　　.
17.【转化与化归思想】如图,A是反比例函数y=(x>0)图象上的一点,过点A作AB⊥x轴于点B,C是y轴上一点,连接AC,BC,D,E分别是AC,BD的中点,若S阴影=2,则k的值为　　　　.
18.【一题多解】(2023重庆渝中巴蜀中学期中)如图,点A是反比例函数y=(x>0)的图象上任意一点,AB∥x轴交反比例函数y=-(x<0)的图象于点B,以AB为边作 ABCD,其中C、D在x轴上,若 ABCD的面积为11,则k的值为　　　　.
19.【和差法求面积】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OAB的直角边OB在x轴的非负半轴上,点A的坐标为(6,4),斜边OA的中点D在反比例函数y=(x>0)的图象上,边AB交该图象于点C,连接OC.
(1)求k的值;
(2)求△OAC的面积.
能力提升全练
20.(2023湖南永州中考,9,★☆☆)已知点M(2,a)在反比例函数y=的图象上,其中a,k为常数,且k>0,则点M一定在(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
21.【易错题】(2021山西中考,5,★☆☆)已知反比例函数y=,则下列描述不正确的是(　　)
A.图象位于第一,第三象限
B.图象必经过点
C.图象不可能与坐标轴相交
D.y随x的增大而减小
22.(2022四川德阳中考,9,★★☆)一次函数y=ax+1与反比例函数y=-在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
23.(2023山西中考,8,★★☆)若点A(-3,a),B(-1,b),C(2,c)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则a,b,c的大小关系用“<”连接的结果为(　　)
A.b24.【数形结合思想】(2023广东汕头潮阳一模,14,★★☆)如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(1,m)、B(3,n)两点,则不等式k1x+b>的解集是　　　　　　　　.
25.(2023江苏苏州期中,12,★★☆)若反比例函数y=(m+2)x|m|-5的图象在第一、三象限,则m的值为　　　　.
26.(2023陕西中考,12,★★☆)如图,在矩形OABC和正方形CDEF中,点A在y轴正半轴上,点C,F均在x轴正半轴上,点D在边BC上,且BC=2CD,AB=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上,则这个反比例函数的表达式是　　　　.
27.(2022四川乐山中考,23,★★☆)如图,已知直线l:y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(-1,n),直线l'经过点A,且与l关于直线x=-1对称.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求图中阴影部分的面积.
素养探究全练
28.【几何直观】反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示,点P在y=的图象上,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,当点P在y=的图象上运动时,以下结论中一定正确的个数是(　　)
①△ODB的面积不变;②△OCA的面积不变;③△ODB与△OCA的面积相等;④四边形PAOB的面积不会发生变化.
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
29.【推理能力】(2023山东泰安泰山二模)如图,一次函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B两点,点P在以C(-2,0)为圆心,1为半径的☉C上,Q是AP的中点,已知OQ长的最大值为,则k的值为　　　　.
30.【推理能力】反比例函数y=(x<0,k<0)和y=(x<0)的图象如图所示,点P(m,0)是x轴上一动点,过点P作直线AB⊥x轴,分别交两图象于A、B两点.连接OA、OB.
(1)若m=-1,AB=9,求点A、B的坐标及k的值;
(2)雯雯同学提出一个大胆的猜想:“当k一定时,△OAB的面积随m值的增大而增大.”你认为她的猜想对吗 说明理由.
答案全解全析
基础过关全练
1.C　∵反比例函数y=-中,k=-6<0,∴图象在第二、四象限.故选C.
2.C　∵1×4=(-1)×(-4)=2×2≠-4,(-2)×2=-4,∴反比例函数y=-的图象一定经过的点是(-2,2).故选C.
3.C　观察函数图象可知(-2)×(-3)4.A　∵反比例函数y=在每一个象限内y随x的增大而增大,∴k+2<0,∴k<-2.故选A.
5.D　∵正比例函数y=kx中,y随x的增大而增大,∴k>0,∴在反比例函数y=kx-1中,在每个象限内,y随x的增大而减小.故选D.
6.B　由图象可知,当y17.k<2
解析　∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限,∴k-2<0,解得k<2.
8.-1
解析　由题意得A(a,m)与B(a+2,-m)关于原点对称,∴a+a+2=0,解得a=-1.
9.0
解析　由题意,将P(m,3)向右平移2个单位得到(m+2,3),
则点(m+2,3)在反比例函数y=的图象上,
∴3=,解得m=0.
10.1
解析　点A(a,a)先向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度,所得点B的坐标为(a+2,a+2),∵点A,B都在反比例函数y=的图象上,∴k=a2=(a+2)2,解得a=-1,∴k=(-1)2=1.
11.-
解析　∵对于反比例函数y=,当-2≤x≤-1时,y的最大值是4,∴函数图象分布在第二、四象限,即k<0,∴在每个象限内,y随x的增大而增大,∴x=-1时,y取最大值4,∴4=.∵当x≥8时,函数图象在第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,∴当x=8时,y取得最小值,此时y=-.
12.解析　(1)∵反比例函数y=的图象的一支位于第二象限,
∴图象的另一支位于第四象限,
∴n+.
(2)∵x<0时,y随x的增大而增大,且-3<-1<0,
∴b13.B　∵点A为反比例函数y=图象上一点,AB⊥x轴于点B,∴S△ABO=.故选B.
14.B　∵B是反比例函数y=(x>0)的图象上一点,A、C在坐标轴上,四边形OABC是矩形,∴S矩形OABC=6,∴△OAC的面积是×6=3.
故选B.
15.C　如图,连接OA,∵AB⊥y轴,∴OC∥AB,∴S△OAB=S△ABC=4,又S△OAB=|k-1|=4,∵k-1>0,∴k=9.
故选C.
16.D　∵A、B是曲线y=(x>0)上的点,经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段,∴S1+S阴影=S2+S阴影=5.
又∵S阴影=1.5,∴S1=S2=5-1.5=3.5,∴S1+S2=7.故选D.
[变式]　4
解析　如图,延长BF交y轴于点G,则四边形ODBG是矩形,∵点A,B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,∴S矩形OCAE=S矩形ODBG=k,∵OC=CD,∴S矩形CDBF=.∵阴影部分的面积为6,∴k+=6,解得k=4.
17.8
解析　由系数k的几何意义可知,S△ABC=,
又∵D,E分别是AC,BD的中点,
∴S阴影=S△BCD+S△ABD=S△ABC=,
∵S阴影=2,∴|k|=8,
又∵图象在第一象限,∴k>0,∴k=8.
18.6
解析　解法一:如图,过点B作BM⊥x轴,过点A作AN⊥x轴,则S矩形ABMN=S ABCD=11,又∵S矩形ABMN=k+5,∴k+5=11,∴k=6.
解法二:如图,连接OB,OA,∵AB∥x轴,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在反比例函数y=-(x<0)的图象上,∴S△AOB=.∵四边形ABCD为平行四边形,∴S△AOB=S ABCD,又∵ ABCD的面积为11,∴×11,∴k=6.
19.解析　(1)∵点A的坐标为(6,4),点D为OA的中点,∴点D的坐标为(3,2).
∵点D在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴k=3×2=6.
(2)∵点C在反比例函数y=的图象上,
∴S△OBC=×6=3,
∴S△OAC=S△OAB-S△OBC=×6×4-3=9.
方法解读　和差法求面积:在不改变图形的位置的情况下,将所求图形的面积转化为其他图形的面积的和或差,经过计算其他图形的面积可得所求图形的面积.
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20.A　∵k>0,∴反比例函数y=的图象位于第一、三象限,又∵M(2,a)在该函数图象上,∴点M一定在第一象限.故选A.
21.D　选项A,∵k=6>0,∴图象位于第一,第三象限,故A正确,不符合题意;选项B,∵4×=6=k,∴图象必经过点,故B正确,不符合题意;选项C,∵x≠0,y≠0,∴图象不可能与坐标轴相交,故C正确,不符合题意;选项D,∵k=6>0,∴在每一个象限内,y随x的增大而减小,故D错误,符合题意.故选D.
易错点　忽视反比例函数的增减性要在同一象限内讨论而导致错误.
22.B　分两种情况:当a>0时,一次函数y=ax+1的图象过第一、二、三象限,反比例函数y=-的图象在第二、四象限,无选项符合;当a<0时,一次函数y=ax+1的图象过第一、二、四象限,反比例函数y=-的图象在第一、三象限,故B选项正确.故选B.
23.D　∵k<0,∴反比例函数y=的图象位于第二、四象限,且在每个象限内,y随x的增大而增大,∴点A(-3,a),B(-1,b)都在第二象限,∵-3<-1,∴024.x<0或1解析　如图,补全函数图象,从函数图象看,当x<0或1的解集为x<0或125.4
解析　∵反比例函数y=(m+2)x|m|-5的图象在第一、三象限,∴|m|-5=-1,且m+2>0,解得m=±4,且m>-2,∴m=4.
26.y=
解析　如图,延长ED交y轴于点G,则四边形OGEF是矩形.设反比例函数的表达式为y=(k≠0),CD=a,则BC=2a,EF=a,OF=3+a,∵点B,E在反比例函数y=的图象上,且k>0,∴3×2a=a(3+a)=k,∴a=3,k=18,∴这个反比例函数的表达式是y=.
27.解析　(1)∵点A(-1,n)在直线l:y=x+4上,
∴n=-1+4=3,∴A(-1,3).
∵点A在反比例函数y=(x<0)的图象上,
∴k=-3,∴反比例函数的解析式为y=-.
(2)如图,易知直线l:y=x+4与x轴、y轴的交点分别为B(-4,0)、C(0,4),
∵直线l'经过点A,且与l关于直线x=-1对称,
∴直线l'与x轴的交点为E(2,0),
设直线l'的解析式为y=k1x+b,由题意,得
∴直线l'的解析式为y=-x+2,
∴直线l'与y轴的交点为D(0,2),
∴S阴影=S△BOC-S△ACD=×2×1=7.
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28.D　由题意可得,S△ODB=S△OCA=,S矩形CODP=2,∴S四边形PAOB=S矩形CODP-S△ODB-S△OCA=2-=1,∴①②③④均正确.故选D.
29.
解析　连接BP,由对称性得OA=OB,又∵Q是AP的中点,∴OQ是△APB的中位线,∴OQ=BP.∵OQ长的最大值为,∴BP长的最大值为2×=3.如图,当BP过圆心C时,BP最长,过B作BD⊥x轴于D,∵CP=1,∴BC=2,∵B在直线y=2x上,∴设B(t,2t),则CD=t-(-2)=t+2,BD=-2t,在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=CD2+BD2,∴22=(t+2)2+(-2t)2,解得t=0(舍)或t=-,又∵点B在反比例函数y=(k>0)的图象上,∴k=-.
30.解析　(1)把x=-1代入y=,得y=-3,
∴B(-1,-3),又AB=9,A在第二象限,∴A(-1,6).
把A(-1,6)代入y=,得k=-6.
(2)雯雯同学的猜想不对.理由如下:
S△OAB=S△AOP+S△BOP=,
即△OAB的面积与m的值无关,
∴雯雯同学的猜想不对.
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