第二十七章 相似素养综合检测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第二十七章 相似素养综合检测试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 627.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-03 09:16:05 | ||
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文档简介
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2024人教版数学九年级下学期
第二十七章 素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023湖南邵阳模拟)四条线段a,b,c,d成比例,其中a=2 cm,b=3 cm,d=6 cm,则线段c的长为( )
A.1 cm B.4 cm C.9 cm D.12 cm
2.(2023河南洛阳汝阳一模)下列是关于两个图形相似的叙述,不正确的选项是( )
A.位置可以不同 B.大小可以不同
C.形状可以不同 D.周长可以不同
3.【新独家原创】通过以下物品看到的物体与原物体不相似的是( )
A.近视镜 B.老花镜
C.望远镜 D.哈哈镜
4.(2022广东佛山南海一模)如图,点P是△ABC的AC边上一点,连接BP,添加下列条件,不能判定△ABC∽△APB的是( )
A.∠C=∠ABP B.∠ABC=∠APB
C.
5.(2023黑龙江哈尔滨松北三模)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,下列结论错误的是( )
A.
C.
6.【新考法】(2023河北廊坊广阳二模)如图,△ABC与△DEC都是等边三角形,固定△ABC,将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周,在△DEC旋转的过程中,下列说法正确的是( )
A.△DEC总与△ABC位似
B.△DEC与△ABC不会位似
C.当点D落在CB上时,△DEC与△ABC位似
D.存在△DEC的两个位置使得△DEC与△ABC位似
7.【新独家原创】如图,AB⊥AE,AC⊥AD,则x,y之间的关系为( )
A.y=x
C.y=x D.y=x
8.(2023安徽合肥蜀山模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,E、F分别是AC、BC边上的点,且=n,下列说法:①△ADC∽△CDB;②CE·DF=DE·BF;③当n=2时,EF=CD;④∠EDF=90°,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.【跨学科·音乐】(2022浙江丽水中考改编)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长为 .
10.(2023广东深圳宝安三模)图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图,图②是它的侧面示意图,AD和CB相交于点O,点A、B之间的距离为1.2米,AB∥CD,根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米.
11.(2023四川乐山中考)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,连接AC、DE交于点F.若,则= .
12.(2022广西百色靖西模拟)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形,且相似比为,两个正方形在原点O同侧,点A、B、E在x轴上,其余顶点在第一象限,若正方形ABCD的边长为2,则点F的坐标为 .
13.(2023山东泰安中考)如图,在△ABC中,AC=BC=16,点D在AB上,点E在BC上,点B关于直线DE的对称点为点B',连接DB',EB',分别与AC相交于F点,G点,若AF=8,DF=7,B'F=4,则CG的长度为 .
14.【分类讨论思想】(2021河南周口扶沟模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=6,点P从点B出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时点Q从点C出发以每秒2个单位的速度向点B运动(当点Q运动到点B时,点P同时停止运动).当以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2023陕西西安碑林模拟)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点均在网格格点上,且点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,-1).
(1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1(点A、B的对应点分别为A1、B1),使△OA1B1与△OAB的相似比为2∶1;
(2)在(1)的条件下,计算△OA1B1的面积为 .
16.【新考向·续写过程】(10分)(2023河北石家庄裕华模拟)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E……
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;
(2)如图③,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,求BD的长.
17.(10分)(2023浙江杭州西湖二模)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且BD=AD,CE=AE.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若S△DEF=2,求四边形DBCE的面积.
18.(10分)(2023陕西榆林靖边模拟)铜川1958雕塑展现了铜川1958年因煤设市、因煤而兴的一个时代的记忆.某数学兴趣小组的同学计划测量雕塑上方人物铜像的高度.如图,小组同学在D处竖立一根可伸缩的标杆,甲站在G处恰好看到标杆顶端E和人物铜像底端B在一条直线上,DG=3米,CD=33米;甲站在G处不动,小组同学调整标杆的高度,当标杆的顶端恰好在F处时,甲看到标杆顶端F和人物铜像顶端A在一条直线上,EF=1米,AC⊥CG,FD⊥CG,HG⊥CG,点B在AC上,点E在DF上,点C、D、G在一条水平线上,请根据以上测量数据求出人物铜像的高度AB.
19.(14分)(2022山东德州德城模拟)
【基础巩固】
(1)如图①,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠B,求证:AC2=AD·AB.
【尝试应用】
如图②,在 ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE=∠A.若BF=5,BE=3,求AD的长.
【拓展提高】
(3)如图③,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC=2EF,∠BAD=2∠EDF,AE=1,DF=4,求菱形ABCD的边长(直接写出答案).
答案全解全析
1.B ∵a,b,c,d是成比例线段,∴a∶b=c∶d,而a=2 cm,b=3 cm,d=6 cm,∴c==4(cm).故选B.
2.C 我们把形状相同的图形称为相似图形.观察选项,只有选项C符合题意.故选C.
3.D 近视镜、老花镜和望远镜都没有改变物体的形状,看到的物体与原物体相似,而哈哈镜改变了物体的形状,从哈哈镜中看到的物体与原物体不相似.故选D.
4.D A项,∵∠A=∠A,∠C=∠ABP,∴△ABC∽△APB,故A不合题意;
B项,∵∠A=∠A,∠ABC=∠APB,∴△ABC∽△APB,故B不合题意;
C项,∵∠A=∠A,,∴△ABC∽△APB,故C不合题意;
D项,根据和∠A=∠A不能判定△ABC∽△APB,故D符合题意.
故选D.
5.B ∵DE∥BC,AD=2,BD=3,∴△ADE∽△ABC,,故A中结论正确;,故D中结论正确;∵△ADE∽△ABC,∴,故B中结论错误;,故C中结论正确.故选B.
6.D ∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴△ABC总与△DEC相似.∵在△DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC或线段AC的延长线上时,直线AD和BE相交于点C,∴在△DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC或线段AC的延长线上时,△DEC与△ABC位似.故选D.
7.A ∵AB⊥AE,AC⊥AD,∴∠BAE=∠CAD=90°,∴∠BAC=∠DAE.∵AB=9,AC=AD=6,AE=4,∴,∴△BAC∽△DAE,∴,即x.故选A.
8.C ∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,又∠A+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B,∴△ADC∽△CDB,故①正确;∵△ADC∽△CDB,∴,又∵∠ACD=∠B,∴△CDE∽△BDF,∴,∠BDF=∠CDE,∴CE·DF=DE·BF,故②正确;∵∠BDF+∠CDF=∠BDC=90°,∴∠CDE+∠CDF=90°=∠EDF,故④正确;当n=2时,=2,∴AC=2CE,BC=2BF,∴点E是AC的中点,点F是BC的中点,∴EF=AB,又仅当AC=BC时,有CD=AB,故③错误.故选C.
9.
解析 如图,过点A作横线的垂线,交点B所在的横线于点D,交点C所在的横线于点E,由题意知,即=2,解得BC=.
10.0.96
解析 ∵AB∥CD,∴△CDO∽△BAO,∴,∵AB=1.2米,∴,解得CD=0.96米.
11.
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵,∴设AE=2a,则BE=3a,∴AB=CD=5a,
∵AB∥CD,∴△AEF∽△CDF,∴,
∴.
12.(9,6)
解析 ∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形,且相似比为,解得OB=3,∴EO=9,∴点F坐标为(9,6).
13.
解析 ∵△BDE与△B'DE关于直线DE对称,
∴∠B=∠B'.∵AC=BC,∴∠A=∠B,∴∠A=∠B',又∵∠AFD=∠B'FG,∴△ADF∽△B'GF,∴.
14. s或 s
解析 设运动时间为t秒,则BP=t,CQ=2t,BQ=BC-CQ=6-2t,当△BAC∽△BPQ时,,即,解得t=;当△BCA∽△BPQ时,,即,解得t=.综上所述,当以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间为 s或 s.
15.解析 (1)如图,△OA1B1为所作.
(2)10.
详解:△OA1B1的面积=6×4-×2×6=10.
16.解析 (1)∵CE∥DA,
∴,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ACE=∠E,∴AE=AC,
∴.
(2)∵AD是角平分线,∴,
∵AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,∴,
解得BD= cm.
17.解析 (1)证明:∵BD=AD=AC,
∴,又∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,
∴,∠ADE=∠ABC,
∴DE∥BC,∴△DEF∽△CBF,
∴,
∴BF=2EF,CF=2DF,.
∵S△DEF=2,∴S△DBF=2S△DEF=2×2=4,S△CEF=2S△DEF=2×2=4,S△CBF=4S△DEF=4×2=8,∴S四边形DBCE=S△DEF+S△DBF+S△CEF+S△CBF=2+4+4+8=18,
∴四边形DBCE的面积是18.
18.解析 过点H作HM⊥DF,垂足为M,并延长HM交AC于点N,
由题意,得NC=MD=HG,HM=DG=3米,NM=CD=33米,∴HN=HM+NM=36(米).
∵∠BNH=∠EMH=90°,∠BHN=∠EHM,
∴△BNH∽△EMH,∴,
∴EM·NH=BN·MH.
∵∠ANH=∠FMH=90°,∠AHN=∠FHM,
∴△ANH∽△FMH,
∴,
∴MH(AB+BN)=NH(EF+EM),
∴MH·AB+MH·BN=NH·EF+NH·EM,
∴MH·AB=NH·EF,∴3AB=36×1,∴AB=12米,
∴人物铜像的高度AB为12米.
19.解析 (1)证明:∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACB,∴,∴AC2=AD·AB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C.
又∵∠BFE=∠A,∴∠BFE=∠C.
又∵∠FBE=∠CBF,∴△BEF∽△BFC,
∴,∴BF2=BE·BC,
∴BC=.
(3)菱形ABCD的边长为4-1.
详解:如图,延长EF、DC交于G,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,∠BAD=2∠ACD.
∵EF∥AC,
∴四边形AEGC是平行四边形,∠ACD=∠G,
∴EG=AC=2EF,CG=AE=1,
∵∠BAD=2∠EDF,∴∠EDF=∠G.
∵∠DEF=∠GED,∴△EDF∽△EGD,
∴DE2=EF·EG.
∴DE2=2EF2,∴DE=EF,
∵△EDF∽△EGD,∴,
∴DG=,
∴DC=DG-CG=4-1,
∴菱形ABCD的边长为4-1.
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2024人教版数学九年级下学期
第二十七章 素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023湖南邵阳模拟)四条线段a,b,c,d成比例,其中a=2 cm,b=3 cm,d=6 cm,则线段c的长为( )
A.1 cm B.4 cm C.9 cm D.12 cm
2.(2023河南洛阳汝阳一模)下列是关于两个图形相似的叙述,不正确的选项是( )
A.位置可以不同 B.大小可以不同
C.形状可以不同 D.周长可以不同
3.【新独家原创】通过以下物品看到的物体与原物体不相似的是( )
A.近视镜 B.老花镜
C.望远镜 D.哈哈镜
4.(2022广东佛山南海一模)如图,点P是△ABC的AC边上一点,连接BP,添加下列条件,不能判定△ABC∽△APB的是( )
A.∠C=∠ABP B.∠ABC=∠APB
C.
5.(2023黑龙江哈尔滨松北三模)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,下列结论错误的是( )
A.
C.
6.【新考法】(2023河北廊坊广阳二模)如图,△ABC与△DEC都是等边三角形,固定△ABC,将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周,在△DEC旋转的过程中,下列说法正确的是( )
A.△DEC总与△ABC位似
B.△DEC与△ABC不会位似
C.当点D落在CB上时,△DEC与△ABC位似
D.存在△DEC的两个位置使得△DEC与△ABC位似
7.【新独家原创】如图,AB⊥AE,AC⊥AD,则x,y之间的关系为( )
A.y=x
C.y=x D.y=x
8.(2023安徽合肥蜀山模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,E、F分别是AC、BC边上的点,且=n,下列说法:①△ADC∽△CDB;②CE·DF=DE·BF;③当n=2时,EF=CD;④∠EDF=90°,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.【跨学科·音乐】(2022浙江丽水中考改编)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长为 .
10.(2023广东深圳宝安三模)图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图,图②是它的侧面示意图,AD和CB相交于点O,点A、B之间的距离为1.2米,AB∥CD,根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米.
11.(2023四川乐山中考)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,连接AC、DE交于点F.若,则= .
12.(2022广西百色靖西模拟)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形,且相似比为,两个正方形在原点O同侧,点A、B、E在x轴上,其余顶点在第一象限,若正方形ABCD的边长为2,则点F的坐标为 .
13.(2023山东泰安中考)如图,在△ABC中,AC=BC=16,点D在AB上,点E在BC上,点B关于直线DE的对称点为点B',连接DB',EB',分别与AC相交于F点,G点,若AF=8,DF=7,B'F=4,则CG的长度为 .
14.【分类讨论思想】(2021河南周口扶沟模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=6,点P从点B出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时点Q从点C出发以每秒2个单位的速度向点B运动(当点Q运动到点B时,点P同时停止运动).当以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2023陕西西安碑林模拟)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点均在网格格点上,且点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,-1).
(1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1(点A、B的对应点分别为A1、B1),使△OA1B1与△OAB的相似比为2∶1;
(2)在(1)的条件下,计算△OA1B1的面积为 .
16.【新考向·续写过程】(10分)(2023河北石家庄裕华模拟)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E……
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分;
(2)如图③,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,求BD的长.
17.(10分)(2023浙江杭州西湖二模)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且BD=AD,CE=AE.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若S△DEF=2,求四边形DBCE的面积.
18.(10分)(2023陕西榆林靖边模拟)铜川1958雕塑展现了铜川1958年因煤设市、因煤而兴的一个时代的记忆.某数学兴趣小组的同学计划测量雕塑上方人物铜像的高度.如图,小组同学在D处竖立一根可伸缩的标杆,甲站在G处恰好看到标杆顶端E和人物铜像底端B在一条直线上,DG=3米,CD=33米;甲站在G处不动,小组同学调整标杆的高度,当标杆的顶端恰好在F处时,甲看到标杆顶端F和人物铜像顶端A在一条直线上,EF=1米,AC⊥CG,FD⊥CG,HG⊥CG,点B在AC上,点E在DF上,点C、D、G在一条水平线上,请根据以上测量数据求出人物铜像的高度AB.
19.(14分)(2022山东德州德城模拟)
【基础巩固】
(1)如图①,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠B,求证:AC2=AD·AB.
【尝试应用】
如图②,在 ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE=∠A.若BF=5,BE=3,求AD的长.
【拓展提高】
(3)如图③,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC=2EF,∠BAD=2∠EDF,AE=1,DF=4,求菱形ABCD的边长(直接写出答案).
答案全解全析
1.B ∵a,b,c,d是成比例线段,∴a∶b=c∶d,而a=2 cm,b=3 cm,d=6 cm,∴c==4(cm).故选B.
2.C 我们把形状相同的图形称为相似图形.观察选项,只有选项C符合题意.故选C.
3.D 近视镜、老花镜和望远镜都没有改变物体的形状,看到的物体与原物体相似,而哈哈镜改变了物体的形状,从哈哈镜中看到的物体与原物体不相似.故选D.
4.D A项,∵∠A=∠A,∠C=∠ABP,∴△ABC∽△APB,故A不合题意;
B项,∵∠A=∠A,∠ABC=∠APB,∴△ABC∽△APB,故B不合题意;
C项,∵∠A=∠A,,∴△ABC∽△APB,故C不合题意;
D项,根据和∠A=∠A不能判定△ABC∽△APB,故D符合题意.
故选D.
5.B ∵DE∥BC,AD=2,BD=3,∴△ADE∽△ABC,,故A中结论正确;,故D中结论正确;∵△ADE∽△ABC,∴,故B中结论错误;,故C中结论正确.故选B.
6.D ∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴△ABC总与△DEC相似.∵在△DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC或线段AC的延长线上时,直线AD和BE相交于点C,∴在△DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC或线段AC的延长线上时,△DEC与△ABC位似.故选D.
7.A ∵AB⊥AE,AC⊥AD,∴∠BAE=∠CAD=90°,∴∠BAC=∠DAE.∵AB=9,AC=AD=6,AE=4,∴,∴△BAC∽△DAE,∴,即x.故选A.
8.C ∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,又∠A+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B,∴△ADC∽△CDB,故①正确;∵△ADC∽△CDB,∴,又∵∠ACD=∠B,∴△CDE∽△BDF,∴,∠BDF=∠CDE,∴CE·DF=DE·BF,故②正确;∵∠BDF+∠CDF=∠BDC=90°,∴∠CDE+∠CDF=90°=∠EDF,故④正确;当n=2时,=2,∴AC=2CE,BC=2BF,∴点E是AC的中点,点F是BC的中点,∴EF=AB,又仅当AC=BC时,有CD=AB,故③错误.故选C.
9.
解析 如图,过点A作横线的垂线,交点B所在的横线于点D,交点C所在的横线于点E,由题意知,即=2,解得BC=.
10.0.96
解析 ∵AB∥CD,∴△CDO∽△BAO,∴,∵AB=1.2米,∴,解得CD=0.96米.
11.
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵,∴设AE=2a,则BE=3a,∴AB=CD=5a,
∵AB∥CD,∴△AEF∽△CDF,∴,
∴.
12.(9,6)
解析 ∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形,且相似比为,解得OB=3,∴EO=9,∴点F坐标为(9,6).
13.
解析 ∵△BDE与△B'DE关于直线DE对称,
∴∠B=∠B'.∵AC=BC,∴∠A=∠B,∴∠A=∠B',又∵∠AFD=∠B'FG,∴△ADF∽△B'GF,∴.
14. s或 s
解析 设运动时间为t秒,则BP=t,CQ=2t,BQ=BC-CQ=6-2t,当△BAC∽△BPQ时,,即,解得t=;当△BCA∽△BPQ时,,即,解得t=.综上所述,当以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间为 s或 s.
15.解析 (1)如图,△OA1B1为所作.
(2)10.
详解:△OA1B1的面积=6×4-×2×6=10.
16.解析 (1)∵CE∥DA,
∴,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ACE=∠E,∴AE=AC,
∴.
(2)∵AD是角平分线,∴,
∵AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,∴,
解得BD= cm.
17.解析 (1)证明:∵BD=AD=AC,
∴,又∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,
∴,∠ADE=∠ABC,
∴DE∥BC,∴△DEF∽△CBF,
∴,
∴BF=2EF,CF=2DF,.
∵S△DEF=2,∴S△DBF=2S△DEF=2×2=4,S△CEF=2S△DEF=2×2=4,S△CBF=4S△DEF=4×2=8,∴S四边形DBCE=S△DEF+S△DBF+S△CEF+S△CBF=2+4+4+8=18,
∴四边形DBCE的面积是18.
18.解析 过点H作HM⊥DF,垂足为M,并延长HM交AC于点N,
由题意,得NC=MD=HG,HM=DG=3米,NM=CD=33米,∴HN=HM+NM=36(米).
∵∠BNH=∠EMH=90°,∠BHN=∠EHM,
∴△BNH∽△EMH,∴,
∴EM·NH=BN·MH.
∵∠ANH=∠FMH=90°,∠AHN=∠FHM,
∴△ANH∽△FMH,
∴,
∴MH(AB+BN)=NH(EF+EM),
∴MH·AB+MH·BN=NH·EF+NH·EM,
∴MH·AB=NH·EF,∴3AB=36×1,∴AB=12米,
∴人物铜像的高度AB为12米.
19.解析 (1)证明:∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACB,∴,∴AC2=AD·AB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C.
又∵∠BFE=∠A,∴∠BFE=∠C.
又∵∠FBE=∠CBF,∴△BEF∽△BFC,
∴,∴BF2=BE·BC,
∴BC=.
(3)菱形ABCD的边长为4-1.
详解:如图,延长EF、DC交于G,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,∠BAD=2∠ACD.
∵EF∥AC,
∴四边形AEGC是平行四边形,∠ACD=∠G,
∴EG=AC=2EF,CG=AE=1,
∵∠BAD=2∠EDF,∴∠EDF=∠G.
∵∠DEF=∠GED,∴△EDF∽△EGD,
∴DE2=EF·EG.
∴DE2=2EF2,∴DE=EF,
∵△EDF∽△EGD,∴,
∴DG=,
∴DC=DG-CG=4-1,
∴菱形ABCD的边长为4-1.
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