28.1 锐角三角函数课时练（含解析）
文档属性
| 名称 | 28.1 锐角三角函数课时练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 441.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-02 21:47:35 | ||
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文档简介
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2024人教版数学九年级下学期
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
基础过关全练
知识点1 锐角三角函数的定义
1.(2023河南许昌魏都期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,下列结论中正确的是( )
A.sin A= B.tan B=
C.cos A= D.tan A=
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边长都扩大到原来的3倍,则cos A的值( )
A.放大到原来的3倍 B.缩小到原来的
C.不变 D.无法确定
3.(2023福建宁德福安一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么sin B,tan B的值分别是( )
A.
C.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下列式子正确的是( )
A.sin A= B.cos A=
C.tan A= D.cos B=
5.【构造直角三角形】(2021湖北宜昌中考)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为( )
A.
6.(2023福建泉州晋江期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=6,则AC=(M9228001)( )
A.10 B.8 C.5 D.4
7.【设参法】(2023上海黄浦期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,已知∠A的正弦值是,那么∠A的余弦值是 .
8.【教材变式·P65例2】在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5,求∠A的正弦值、余弦值和正切值.
知识点2 特殊角的三角函数值
9.(2023广东佛山三水开学测试)下列三角函数中,值为的是( )
A.cos 45° B.tan 30° C.sin 45° D.cos 60°
10.【新独家原创】下列式子的值,是无理数的是( )
A.sin 30°+cos 60° B.sin 60°·tan 30°
C.tan 45°-cos 45° D.
11.【新独家原创】已知α是锐角,tan(90°-α)-=0,则sin α+cos α= .
12.【教材变式·P69T3】求下列各式的值:
(1)tan 30°·sin 30°-3cos 60°;
(2)cos245°+2sin 30°-tan 60°;
(3)sin 60°·cos 60°-tan 30°·tan 60°+sin245°+cos245°;
(4)(2022内蒙古通辽中考)|sin 60°-.
知识点3 用计算器进行三角函数的计算
13.(2021山东烟台龙口期末)用计算器求sin 24°37'的值,以下按键顺序正确的是( )
A.sin24°'″37°'″=
B.sin°'″24°'″37=
C.2nd Fsin24°'″37°'″=
D.sin24°'″37=
14.【教材变式·P69T5】根据下列条件利用计算器求∠A的度数(结果用度、分、秒表示,且精确到1″).
(1)cos A=0.675 3;(2)tan A=87.54;
(3)sin A=0.455 3.
能力提升全练
15.(2023内蒙古包头期末,3,★☆☆)下列运算中,值为的是( )
A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°
C. D.(tan 60°)-1
16.【构造直角三角形】(2023湖北宜昌西陵模拟,6,★★☆)由小正方形组成的网格如图,A,B,C三点都在格点上,则∠ABC的正切值为( )
A.
C.
17.(2023四川眉山东坡期末,7,★★☆)若△ABC中,锐角A、B满足=0,则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
18.【中华优秀传统文化】(2022湖南湘潭中考,8,★★☆)中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形的面积与每个直角三角形的面积均为1,α为直角三角形中的一个锐角,则tan α=( )
A.2 B.
C.
19.(2022湖北荆州中考,9,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是( )
A. D.3
20.(2020四川宜宾中考,14,★☆☆)如图,A、B、C是☉O上的三点,若△OBC是等边三角形,则cos A= .
21.(2023四川内江中考,23,★★☆)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
22.【设参法】(2019浙江杭州中考,14,★★☆)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= .
素养探究全练
23.【推理能力】【等角转化法】问题呈现:
如图①,在边长为1的正方形组成的网格中,分别连接格点A,B和C,D,AB和CD相交于点P,求tan∠BPD的值.
方法归纳:
利用网格将线段CD平移到线段EB,连接AE,得到格点△ABE,且AE⊥EB,则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE.
问题解决:
(1)图①中tan∠BPD的值为 ;
(2)如图②,在边长为1的正方形组成的网格中,分别连接格点A,B和C,D,AB与CD交于点P,求cos∠BPD的值;
思维拓展:
(3)如图③,AB⊥CD,垂足为B,且AB=4BC,BD=2BC,点E在AB上,且AE=BC,连接AD交CE的延长线于点P,利用网格求sin∠CPD.
答案全解全析
基础过关全练
1.B 由锐角三角函数的定义可知,sin A=,tan B=,cos A=,tan A=.故选B.
2.C 在Rt△ABC中,∠C=90°,∵△ABC的三边长都扩大到原来的3倍,∴变化后的三角形与原三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可知∠A的大小没有发生变化,∴cos A的值不变.故选C.
3.C 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,∴AB=,则sin B=,tan B=.故选C.
4.A ∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠A+∠DCA=90°,∠DCA+∠BCD=90°,
∴∠A=∠BCD,∴sin A=sin∠BCD=,故选A.
5.B 设网格中小正方形的边长为1.如图,作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=BD=3,
∴AB=,∴cos∠ABC=.
故选B.
方法解读 构造直角三角形:锐角三角函数的求值中,可通过作高将非直角三角形转化为直角三角形,然后利用锐角三角函数的定义求值.
6.B 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=6,∴sin A==8.故选B.
7.
解析 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的正弦值是,即,设BC=2k(k>0),则AB=3k,由勾股定理得,AC=k,∴cos A=.
8.解析 ∵在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5,
∴AC=,
∴sin A=,cos A=,
tan A=.
9.D 选项A,cos 45°=,不合题意;选项B,tan 30°=,不合题意;选项C,sin 45°=,不合题意;选项D,cos 60°=,符合题意.故选D.
10.C 选项A,sin 30°+cos 60°==1,是有理数;
选项B,sin 60°·tan 30°=,是有理数;
选项C,tan 45°-cos 45°=1-,是无理数;
选项D,,是有理数.故选C.
11.
解析 ∵tan(90°-α)-,∴90°-α=60°,∴α=30°,∴sin α+cos α=sin 30°+cos 30°=.
12.解析 (1)原式=.
(2)原式=.
(3)原式=.
(4)原式=2-2=4.
13.A 先按“sin”键,再输入角的度数24°37',最后按“=”键即可得到结果.
14.解析 (1)按键顺序为2nd Fcos0·6753=°'″,
结果:47°31'21.18″,所以∠A≈47°31'21″.
(2)按键顺序为2nd Ftan87·54=°'″,
结果:89°20'43.87″,所以∠A≈89°20'44″.
(3)按键顺序为2nd Fsin0·4553=°'″,
结果:27°5'3.26″,所以∠A≈27°5'3″.
能力提升全练
15.B 选项A,sin 45°×cos 45°=;选项B,tan 45°-cos230°=1-;选项C,;选项D,(tan 60°)-1=(.故选B.
16.C 如图,作CD⊥AB于点D,设每个小正方形的边长均为1,则CD=,故tan∠ABC=.故选C.
17.D 由题意,得sin A-=0,cos B-=0,∴sin A=,cos B=,∴∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形.故选D.
18.A 由已知可得,大正方形的面积为1×4+1=5,设直角三角形的长直角边的长为a,短直角边的长为b,
则a2+b2=5,a-b=1,解得a=2,b=1或a=-1,b=-2(不合题意,舍去),
∴tan α==2,故选A.
19.C 如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q,∵OP∥AB,∴△OCP∽△BCA,∴CP∶AC=OC∶BC=1∶2,∵∠AOC=∠AQP=90°,∴CO∥PQ,∴OQ∶AO=CP∶AC=1∶2,
∵P(1,1),∴PQ=OQ=1,∴AO=2,∴tan∠OAP=.故选C.
20.
解析 ∵△OBC是等边三角形,∴∠O=60°.∵∠A是所对的圆周角,∠O是所对的圆心角,∴∠A=∠O=30°,∴cos A=cos 30°=.
21.
解析 ∵a2+|c-10|+=0,∴a-6=0,c-10=0,b-8=0,∴a=6,c=10,b=8,∵62+82=102,∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,∴sin B=.
22.
解析 由题可知∠C≠90°.若∠B=90°,设AB=x(x>0),则AC=2x,所以BC=x,所以cos C=.若∠A=90°,设AB=y(y>0),则AC=2y,所以BC=y,所以cos C=.综上所述,cos C的值为.
素养探究全练
23.解析 (1)tan∠BPD=tan∠ABE==2,故答案为2.
(2)如图,取格点E,连接CE,DE,
∵ED∥AB,∴∠BPD=∠CDE,
∵CE2=12+22=5,CD2=12+22=5,ED2=12+32=10,
∴CE=,CE2+CD2=ED2,
∴△DEC为直角三角形,
∴cos∠BPD=cos∠CDE=.
(3)如图,设网格中小正方形的边长为1,取格点H,连接AH,HD.
∵PC∥HD,∴∠CPD=∠ADH,
易得AH=DH=,∠AHD=90°,
∴sin∠CPD=sin∠ADH=.
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第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
基础过关全练
知识点1 锐角三角函数的定义
1.(2023河南许昌魏都期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,下列结论中正确的是( )
A.sin A= B.tan B=
C.cos A= D.tan A=
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边长都扩大到原来的3倍,则cos A的值( )
A.放大到原来的3倍 B.缩小到原来的
C.不变 D.无法确定
3.(2023福建宁德福安一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么sin B,tan B的值分别是( )
A.
C.
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下列式子正确的是( )
A.sin A= B.cos A=
C.tan A= D.cos B=
5.【构造直角三角形】(2021湖北宜昌中考)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为( )
A.
6.(2023福建泉州晋江期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=6,则AC=(M9228001)( )
A.10 B.8 C.5 D.4
7.【设参法】(2023上海黄浦期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,已知∠A的正弦值是,那么∠A的余弦值是 .
8.【教材变式·P65例2】在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5,求∠A的正弦值、余弦值和正切值.
知识点2 特殊角的三角函数值
9.(2023广东佛山三水开学测试)下列三角函数中,值为的是( )
A.cos 45° B.tan 30° C.sin 45° D.cos 60°
10.【新独家原创】下列式子的值,是无理数的是( )
A.sin 30°+cos 60° B.sin 60°·tan 30°
C.tan 45°-cos 45° D.
11.【新独家原创】已知α是锐角,tan(90°-α)-=0,则sin α+cos α= .
12.【教材变式·P69T3】求下列各式的值:
(1)tan 30°·sin 30°-3cos 60°;
(2)cos245°+2sin 30°-tan 60°;
(3)sin 60°·cos 60°-tan 30°·tan 60°+sin245°+cos245°;
(4)(2022内蒙古通辽中考)|sin 60°-.
知识点3 用计算器进行三角函数的计算
13.(2021山东烟台龙口期末)用计算器求sin 24°37'的值,以下按键顺序正确的是( )
A.sin24°'″37°'″=
B.sin°'″24°'″37=
C.2nd Fsin24°'″37°'″=
D.sin24°'″37=
14.【教材变式·P69T5】根据下列条件利用计算器求∠A的度数(结果用度、分、秒表示,且精确到1″).
(1)cos A=0.675 3;(2)tan A=87.54;
(3)sin A=0.455 3.
能力提升全练
15.(2023内蒙古包头期末,3,★☆☆)下列运算中,值为的是( )
A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°
C. D.(tan 60°)-1
16.【构造直角三角形】(2023湖北宜昌西陵模拟,6,★★☆)由小正方形组成的网格如图,A,B,C三点都在格点上,则∠ABC的正切值为( )
A.
C.
17.(2023四川眉山东坡期末,7,★★☆)若△ABC中,锐角A、B满足=0,则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
18.【中华优秀传统文化】(2022湖南湘潭中考,8,★★☆)中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形的面积与每个直角三角形的面积均为1,α为直角三角形中的一个锐角,则tan α=( )
A.2 B.
C.
19.(2022湖北荆州中考,9,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是( )
A. D.3
20.(2020四川宜宾中考,14,★☆☆)如图,A、B、C是☉O上的三点,若△OBC是等边三角形,则cos A= .
21.(2023四川内江中考,23,★★☆)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
22.【设参法】(2019浙江杭州中考,14,★★☆)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= .
素养探究全练
23.【推理能力】【等角转化法】问题呈现:
如图①,在边长为1的正方形组成的网格中,分别连接格点A,B和C,D,AB和CD相交于点P,求tan∠BPD的值.
方法归纳:
利用网格将线段CD平移到线段EB,连接AE,得到格点△ABE,且AE⊥EB,则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE.
问题解决:
(1)图①中tan∠BPD的值为 ;
(2)如图②,在边长为1的正方形组成的网格中,分别连接格点A,B和C,D,AB与CD交于点P,求cos∠BPD的值;
思维拓展:
(3)如图③,AB⊥CD,垂足为B,且AB=4BC,BD=2BC,点E在AB上,且AE=BC,连接AD交CE的延长线于点P,利用网格求sin∠CPD.
答案全解全析
基础过关全练
1.B 由锐角三角函数的定义可知,sin A=,tan B=,cos A=,tan A=.故选B.
2.C 在Rt△ABC中,∠C=90°,∵△ABC的三边长都扩大到原来的3倍,∴变化后的三角形与原三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可知∠A的大小没有发生变化,∴cos A的值不变.故选C.
3.C 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,∴AB=,则sin B=,tan B=.故选C.
4.A ∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠A+∠DCA=90°,∠DCA+∠BCD=90°,
∴∠A=∠BCD,∴sin A=sin∠BCD=,故选A.
5.B 设网格中小正方形的边长为1.如图,作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=BD=3,
∴AB=,∴cos∠ABC=.
故选B.
方法解读 构造直角三角形:锐角三角函数的求值中,可通过作高将非直角三角形转化为直角三角形,然后利用锐角三角函数的定义求值.
6.B 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=6,∴sin A==8.故选B.
7.
解析 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的正弦值是,即,设BC=2k(k>0),则AB=3k,由勾股定理得,AC=k,∴cos A=.
8.解析 ∵在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5,
∴AC=,
∴sin A=,cos A=,
tan A=.
9.D 选项A,cos 45°=,不合题意;选项B,tan 30°=,不合题意;选项C,sin 45°=,不合题意;选项D,cos 60°=,符合题意.故选D.
10.C 选项A,sin 30°+cos 60°==1,是有理数;
选项B,sin 60°·tan 30°=,是有理数;
选项C,tan 45°-cos 45°=1-,是无理数;
选项D,,是有理数.故选C.
11.
解析 ∵tan(90°-α)-,∴90°-α=60°,∴α=30°,∴sin α+cos α=sin 30°+cos 30°=.
12.解析 (1)原式=.
(2)原式=.
(3)原式=.
(4)原式=2-2=4.
13.A 先按“sin”键,再输入角的度数24°37',最后按“=”键即可得到结果.
14.解析 (1)按键顺序为2nd Fcos0·6753=°'″,
结果:47°31'21.18″,所以∠A≈47°31'21″.
(2)按键顺序为2nd Ftan87·54=°'″,
结果:89°20'43.87″,所以∠A≈89°20'44″.
(3)按键顺序为2nd Fsin0·4553=°'″,
结果:27°5'3.26″,所以∠A≈27°5'3″.
能力提升全练
15.B 选项A,sin 45°×cos 45°=;选项B,tan 45°-cos230°=1-;选项C,;选项D,(tan 60°)-1=(.故选B.
16.C 如图,作CD⊥AB于点D,设每个小正方形的边长均为1,则CD=,故tan∠ABC=.故选C.
17.D 由题意,得sin A-=0,cos B-=0,∴sin A=,cos B=,∴∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形.故选D.
18.A 由已知可得,大正方形的面积为1×4+1=5,设直角三角形的长直角边的长为a,短直角边的长为b,
则a2+b2=5,a-b=1,解得a=2,b=1或a=-1,b=-2(不合题意,舍去),
∴tan α==2,故选A.
19.C 如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q,∵OP∥AB,∴△OCP∽△BCA,∴CP∶AC=OC∶BC=1∶2,∵∠AOC=∠AQP=90°,∴CO∥PQ,∴OQ∶AO=CP∶AC=1∶2,
∵P(1,1),∴PQ=OQ=1,∴AO=2,∴tan∠OAP=.故选C.
20.
解析 ∵△OBC是等边三角形,∴∠O=60°.∵∠A是所对的圆周角,∠O是所对的圆心角,∴∠A=∠O=30°,∴cos A=cos 30°=.
21.
解析 ∵a2+|c-10|+=0,∴a-6=0,c-10=0,b-8=0,∴a=6,c=10,b=8,∵62+82=102,∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,∴sin B=.
22.
解析 由题可知∠C≠90°.若∠B=90°,设AB=x(x>0),则AC=2x,所以BC=x,所以cos C=.若∠A=90°,设AB=y(y>0),则AC=2y,所以BC=y,所以cos C=.综上所述,cos C的值为.
素养探究全练
23.解析 (1)tan∠BPD=tan∠ABE==2,故答案为2.
(2)如图,取格点E,连接CE,DE,
∵ED∥AB,∴∠BPD=∠CDE,
∵CE2=12+22=5,CD2=12+22=5,ED2=12+32=10,
∴CE=,CE2+CD2=ED2,
∴△DEC为直角三角形,
∴cos∠BPD=cos∠CDE=.
(3)如图,设网格中小正方形的边长为1,取格点H,连接AH,HD.
∵PC∥HD,∴∠CPD=∠ADH,
易得AH=DH=,∠AHD=90°,
∴sin∠CPD=sin∠ADH=.
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