江苏省淮安市高中校协作体2023-2024学年高三上学期期中联考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省淮安市高中校协作体2023-2024学年高三上学期期中联考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-01 17:26:32 | ||
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文档简介
淮安市高中校协作体２０２３～２０２４学年度第一学期高三年级期中联考
数学试卷
考试时间： 120分钟 总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
１．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果ｘ，ｙ是实数，那么“x=y”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知，若，且，则的最小值为（ ）
A．９ B． C．３ D．1
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之
割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并
使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接
正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算
得圆周率的近似值可表示成（ ）
A． B． C． D．．
7．已知数列是正项等比数列，数列满足.若，
则（ ）
A．24 B．２７ C．36 D．40
8．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知函数（其中）的部分图象如图所
示，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C． D．是的一个零点
10．已知＞１，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比
数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ）
A．等比数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为２
12．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象关于原点对称
C．函数在上是增函数 D．函数的值域为
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个
空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位
置上）
13．“”为真命题，则实数的最大值为 .
14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，
则ＢＣ边上的中线AD的长为 .
15．已知函数的定义域是，则函数的单调增区
间为 .
16．已知函数，则不等式的解集为 ，
若实数，，满足且，则的取值范围
是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角； (2)若，，求.
18．（本题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时n的值．
19．（本题满分12分）
已知不等式.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，不等式 总成立，求的取值范围.
20. （本题满分12分）
设数列的前项和为，已知，__________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都
选，则按所写的第1个评分）：
数列是以为公差的等差数列； ②
21．（本题满分12分）
设函数.
(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴；
(2)在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求
的取值范围.
22．（本题满分12分）
已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）若，过点可作曲线的3条切线，求证：.
淮安市高中校协作体２０２３～２０２４学年度第一学期高三年级期中联考
数学试卷参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
１．已知集合，则（ Ｃ ）
A． B． C． D．
2．如果ｘ，ｙ是实数，那么“x=y”是“”的（ Ａ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数（是的导函数），则（ Ｃ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知，若，且，则的最小值为（ Ｂ ）
A．９ B． C．３ D．1
5．已知，则（ Ｄ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之
割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并
使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接
正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算
得圆周率的近似值可表示成（ Ｄ ）
A． B． C． D．．
7．已知数列是正项等比数列，数列满足.若，
则（ Ｂ ）
A．24 B．２７ C．36 D．40
8．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式
的解集为（ Ａ ）
A． B． C． D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．全部选对得5分，
部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知函数（其中）的部分图象如图所
示，则（ ＡＢＣ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C． D．是的一个零点
10．已知＞１，则下列不等式恒成立的是（ ＡＢＤ ）
A． B．
C． D．
11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比
数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ＢＣ ）
A．等比数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为２
12．已知函数，则下列说法中正确的是（ ＡＣＤ ）
A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象关于原点对称
C．函数在上是增函数 D．函数的值域为
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个
空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位
置上）
13．“”为真命题，则实数的最大值为 －１ .
14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，
则ＢＣ边上的中线AD的长为 .
15．已知函数的定义域是，则函数的单调增区
间为 （１，５）或［１，５） .
16．已知函数，则不等式的解集为 ，
若实数，，满足且，则的取值范围
是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角； (2)若，，求.
解：（1）在中，由正弦定理及条件得：
２ｓｉｎＣｃｏｓＣ＝ｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡｃｏｓＢ
即２ｓｉｎＣｃｏｓＣ＝ｓｉｎ（Ｂ＋Ａ）＝ｓｉｎＣ．．．．．．．．．２分
∵为的内角，
∴ｓｉｎＣ＞０
∴，， ．．．．．．．．．４分
又
∴；．．．．．．．．．５分
（2）由（1）知：，
∵，且，
∴，．．．．．．．．．７分
由正弦定理得，且，
∴， ．．．．．．．．．９分
∴.．．．．．．．．．１０分
18．（本题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时n的值．
解：（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，，．．．．．．．．．２分
解得，， ．．．．．．．．．４分
所以．．．．．．．．．．６分
（2）方法一：由知是递增数列，
当时，；当时， ．．．．．．．．．．８分
所以， ．．．．．．．．．１０分
所以当时，最小，．．．．．．．．．１１分
最小值为．．．．．．．．．．１２分
方法二：，．．．．．．．．．８分
又函数的对称轴为ｘ＝，且开口向上．．．．．．．．．１０分
但，所以当时，最小，．．．．．．．．．１１分
最小值为-26. ．．．．．．．．．１２分
19．（本题满分12分）
已知不等式.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，不等式 总成立，求的取值范围.
解：（1）由已知可得： ．．．．．．．．．３分
，
因此，原不等式的解集为Ａ＝； ．．．．．．．．．５分
（2）令，则原问题等价，．．．．．．．．．６分
且，．．．．．．．．．８分
令，
可得ｙ＝， ．．．．．．．．．１０分
当时，即当时，函数取得最小值，即，．．．．．１１分
. ．．．．．．．．．１２分
20. （本题满分12分）
设数列的前项和为，已知，__________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都
选，则按所写的第1个评分）：
数列是以为公差的等差数列； ②
解：（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为
故，故；．．．．．．．．２分
当时，，．．．．．．．．４分
当时，，满足.
故的通项公式为；．．．．．．．．６分
（注：没有验证ｎ＝１的情况，扣１分）
若选择②
即，
整理得：
故， ．．．．．．．．２分
即数列是首项为，公差为的等差数列，
故，故；．．．．．．．．４分
当时，
当时，，满足.
故的通项公式为；．．．．．．．．６分
（注：没有验证ｎ＝１的情况，扣１分）
（2）根据（1）中所求可得：，
则．．．．．．．．８分
故
．．．．．．．．１０分
又，
故可得.．．．．．．．．１２分
21．（本题满分12分）
设函数.
(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴；
(2)在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求
的取值范围.
解：(1)因为，．．．．．．．．２分
所以函数的最小正周期，．．．．．．．．３分
令（），解得（），
所以对称轴方程是直线（）；．．．．．．．５分
(2)因为，所以，
又因为为锐角三角形，所以，，
所以，所以， ．．．．．．．．７分
因为能盖住的最小圆为的外接圆，设半径为，
所以，得，
因为由正弦定理有
所以，，
， ．．．．．．．．９分
因为为锐角三角形，所以，
所以，则，．．．．．．．．１１分
所以，
所以的取值范围是. ．．．．．．．．１２分
22．（本题满分12分）
已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）若，过点可作曲线的3条切线，求证：.
解：（1）由题意得.
当时，.
若，则对任意，恒成立，
在上单调递增； ．．．．．．．．１分
若，则对任意，恒成立，
在上单调递减； ．．．．．．．２分
③若，则，
当时，当时，，
在上单调递减，在上单调递增. ．．．．．．．．４分
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增. ．．．．．．．．５分
（2）设切点为，则，
∴切线方程为.
将代入上式，整理得. ．．．．．．．．７分
构造函数，．．．．．．．．８分
则，
当时，，当时，，
在和上单调递增，在上单调递减. ．．．．．．．．１０分
由题可知函数有3个不同的零点，
，
， ．．．．．．．．１１分
. ．．．．．．．．１２分
数学试卷
考试时间： 120分钟 总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
１．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果ｘ，ｙ是实数，那么“x=y”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知，若，且，则的最小值为（ ）
A．９ B． C．３ D．1
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之
割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并
使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接
正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算
得圆周率的近似值可表示成（ ）
A． B． C． D．．
7．已知数列是正项等比数列，数列满足.若，
则（ ）
A．24 B．２７ C．36 D．40
8．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知函数（其中）的部分图象如图所
示，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C． D．是的一个零点
10．已知＞１，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比
数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ）
A．等比数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为２
12．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象关于原点对称
C．函数在上是增函数 D．函数的值域为
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个
空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位
置上）
13．“”为真命题，则实数的最大值为 .
14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，
则ＢＣ边上的中线AD的长为 .
15．已知函数的定义域是，则函数的单调增区
间为 .
16．已知函数，则不等式的解集为 ，
若实数，，满足且，则的取值范围
是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角； (2)若，，求.
18．（本题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时n的值．
19．（本题满分12分）
已知不等式.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，不等式 总成立，求的取值范围.
20. （本题满分12分）
设数列的前项和为，已知，__________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都
选，则按所写的第1个评分）：
数列是以为公差的等差数列； ②
21．（本题满分12分）
设函数.
(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴；
(2)在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求
的取值范围.
22．（本题满分12分）
已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）若，过点可作曲线的3条切线，求证：.
淮安市高中校协作体２０２３～２０２４学年度第一学期高三年级期中联考
数学试卷参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
１．已知集合，则（ Ｃ ）
A． B． C． D．
2．如果ｘ，ｙ是实数，那么“x=y”是“”的（ Ａ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数（是的导函数），则（ Ｃ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知，若，且，则的最小值为（ Ｂ ）
A．９ B． C．３ D．1
5．已知，则（ Ｄ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之
割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并
使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接
正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算
得圆周率的近似值可表示成（ Ｄ ）
A． B． C． D．．
7．已知数列是正项等比数列，数列满足.若，
则（ Ｂ ）
A．24 B．２７ C．36 D．40
8．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式
的解集为（ Ａ ）
A． B． C． D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．全部选对得5分，
部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知函数（其中）的部分图象如图所
示，则（ ＡＢＣ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C． D．是的一个零点
10．已知＞１，则下列不等式恒成立的是（ ＡＢＤ ）
A． B．
C． D．
11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比
数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ＢＣ ）
A．等比数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为２
12．已知函数，则下列说法中正确的是（ ＡＣＤ ）
A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象关于原点对称
C．函数在上是增函数 D．函数的值域为
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个
空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位
置上）
13．“”为真命题，则实数的最大值为 －１ .
14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，
则ＢＣ边上的中线AD的长为 .
15．已知函数的定义域是，则函数的单调增区
间为 （１，５）或［１，５） .
16．已知函数，则不等式的解集为 ，
若实数，，满足且，则的取值范围
是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角； (2)若，，求.
解：（1）在中，由正弦定理及条件得：
２ｓｉｎＣｃｏｓＣ＝ｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡｃｏｓＢ
即２ｓｉｎＣｃｏｓＣ＝ｓｉｎ（Ｂ＋Ａ）＝ｓｉｎＣ．．．．．．．．．２分
∵为的内角，
∴ｓｉｎＣ＞０
∴，， ．．．．．．．．．４分
又
∴；．．．．．．．．．５分
（2）由（1）知：，
∵，且，
∴，．．．．．．．．．７分
由正弦定理得，且，
∴， ．．．．．．．．．９分
∴.．．．．．．．．．１０分
18．（本题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时n的值．
解：（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，，．．．．．．．．．２分
解得，， ．．．．．．．．．４分
所以．．．．．．．．．．６分
（2）方法一：由知是递增数列，
当时，；当时， ．．．．．．．．．．８分
所以， ．．．．．．．．．１０分
所以当时，最小，．．．．．．．．．１１分
最小值为．．．．．．．．．．１２分
方法二：，．．．．．．．．．８分
又函数的对称轴为ｘ＝，且开口向上．．．．．．．．．１０分
但，所以当时，最小，．．．．．．．．．１１分
最小值为-26. ．．．．．．．．．１２分
19．（本题满分12分）
已知不等式.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，不等式 总成立，求的取值范围.
解：（1）由已知可得： ．．．．．．．．．３分
，
因此，原不等式的解集为Ａ＝； ．．．．．．．．．５分
（2）令，则原问题等价，．．．．．．．．．６分
且，．．．．．．．．．８分
令，
可得ｙ＝， ．．．．．．．．．１０分
当时，即当时，函数取得最小值，即，．．．．．１１分
. ．．．．．．．．．１２分
20. （本题满分12分）
设数列的前项和为，已知，__________.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都
选，则按所写的第1个评分）：
数列是以为公差的等差数列； ②
解：（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为
故，故；．．．．．．．．２分
当时，，．．．．．．．．４分
当时，，满足.
故的通项公式为；．．．．．．．．６分
（注：没有验证ｎ＝１的情况，扣１分）
若选择②
即，
整理得：
故， ．．．．．．．．２分
即数列是首项为，公差为的等差数列，
故，故；．．．．．．．．４分
当时，
当时，，满足.
故的通项公式为；．．．．．．．．６分
（注：没有验证ｎ＝１的情况，扣１分）
（2）根据（1）中所求可得：，
则．．．．．．．．８分
故
．．．．．．．．１０分
又，
故可得.．．．．．．．．１２分
21．（本题满分12分）
设函数.
(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴；
(2)在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求
的取值范围.
解：(1)因为，．．．．．．．．２分
所以函数的最小正周期，．．．．．．．．３分
令（），解得（），
所以对称轴方程是直线（）；．．．．．．．５分
(2)因为，所以，
又因为为锐角三角形，所以，，
所以，所以， ．．．．．．．．７分
因为能盖住的最小圆为的外接圆，设半径为，
所以，得，
因为由正弦定理有
所以，，
， ．．．．．．．．９分
因为为锐角三角形，所以，
所以，则，．．．．．．．．１１分
所以，
所以的取值范围是. ．．．．．．．．１２分
22．（本题满分12分）
已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）若，过点可作曲线的3条切线，求证：.
解：（1）由题意得.
当时，.
若，则对任意，恒成立，
在上单调递增； ．．．．．．．．１分
若，则对任意，恒成立，
在上单调递减； ．．．．．．．２分
③若，则，
当时，当时，，
在上单调递减，在上单调递增. ．．．．．．．．４分
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增. ．．．．．．．．５分
（2）设切点为，则，
∴切线方程为.
将代入上式，整理得. ．．．．．．．．７分
构造函数，．．．．．．．．８分
则，
当时，，当时，，
在和上单调递增，在上单调递减. ．．．．．．．．１０分
由题可知函数有3个不同的零点，
，
， ．．．．．．．．１１分
. ．．．．．．．．１２分
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