26.2 实际问题与反比例函数课时练（含解析）

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2024人教版数学九年级下学期
第二十六章　反比例函数
26.2　实际问题与反比例函数
基础过关全练
知识点1　利用反比例函数解决实际问题
1.【教材变式·P16T5】甲、乙两地相距100 km,则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y(小时)与平均行驶速度x(千米/时)之间的函数图象大致是(　　)
　　　
2.【跨学科·医学】(2022北京西城模拟)某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.现测得不同时刻药物的浓度y(毫克/立方米)与时间x(分钟)的数据如下表:
x 0 2 4 6 8 10 12 16 20
y 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4
则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象是(　　)
3.【新独家原创】某直播平台销售一批杭州亚运会运动T恤,进价为50元/件,在销售时发现T恤的日销量和每件的利润正好成反比例关系,且价格调整为80元/件时,日销量为100件,那么该T恤的日销量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)之间的函数表达式为　　　　.
4.(2023福建泉州晋江模拟)某校组织学生到某品牌运动鞋直销店开展社会实践活动,他们参与了该品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的成本价为130元,为寻求合适的销售价格,直销店进行了4天的试销,试销情况如下表所示:
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x(元/双) 225 300 375 450
销售量y(双) 40 30 24 20
(1)观察表中数据,y与x满足什么函数关系 请求出这个函数关系式;
(2)在(1)的条件下,若直销店计划每天的销售利润为4 500元,则其售价应定为多少
知识点2　利用反比例函数解决与几何图形相关的问题
5.(2021山东聊城茌平模拟)已知一个三角形的面积为4,一边长为x,这条边上的高为y,则y关于x的变化规律用图象表示大致是(　　)
6.【教材变式·P12例1】【新独家原创】某自来水公司计划新建一个容积为40 000 m3的长方体蓄水池,则蓄水池的底面积S(m2)关于其深度h(m)的函数关系式为　　　　,若蓄水池的长为100 m,宽为80 m,则蓄水池的深度为　　　　m.
7.【教材变式·P16T2】某中学计划修建一块矩形劳动实践基地,该劳动实践基地的长y(单位:m)与宽x(单位:m)满足反比例函数关系,其图象如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当劳动实践基地的长与宽之比为2∶1时,求该劳动实践基地的长.
知识点3　利用反比例函数解决与物理相关的问题
8.【跨学科·物理】(2022北京昌平二模改编)某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(单位:千帕)随气球内气体的体积V(单位:立方米)的变化而变化,p随V的变化情况如下表所示,那么在这个温度下,气球内气体的气压p与气球内气体的体积V是
　　　　函数关系,其关系式是　　　　.
V(单位:立方米) 64 48 38.4 32 24 …
p(单位:千帕) 1.5 2 2.5 3 4 …
9.【跨学科·物理】(2023山东德州夏津模拟)某校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间的关系,测得数据如下,根据数据猜想得到三者之间关系为I=.由此可得,当电阻R=110 Ω时,电流I=　　　　A.
R(Ω) 100 200 220 400
I(A) 2.2 1.1 1 0.55
10.【跨学科·物理】(2023山西大同模拟)近视眼镜是凹透镜,是一种为了矫正视力,让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜,可以使眼球的睫状肌保持一定的调节能力.下表是一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据.根据表中数据,若要配置500度的近视眼镜,则可选镜片的焦距为　　　　米.
近视眼镜的度数y/度 250 400 500 1 000
镜片焦距x/米 0.40 0.25 0.10
11.【跨学科·物理】(2023四川南充中考)小伟要用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.6 m,当动力臂由1.5 m增加到2 m时,撬动这块大石头可以节省　　　　N的力. (杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂)
能力提升全练
12.【跨学科·物理】(2023浙江丽水中考,8,★☆☆)若100 N的压力F作用于物体上,产生的压强p要大于1 000 Pa,则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是(　　)
A.S小于0.1 m2　　　　B.S大于0.1 m2
C.S小于10 m2　　　　D.S大于10 m2
13.【跨学科·物理】(2023湖北恩施州中考,9,★★☆)如图,取一根长100 cm的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来,在中点O的左侧距离中点O 25 cm(L1=25 cm)处挂一个重9.8 N(F1=9.8 N)的物体,在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态,弹簧秤与中点O的距离L(单位: cm)及弹簧秤的示数F(单位:N)满足FL=F1L1,则F关于L的函数图象大致是(　　)
　　
　　
14.(2023山西忻州代县期末,15,★★☆)某校校医对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒.一间教室内消毒药物在空气中的浓度y(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函数关系如图所示.校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y=2x,药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系,两个函数图象的交点为A(m,n).已知教室空气中的药物浓度不低于2 mg/m3时,对杀灭病毒有效.当m=3时,本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为　　　　min.
15.【跨学科·生物】(2022四川达州开江期末,15,★★☆)1896年,挪威生理学家古德贝发现,每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点,这就导致每个人在蒙上眼睛行走时,虽然主观上沿某一方向直线前进,但实际上走出的是一个大圆圈,这就是有趣的“瞎转圈”现象,经研究,某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y(米)是其两腿迈出的步长之差x(厘米)(x>0)的反比例函数,其图象如图所示.若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米,则其两腿迈出的步长之差最多是　　　　厘米.
16.(2022浙江舟山定海一模,15,★★☆)如图所示的是4个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~4的整数),反比例函数y=(x>0)的图象为曲线L.若曲线L使得T1~T4这些点分布在它的两侧,每侧各2个点,则k的取值范围是　　　　.
17.【新课标例72变式】(2023河北保定竞秀二模,22,★★☆)如图①,将一长方体放置在一水平玻璃桌面上,按不同的方式摆放,记录桌面所受压强与受力面积的对应数据,如下表所示:
桌面所受 压强p(Pa) 300 400 500 750 1 500
受力面积 S(m2) 0.5 0.375 a 0.2 0.1
(1)根据表中数据,求出桌面所受压强p(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式及a的值;
(2)将另一长,宽,高分别为0.3 m,0.2 m,0.1 m,且与原长方体质量相同的长方体按图②所示的方式放置在该水平玻璃桌面上.若玻璃桌面能承受的最大压强为2 000 Pa,这种摆放方式是否安全 请判断并说明理由.
　
素养探究全练
18.【应用意识】(2023河北保定阜平期末)某企业生产一种必需商品,经过长期市场调查发现:商品的月总产量稳定在600件.商品的月销售量Q(件)由基本销售量与浮动销售量两个部分组成,其中基本销售量保持不变,浮动销售量与售价x(元/件)(x≤10)成反比例,且可以得到如下信息:
售价x(元/件) 5 8
月销售量Q(件) 580 400
(1)求Q与x的函数关系式;
(2)若当月生产出的商品正好销售完,求此时的售价;
(3)售价为多少时,月销售额最大 最大值是多少
19.【应用意识】【新考向·实践探究题】(2021浙江台州中考)电子体重秤(如图①)读数直观又便于携带,为人们带来了方便.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤:制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R1,R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1=km+b(其中k,b为常数,0≤m≤120),其图象如图②所示;图③的电路中,电源电压恒为8伏,定值电阻R0的阻值为30欧,接通开关,人站上踏板,电压表显示的读数为U0,该读数可以换算为人的质量m.
温馨提示:(i)导体两端的电压U,导体的电阻R,通过导体的电流I满足关系式I=;
(ii)串联电路中电流处处相等,各电阻两端的电压之和等于总电压.
　　 图①　　　　 　图②　　 　　　　图③
(1)求k,b的值;
(2)求R1关于U0的函数解析式;
(3)用含U0的代数式表示m;
(4)若电压表量程为0~6伏,为保护电压表,请确定该电子体重秤可称的最大质量.
答案全解全析
基础过关全练
1.B　由题意得y=(x>0),所以函数图象大致是B.
故选B.
2.D　由表格中数据可得0≤x≤8时,数据成比例增长,是正比例函数关系,设解析式为y=kx(k≠0),将(2,1.5)代入得1.5=2k,解得k=,故函数解析式为y=x(0≤x≤8);由表格中数据可得x>8时,y与x成反比例,是反比例函数关系,设解析式为y=(a≠0),将(12,4)代入得a=48,故函数解析式为y=(x>8).故D中函数图象正确.故选D.
3.y=
解析　∵T恤的日销量和每件的利润正好成反比例关系,∴y与(x-50)成反比例关系,设y=(k>0),∵x=80时,y=100,∴=100,解得k=
3 000,∴y与x之间的函数表达式为y=.
4.解析　(1)由表中的数据可得xy=9 000,
∴y=,
∴y是x的反比例函数,这个函数关系式为y=.
(2)由题意,得(x-130)y=4 500,
将y=代入,得(x-130)·=4 500,
解得x=260,
经检验,x=260是原方程的解,且符合题意.
答:售价应定为260元/双.
5.C　∵,又由题意知x>0,故选C.
6.S=;5
解析　由题意,得Sh=40 000,∴蓄水池的底面积S(m2)关于其深度h(m)的函数关系式为S=.当蓄水池的长为100 m,宽为80 m时,底面积为100×80=8 000(m2),把S=8 000代入S=,得8 000==5,即蓄水池的深度为5 m.
7.解析　(1)由题意,设y=(k≠0),将(100,800)代入y=,得800=,
∴k=80 000,
∴y关于x的函数解析式是y=.
(2)由题意得y=2x,
∴2x=,
解得x=200(负值已舍去),
∴2x=400,
∴该劳动实践基地的长为400 m.
8.反比例;p=
解析　64×1.5=96;48×2=96;38.4×2.5=96;32×3=96;24×4=96,……,由此可得出p与V成反比例函数关系,函数关系式为p=.
9.2
解析　∵I=,当R=220 Ω时,I=1 A,∴1=,解得U=220(V),∴I=,∴当R=110 Ω时,I==2(A).
10.0.20
解析　∵250×0.40=400×0.25=1 000×0.10=100,∴近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系,且k=100,∴y=,当y=500时,x==0.20,故可选镜片的焦距为0.20米.
11.100
解析　设动力为F,动力臂为L,根据“杠杆原理”有FL=1 000×0.6=600,∴F与L之间的函数解析式为F=,当L=1.5 m时,F==400 N,当L=2 m时,F==300 N,因此,撬动这块大石头可以节省400-300=100 N的力.
能力提升全练
12.A　∵p=(S>0),∴F=100 N时,p=.∵产生的压强p要大于1 000 Pa,∴>1 000,∴S<0.1 m2.故选A.
13.B　由题意得FL=25×9.8=245,∴F关于L的函数解析式为F=,∵100÷2=50(cm),∴014.8
解析　当m=3时,y=2×3=6,∴A(3,6).设熏蒸完成后y与x的函数关系式为y=(k≠0),则k=3×6=18,∴熏蒸完成后y与x的函数关系式为y=.令2x=2,解得x=1,令=2,解得x=9,结合图象可知有效杀灭病毒的时间为9-1=8(min).
15.0.4
解析　设y与x之间的函数表达式为y=,由题图得7=,∴k=14,∴y与x之间的函数表达式为y=.当y≥35时,≥35(x>0),∴x≤0.4,∴若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米,则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米.
16.8解析　∵每个台阶的高和宽分别是1和2,∴T1(8,1),T2(6,2),T3(4,3),T4(2,4),则8×1=2×4,6×2=4×3,当函数y=(x>0)的图象过点T1(8,1),T4(2,4)时,k=8;当函数y=(x>0)的图象过点T2(6,2),T3(4,3)时,k=12.由此可知若曲线L使得T1~T4这些点分布在它的两侧,每侧各2个点,则k的取值范围是817.解析　(1)由表格可知,桌面所受压强p与受力面积S的乘积不变,故桌面所受压强p是受力面积S的反比例函数,设p=.
将(300,0.5)代入得k=300×0.5=150,∴p=,
当p=500时,S==0.3,
∴a=0.3.
(2)这种摆放方式不安全,
理由:由题图可知S=0.1×0.2=0.02(m2),
∴p==7 500(Pa),
∵7 500>2 000,
∴这种摆放方式不安全.
素养探究全练
18.解析　(1)根据题意,设Q=a+,
由表格可知:当x=5时,Q=580,当x=8时,Q=400,
∴
即Q与x的函数关系式是Q=100+.
(2)令Q=600,
得600=100+,解得x=4.8.
答:若当月生产出的商品正好销售完,则售价是4.8元/件.
(3)设月销售额为w元,
由题意,得w=x=100x+2 400,
∴w随x的增大而增大.
∵x≤10,
∴当x=10时,w取得最大值,此时w=3 400.
答:售价为10元/件时,月销售额最大,最大值是3 400元.
19.解析　(1)将(0,240),(120,0)代入R1=km+b,
得
(2)由题意得可变电阻两端的电压=电源电压-电压表电压,即可变电阻两端的电压=8-U0,
∵I=,通过可变电阻和定值电阻的电流大小相等,∴,化简得R1=R0,
∵R0=30,∴R1=-30.
(3)将R1=-2m+240代入R1=-30,
得-2m+240=-30,化简得m=-+135.
(4)∵m=-+135,-120<0,且0≤U0≤6,
∴m随U0的增大而增大,
∴U0取最大值6时,m取得最大值,最大值为-+135=115,
故该电子体重秤可称的最大质量为115千克.
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