28.2.1 解直角三角形课时练（含解析）

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2024人教版数学九年级下学期
第二十八章　锐角三角函数
28.2　解直角三角形及其应用
28.2.1　解直角三角形
基础过关全练
知识点1　解直角三角形
1.(2022黑龙江大庆让胡路期末)在Rt△ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是(　　)
A.已知BC=6,∠C=90°
B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5
C.已知∠C=90°,∠A=∠B
D.已知∠C=∠B=45°
2.(2023上海嘉定期末)已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,那么AB的长为(　　)
A.5sin A　　　　B.5cos A　　　　C.
3.【一题多变·涉及直角三角形斜边上中线的问题】(2023广东汕头澄海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,sin B=,若D为AB的中点,则CD的长为　　　　.
[变式·变结论为条件]如上图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB的中点,若CD=10,cos B=,则AC的长为　　　　.
4.【设参法】(2021广东深圳光明模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC边上一点,且AD=BD=5,tan∠CBD=,则线段AB的长度是　　　　.
5.【教材变式·P77习题T1】在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形.
(1)c=10,∠B=30°;
(2)b=9,c=6;
(3)a=6,∠B=30°.
知识点2　解直角三角形在几何图形中的应用
6.【一题多变·“背靠背”型】(2022云南红河州二模)如图,在△ABC中,cos B=,tan C=,AB=5,则AC的长为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.
[变式·改为求面积]如图,△ABC中,cos B=,sin C=,AB=5,则△ABC的面积是　　　　.
7.(2023山西太原二模)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=8,BC=4,点D为边AC上一点,点F在BC的延长线上,BC=2CF.若四边形DCFE是平行四边形,连接BD,AE,BE,则图中阴影部分的面积为(　　)
A.24　　　　B.12　　　　C.8　　　　D.6
8.【新独家原创】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,sin∠ABC=.将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',使点C'落在边AB上,连接BB',则tan∠BB'C'的值为　　　　,四边形ACBB'的周长为　　　　.
9.(2023江苏常州二模)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=4,则AD的长是　　　　.
10.【方程思想】(2022四川凉山州中考)如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为　　　　.
能力提升全练
11.(2022陕西中考,5,★☆☆)如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为(　　)
A.3
12.(2021浙江丽水中考,7,★★☆)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥OA于点E,连接OC,OD.若☉O的半径为m,∠AOD=α,则下列结论成立的是(　　)
A.OE=m·tan α　　　　B.CD=2m·sin α
C.AE=m·cos α　　　　D.S△COD=m2·sin α
13.(2023陕西渭南临渭一模,6,★★☆)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sin A=,则DE的长为(　　)
A.4　　　　B.
(2022四川乐山中考,9,★★☆)
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,
点D是AC上一点,连接BD.若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为(　　)
A.2　　　　D.2
(2023安徽合肥肥东模拟,10,★★☆)如图,在四边形ABCD中,
∠B=60°,∠C=90°,E为边BC上的点,△ADE为等边三角形,
BE=8,CE=2,则tan∠AEB的值为(　　)
A.
16.【新考法】(2023湖北武汉中考,13,★☆☆)将45°的∠AOB按如图所示的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是　　　　cm(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).
17.【方程思想】(2023黑龙江哈尔滨香坊期末,20,★★☆)如图,在矩形ABCD中,点E在AD边上,点F在BC边上,且BF=DE,连接EF交对角线BD于点O.已知BD=10,tan∠CBD=,连接CE,若CE=CF,则EF的长为　　　　.
18.【等角转化法】(2020四川南充中考,16,★★☆)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,将△ABC绕点C旋转得到△EDC,点E在☉O上,已知AE=2,tan D=3,则AB=　　　　.
(2023浙江杭州西湖二模,19,★★☆)
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,DE为AC边上的中线.
(1)若∠EDA=3∠BAD,求∠C的度数;
(2)若tan∠EDA=4,AB=5,求点A到BC的距离.
素养探究全练
【推理能力】【胡不归模型】如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,
sin A=,BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+PB的最小值为　　　　.
【推理能力】【新考向·尺规作图综合题】(2022福建中考)
如图,BD是矩形ABCD的对角线.
(1)求作☉A,使得☉A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,设BD与☉A相切于点E,CF⊥BD,垂足为F.若直线CF与☉A相切于点G,求tan∠ADB的值.
答案全解全析
基础过关全练
1.B　∵选项C、D缺少边的条件,选项A缺少锐角的条件或另一边的条件,∴不能解直角三角形;选项B中,由sin A和BC可求出AB,由∠B=90°-∠A可求出∠B,由勾股定理可求出AC.故选B.
2.D　∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,∴cos A=.故选D.
3.5
解析　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,sin B=,∴AB=10,∵D为AB的中点,∴CD=×10=5.
[变式]　12
解析　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB的中点,CD=10,∴AB=2CD=20.∵cos B==12.
4.4
解析　在Rt△BCD中,tan∠CBD=,设DC=3x(x>0),BC=4x,由勾股定理得BD=5x=5,∴x=1,∴DC=3,BC=4.在Rt△ACB中,AC=AD+DC=5+3=8,BC=4,∴AB=.
5.解析　(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,c=10,
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°,b=c=5,
∴a=.
(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,b=9,c=6,
∴a=,
∵sin A=,
∴∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
(3)∠A=90°-∠B=90°-30°=60°.
∵tan B=,∴b=a·tan B=6×.
∵cos B=.
6.D　如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,则∠ADB=∠ADC=90°,∵cos B==3.∵tan C=,在Rt△ACD中,AC=.故选D.
[变式]　14
解析　如图,作AH⊥BC于H.在Rt△ABH中,cos B=,AB=5,∴BH=AB·cos B=5×=4.在Rt△ACH中,∵sin C=,∴∠C=45°,∴CH=AH=4,∴BC=BH+CH=3+4=7,∴S△ABC=BC·AH=×7×4=14.
7.B　如图,过点A作AH⊥BC于点H,在Rt△ABH中,AH=AB·sin∠ABH=8×sin 60°=4,∵四边形DCFE是平行四边形,∴DE=CF=2,∴S阴影=S△ADE+S△DEB=DE·AH==12.故选B.
8.
解析　∵∠C=90°,AC=6,sin∠ABC==8.∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',∴AC'=AC=6,B'C'=BC=8,AB'=AB=10,∠AC'B'=∠C=90°,∴BC'=4,∴tan∠BB'C'=,∴四边形ACBB'的周长=6+8+10+4.
9.6
解析　如图,延长AB、DC相交于点E,在△ADE中,∵∠A=90°,∠D=60°,∴∠E=30°.在Rt△BEC中,∵∠BCE=90°,∠E=30°,BC=.在Rt△ADE中,∵∠A=90°,∠E=30°,AE=6,∴AD=AE·tan E=6=6.
10.
解析　如图,连接OD,∵AB是☉O的直径,且经过弦CD的中点H,∴AB⊥CD,∴∠OHD=∠BHD=90°.∵cos∠CDB=,BD=5,∴DH=4,∴BH=3.设OH=x,则OD=OB=x+3,在Rt△ODH中,由勾股定理,得x2+42=(x+3)2,解得x=.
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11.D　∵2CD=6,∴CD=3.∵tan C=2,∴=2,∴AD=6.在Rt△ABD中,由勾股定理得,AB=,故选D.
12.B　∵AB是☉O的直径,CD⊥OA,∴CD=2DE.∵☉O的半径为m,∠AOD=α,∴OE=OD·cos α=m·cos α,故选项A不成立;
DE=OD·sin α=m·sin α,∴CD=2DE=2m·sin α,故选项B成立;
AE=OA-OE=m-m·cos α,故选项C不成立;
S△COD=CD·OE=×2m·sin α·m·cos α=m2·sin αcos α,故选项D不成立.故选B.
13.C　在Rt△ABC中,∵sin A=,BC=6,∴AB=10.∵D是AB的中点,∴AD=AB=5.在Rt△ADE中,sin A=,设DE=3x(x>0),则AE=5x.∵AE2=DE2+AD2,∴(5x)2=(3x)2+52.解得x=.故选C.
14.C　如图,过D点作DE⊥AB于E,∵tan A=,tan∠ABD=,∴AE=2DE,BE=3DE,∴2DE+3DE=5DE=AB,即DE=AB,在Rt△ABC中,tan A=
.故选C.
15.C　如图,作EF⊥AB于点F,AH⊥BE于点H.∵∠B=60°,BE=8,
∴∠BEF=90°-∠B=30°,BF=BE=4.∵△ADE为等边三角形,
∴∠AED=60°,AE=DE.∵∠BAE+∠B+∠AEB=180°,∠DEC+∠AED+∠AEB=180°,∴∠BAE=∠DEC.
在△AEF与△EDC中,∴△AEF≌△EDC(AAS),
∴AF=EC=2,∴AB=AF+BF=2+4=6.
∵∠AHB=90°,∠BAH=90°-∠B=30°,∴BH=,∴HE=BE-BH=8-3=5,∴tan∠AEH=.故选C.
16.2.7
解析　如图,过点B作BD⊥OA于D,过点C作CE⊥OA于E,在△BOD中,∠BDO=90°,∠DOB=45°,∴CE=BD=OD=2 cm,在△OCE中,∠COE=37°,∠CEO=90°,∴tan 37°=≈0.75,∴OE≈2.7 cm,即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是2.7 cm.
17.
解析　如图,过点E作EH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是矩形,
∴∠EDC=∠DCH=∠EHC=90°,∴四边形EHCD是矩形,
∴ED=CH,CD=EH,∵BD=10,tan∠CBD=,∴CD=6,BC=8,
设BF=ED=CH=x,则有CF=CE=8-x,∵EC2=DE2+CD2,∴(8-x)2=x2+62,解得x=
.
18.
解析　如图,过C作CH⊥AE于点H,∵∠D=∠ABC=∠AEC,
∴tan D=tan∠AEC=CH∶EH=3,又∵CE=AC,AE=2,∴HE=AE=1,
∴CH=3.由勾股定理得AC=CE=,
又∵tan D=tan∠ABC=AC∶BC=3,
∴BC=,由勾股定理得AB=.
方法解读　等角转化法:在与锐角三角函数相关的题中,可通过“平行线等角转换”“等腰三角形等角转换”“全等三角形等角转换”“相似三角形等角转换”“平行四边形等角转换”“同弧所对圆周角等角转换”等,将已知或所求角的锐角三角函数转化为其等角的锐角三角函数.
19.解析　(1)∵AD⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠B+∠C=90°=∠B+∠BAD,∴∠BAD=∠C,
∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线,
∴AE=DE=CE,∴∠EAD=∠EDA.
∵∠EDA=3∠BAD,∴∠EAD=3∠BAD.
∵∠BAC=90°,∴3∠BAD+∠BAD=90°,
∴∠BAD=22.5°,
∴∠C=22.5°.
(2)由(1)可知∠EAD=∠EDA,
∴tan∠EDA=tan∠EAD==4,
设AD=x,则CD=4x,
∵∠BAC=∠ADC=90°,∠C=∠C,
∴△ACD∽△BCA,
∴,即,
∴AC=20,∴BC=,
∴AD=,
即点A到BC的距离为.
素养探究全练
20.
解析　如图,作PE⊥AB于点E,CF⊥AB于点F.∵BD⊥AC交AC于点D,AB=5,sin A=,∴BD=AB·sin A=5×=4,由勾股定理得AD=3,
∴sin∠ABD=.在Rt△BEP中,PE=PB·sin∠PBE=PB=PC+PE,∵当C、P、E在同一条直线上时,PC+PE的值最小,且为CF的长,∴PC+PB的最小值为CF的长.在Rt△ACF中,AC=4,CF=AC·sin A=4×,即PC+PB的最小值为.
模型解读　胡不归模型:如图,动点P在定直线上,求形如“PA+kPB”(021.解析　(1)根据题意作图如下:
(2)如图,连接AG,设∠ADB=α,☉A的半径为r,
∵BD与☉A相切于点E,直线CF与☉A相切于点G,
∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°.
∵CF⊥BD,∴∠EFG=90°,∴四边形AEFG是矩形.
又AE=AG=r,
∴四边形AEFG是正方形,∴EF=AE=r.
在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABE=90°,∠ADB+∠ABD=90°,∴∠BAE=∠ADB=α.
在Rt△ABE中,tan∠BAE=,∴BE=r·tan α.
∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
又∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF=r·tan α,
∴DE=DF+EF=r·tan α+r.
在Rt△ADE中,tan∠ADE=,
即DE·tan α=AE,
∴(r·tan α+r)·tan α=r,
即tan2α+tan α-1=0,
∵tan α>0,∴tan α=,
即tan∠ADB的值为.
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