27.2.2 相似三角形的性质课时练（含解析）

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2024人教版数学九年级下学期
第二十七章　相似
27.2　相似三角形
27.2.2　相似三角形的性质
基础过关全练
知识点1　相似三角形对应线段的比等于相似比
1.(2023甘肃兰州城关期末)两个相似三角形对应边之比为2∶3,那么它们的对应中线之比为(　　)
A.2∶3　　　　B.3∶2　　　　C.4∶9　　　　D.9∶4
2.两个相似三角形对应边上的高分别是6 cm,8 cm,那么两三角形的相似比为　　　　.
3.已知△ABC∽△A1B1C1,顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应,AB∶A1B1=3∶5,AE、A1E1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线,如果A1E1=7.5,那么AE的长为　　　　.
4.如图,已知△ABC的面积为12,BC=6.将△ABC沿直线BC向右平移2个单位长度,得到△DEF,AC与DE交于点M,作MN⊥BC于N,则MN=　　　　.
知识点2　相似三角形周长的比等于相似比
5.(2023重庆中考A卷)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这两个三角形对应边的比是(　　)
A.1∶2　　　　B.1∶4　　　　C.1∶8　　　　D.1∶16
6.(2023四川成都高新区模拟)已知△ABC∽△DEF,且,若△ABC的周长为2,则△DEF的周长为(　　)
A.　　　　C.6　　　　D.18
7.如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是5 cm和2 cm,它们周长的差是60 cm,那么这两个三角形的周长分别为　　　　　　.
8.【教材变式·P42T3】(2020江苏南通中考)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则的值等于　　　　.
知识点3　相似三角形面积的比等于相似比的平方
9.(2023贵州安顺西秀模拟)已知△ABC∽△DEF,若AB=2,DE=3,则S△ABC∶S△DEF=(　　)
A.2∶3　　　　B.4∶6　　　　C.4∶9　　　　D.2∶9
10.(2021四川雅安中考)如图,将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF,DE交AC于点G.若BC∶EC=3∶1,S△ADG=16,则S△CEG的值为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
11.【方程思想】(2023陕西渭南澄城一模)已知两个相似三角形的面积之比为4∶9,这两个三角形的周长的和是100 cm,则较小的三角形的周长为(　　)
A.20 cm　　　　B.30 cm　　　　C.40 cm　　　　D.60 cm
12.【一题多变·A字型中与四边形面积有关的问题】(2020四川内江中考)如图,在△ABC中,D、E分别是AB和AC的中点,S四边形BCED=15,则S△ABC=(　　)
A.30　　　　B.25　　　　C.22.5　　　　D.20
[变式1·已知三角形面积求四边形面积](2022湖南郴州模拟)如图,在△ABC中,DE∥BC,,△ADE的面积是8,则四边形BCED的面积为　　　　.
　
[变式2·已知三角形与四边形的面积关系求边长](2021吉林长春宽城一模)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,∠ADE=∠C,四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍.若DE=1.5,则BC的长为　　　　.
13.【新独家原创】如图,在 ABCD中,E、F为边BC的三等分点,连接AE、DF交于点O,若S△OEF=1,则S四边形ABFD=　　　　.
能力提升全练
14.(2021四川巴中中考,5,★☆☆)如图,△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,且,下列结论正确的是(　　)
A.DE∶BC=1∶2
B.△ADE与△ABC的面积比为1∶3
C.△ADE与△ABC的周长比为1∶2
D.DE∥BC
15.(2022内蒙古包头中考,9,★★☆)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为(　　)
A.1∶4　　　　B.4∶1　　　　C.1∶2　　　　D.2∶1
(2023四川巴中中考,10,★★☆)如图,在Rt△ABC中,AB=6 cm,
BC=8 cm,D、E分别为AC、BC中点,连接AE、BD相交于点F,点G在CD上,且DG∶GC=1∶2,则四边形DFEG的面积为(　　)
A.2 cm2　　　　B.4 cm2　　　　
C.6 cm2　　　　D.8 cm2
17.(2023山东临沂莒南一模,15,★★☆)如图,P为平行四边形ABCD边BC上一点,E、F分别为PA、PD上的点,且AE=2EP,DF=2FP,△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2,若S=a,则S1+S2=　　　　.
18.(2021山东菏泽中考,12,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为　　　　.
19.【三垂直模型】(2023云南昆明盘龙二模,16,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=9,AD=15,点E是CD边上的一点,连接AE,将△ADE沿AE翻折,使点D恰好落在BC边上的点F处,则=　　　　.
素养探究全练
20.【推理能力】(2023浙江杭州西湖三模)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点,连接AM交DE于点N,若,则下列选项不成立的是(　　)
A.
C.S△ANE<2S四边形DBMN　　　　D.
21.【运算能力】(2023江苏苏州工业园区模拟)如图所示,正方形ABCD的对角线交于点O,P是边CD靠近点D的四等分点,连接PA,PB分别交BD,AC于M,N.连接MN,则的值是　　　　.
22.【推理能力】如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点C分别作AD、AB的垂线,交边AD、AB的延长线于点E、F.
(1)求证:△CDE∽△CBF;
(2)求证:AD·DE=AB·BF;
(3)连接AC,如果,求证:.
答案全解全析
基础过关全练
1.A　因为两个相似三角形对应中线的比等于相似比,所以所求对应中线之比为2∶3.故选A.
2.3∶4
解析　因为两个相似三角形对应边上的高分别是6 cm,8 cm,所以两三角形的相似比为6∶8=3∶4.
3.4.5
解析　∵△ABC∽△A1B1C1,AB∶A1B1=3∶5,∴对应角平分线AE、A1E1的比为3∶5,∴AE∶7.5=3∶5,∴AE=4.5.
4.
解析　设△ABC的边BC上的高为h,∵△ABC的面积为12,BC=6,∴h=4.由平移的性质得BE=2,ME∥AB,∴EC=4,△ABC∽△MEC,∴h∶MN=BC∶EC,即4∶MN=6∶4,∴MN=.
5.B　∵两个相似三角形周长的比为1∶4,∴由相似三角形周长的比等于相似比得这两个三角形对应边的比为1∶4.故选B.
6.C　∵△ABC∽△DEF,且,∴△DEF与△ABC的相似比为3∶1.∵△ABC的周长为2,∴△DEF的周长为2×3=6.故选C.
7.100 cm,40 cm
解析　由题意得两个三角形的周长比为5∶2,设两个三角形的周长分别为5k cm,2k cm,由题意得5k-2k=60,解得k=20,所以5k=5×20=100,2k=2×20=40,即这两个三角形的周长分别为100 cm,40 cm.
8.
解析　∵AB=,∴△ABC∽△DEF,∴.
C　∵△ABC∽△DEF,∴,∵AB=2,DE=3,
∴S△ABC∶S△DEF=4∶9.故选C.
10.B　由平移的性质可得,AD∥BE,AD=BE,∴△ADG∽△CEG,∵BC∶EC=3∶1,∴BE∶EC=2∶1,∴AD∶EC=2∶1,∴S△ADG∶S△CEG==4,∵S△ADG=16,∴S△CEG=4,故选B.
11.C　设较小的三角形的周长为x cm,则较大的三角形的周长为(100-x)cm,∵两个相似三角形的面积之比为4∶9,∴两个相似三角形的相似比为2∶3,∴两个相似三角形的周长比为2∶3,∴,解得x=40,∴较小的三角形的周长为40 cm.故选C.
12.D　∵D、E分别是AB和AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∴S△ADE=S△ABC,∴S四边形BCED=S△ABC,∵S四边形BCED=15,∴S△ABC=20.
故选D.
[变式1]　10
解析　∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵.∵△ADE的面积是8,∴S△ABC=18,∴S四边形BCED=S△ABC-S△ADE=18-8=10.
[变式2]　3
解析　∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∵四边形DBCE的面积是△ADE面积的3倍,∴S△ABC=S△ADE+3S△ADE=4S△ADE,∴,∴BC=2DE=3.
13.16
解析　如图,连接AF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵E、F为边BC的三等分点,∴BC=AD=3EF.∵AD∥EF,∴△AOD∽△EOF,∴=32=9,∴S△AOD=9S△OEF=9×1=9,S△AOF=3S△OEF=3×1=3,∴S△AEF=1+3=4,又∵BF=EF,∴S△ABF=4,∴S四边形ABFD=4+3+9=16.
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14.D　∵.又∵∠DAE=∠BAC(公共角),∴△ADE∽△ABC,
∴,
∠ADE=∠ABC,∴DE∥BC.由上可得,选项A、B、C错误,选项D正确.
故选D.
D　如图,取格点F、H,连接BF、AF、CH、DH,则BF=2,AF=4,CH=2,DH=1,∴AB=.∵FA∥CH,∴∠FAC=∠ACH.∵,∴△ABF∽△CDH,
∴∠BAF=∠HCD,∴∠BAF+∠CAF=∠DCH+∠HCA,
即∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴△ABE与△CDE的周长比==2.故选D.
B　如图,连接DE.∵D、E分别为AC、BC中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=AB=3 cm,DE∥AB,∴△DEF∽△BAF,
∴,
∴S△ABF=S△ABE=AB·BE=×8=8(cm2),
∴S△DEF=S△ABF=2(cm2),∵S△DEC=DE·CE=×3×4=6(cm2),DG∶GC=1∶2,∴S△DEG=S△DEC=2(cm2),∴S四边形DFEG=S△DEF+S△DEG=4(cm2).故选B.
17.9a
解析　∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴S△APD=S ABCD,∴S1+S2=S△APD.∵AE=2EP,DF=2FP,∴,又∵∠EPF=∠APD,∴△EPF∽△APD,∴,∴S△APD=9S△EPF=9S=9a,∴S1+S2=9a.
18.1∶3
解析　∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,∴EF=EH=HM,EM∥BC,∴△AEM∽△ABC,∴
,∴EM=5,∵△AEM∽△ABC,∴,
∴S四边形BCME=S△ABC-S△AEM=3S△AEM,
∴△AEM与四边形BCME的面积比为1∶3.
19.
解析　在矩形ABCD中,根据折叠的性质,可得AD=AF=15,DE=EF,
∠AFE=∠ADE=90°,∴BF==12,∵∠AFE=90°,
∴∠AFB+∠EFC=90°,∵∠AFB+∠FAB=90°,∴∠EFC=∠FAB,
∵∠ABF=∠FCE=90°,∴△FBA∽△ECF,∴.
设DE=EF=x,则EC=9-x,∴,解得x=5,∴,
∵△ECF∽△FBA,∴.
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C　∵
,故A不合题意;∵DE∥BC,点N在DE上,点M在BC上,∴DN∥BM,EN∥CM,∴△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC,∴,故B不合题意;设S△ADN=m,则S△ADE=4S△ADN=4m,∴S△ANE=S△ADE-S△ADN=4m-m=3m,∵△ADN∽△ABM,,∴S△ABM=S△ADN=m,
∴S四边形DBMN=S△ABM-S△ADN=m,
∴2S四边形DBMN=2×m,∴S△ANE>2S四边形DBMN,故C符合题意;∵△ANE∽△AMC,,∴S△AMC=S△ANE=m,
∴S四边形NMCE=S△AMC-S△ANE=
,故D不合题意,故选C.
21.
解析　∵四边形ABCD为正方形,∴AB∥CD,AC⊥BD,设正方形ABCD的边长为4x,∴AB=BC=CD=AD=4x,AC=BD=4x,∵P是边CD上靠近点D的四等分点,
∴DP=x,PC=3x,∵AB∥CD,∴△PMD∽△AMB,∴,
∴MB=4DM,又DM+MB=BD=4x,
∵AB∥CD,∴△ABN∽△CPN,∴CN,又AN+CN=AC=4x,
∵S△OMA=x2,S△ONB=
.
22.证明　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,AD∥BC,
∴∠CDE=∠DAB,∠CBF=∠DAB,
∴∠CDE=∠CBF.
∵CE⊥AE,CF⊥AF,∴∠CED=∠CFB=90°,
∴△CDE∽△CBF.
(2)∵△CDE∽△CBF,∴.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD,CD=AB,∴,
∴AD·DE=AB·BF.
(3)如图,
∵,∠CED=∠CFA=90°,
∴Rt△ACF∽Rt△CDE,
又∵△CBF∽△CDE,∴△ACF∽△CBF,
∴,
∵△ACF的边AF上的高与△CBF的边BF上的高相等,
∴.
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